自主改編問題 提高解題能力

［摘" 要］ 解題的價(jià)值并不在于結(jié)論本身，而在于研究解題的方法. 自主改編問題能有效激發(fā)學(xué)生的潛能，發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生研究問題的能力. 文章從兩道原題出發(fā)，通過教師的示范，引導(dǎo)學(xué)生自主改編問題，并提出幾點(diǎn)思考：教材是自主改編問題的依據(jù)；自由發(fā)散是自主改編問題的基礎(chǔ)；“以生為本”是自主改編問題的關(guān)鍵；自主改編可提高解題能力.

［關(guān)鍵詞］ 自主編題；思維；解題能力

作者簡介：王麗君（1989—），本科學(xué)歷，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

改編問題是指遵循一定的原則，將原命題中的條件、結(jié)論與圖形等要素進(jìn)行改編，形成新問題的過程. 它屬于“類”訓(xùn)練，具有拓寬學(xué)生的視野，靈活調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，促使學(xué)生深化對知識(shí)本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)等作用. 在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，將改編問題的任務(wù)交給學(xué)生，能有效激發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生自主完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

■ 理論基礎(chǔ)

心理學(xué)家皮亞杰提出：在教學(xué)中，一切真理都應(yīng)讓學(xué)生重新發(fā)現(xiàn)并重建. 數(shù)學(xué)家萊布尼茲認(rèn)為：用一，從無，可生萬物. 皮亞杰提出的“真理”與萊布尼茲提出的“一”都可以理解為原命題或教材例題，而“再發(fā)現(xiàn)”“萬物”則可以理解為變式拓展.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)本質(zhì)，倡導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考、自主實(shí)踐與合作交流等方式形成良好的思維習(xí)慣. 在復(fù)習(xí)過程中，雖然有些知識(shí)點(diǎn)學(xué)生都知道很重要，但在知識(shí)本質(zhì)的理解與應(yīng)用上卻總不盡如人意. 放權(quán)給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生自主改編并解決問題，能有效啟發(fā)學(xué)生的思維，增進(jìn)學(xué)生思考的深度與廣度，提高其復(fù)習(xí)效率.

■ 實(shí)施過程

1. 初步引導(dǎo)

為了讓學(xué)生感知改編問題的樂趣，筆者特地精挑細(xì)選出兩道原題，并示范改編思路與過程，讓學(xué)生做好心理準(zhǔn)備.

原題1 已知點(diǎn)P（2，3）為直線l上的一點(diǎn)，根據(jù)下列條件求直線l的方程.

（1）直線l在x，y軸上的截距和為0；

（2）直線l與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的三角形的面積是16.

原題2 如圖1所示，已知點(diǎn)P，Q分別位于∠A的兩條邊上，∠A為定角，QP為定長. 當(dāng)P，Q位于哪個(gè)位置時(shí)，△PQA的面積最大？

由于是帶領(lǐng)學(xué)生第一次嘗試改編，筆者對此做了示范（見改編題1和改編題2），并對改編的原因做了詳細(xì)的講解. 比如原題1比較簡單，在改編時(shí)，可以適當(dāng)?shù)丶哟笏碾y度；原題2相對抽象，在改編時(shí)，可以適當(dāng)?shù)亟档退碾y度，以通俗易懂為改編方向.

問題3 如圖4所示，某農(nóng)莊有一個(gè)矩形（ABCD）池塘，AB=4，BC=10，點(diǎn)E是池塘AD邊上的一點(diǎn)，AE=2，點(diǎn)P是池塘內(nèi)漁船的停靠點(diǎn). 已知點(diǎn)P到AB，BC的距離均是3，CE，BE是池塘上的浮橋. 農(nóng)莊主人為了充分固定浮橋，準(zhǔn)備經(jīng)過點(diǎn)P的位置再造一座浮橋NM，N，M分別為BE，CE上的點(diǎn)，忽略池塘岸邊的寬度與浮橋的寬度. 假設(shè)EM=d，浮橋NM處于什么位置可使△ENM的面積最小？此時(shí)d的值是多少？

3. 提煉總結(jié)

（1）題型.

上述三個(gè)問題都是定點(diǎn)定角類問題. 其中，問題1呈現(xiàn)的是鈍角定角α的正切，點(diǎn)P到兩邊的距離是確定的，這與原題沒有太大差異；問題2從方位的角度呈現(xiàn)了銳角定角θ和定點(diǎn)P；題3的關(guān)系稍復(fù)雜，對學(xué)生的思維要求也比較高，將相關(guān)模型藏匿在矩形里，需要學(xué)生從相似三角形或勾股定理的角度出發(fā)，才能證明問題中的定角為直角.

上述三個(gè)問題總結(jié)為：根據(jù)已知的定角、定直線來求三角形周長或面積的最值.

（2）方法.

數(shù)學(xué)解題常蘊(yùn)含一定的技巧與方法，尤其是同一類問題常常存在一定的通性通法. 上述所有問題，雖然圖文有較大差異，但從本質(zhì)上來看，都屬于同一類問題，因此解題的思想方法自然類似.

解題思路為：①設(shè)定角的兩條邊長分別是x，y，應(yīng)用等面積法可探尋出x，y的等量關(guān)系，然后結(jié)合基本不等式得到最值. ②建立直角坐標(biāo)系解題，即假設(shè)第三條邊的斜率是自變量，只要能得到三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，就能順利獲得目標(biāo)函數(shù)解題. ③將前面兩種解法結(jié)合在一起，即建立直角坐標(biāo)系后，通過定角的兩條邊的直線方程引入變量，而后假設(shè)三角形另外兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過三點(diǎn)共線來探尋其中的等量關(guān)系，最后用基本不等式得到結(jié)論.

綜上分析，后面的兩種解法可以統(tǒng)稱為建系法，歸為同一類進(jìn)行研究. 解決問題的方法羅列出來后，接下來就是解法擇優(yōu)的環(huán)節(jié). 觀察發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生首選等面積法來求解，因?yàn)榈仁奖容^清晰，而且利用基本不等式計(jì)算相對簡單，學(xué)生更容易獲得結(jié)論. 選擇建系法的學(xué)生相對少一些，但建系法的適用范圍更廣.

（3）總結(jié).

面臨一個(gè)沒有直接給自變量而求最值的問題時(shí)，可從以下幾個(gè)步驟著手分析：①明確目標(biāo)函數(shù)；②根據(jù)題設(shè)條件與圖形特征擇取合適的自變量，刻畫目標(biāo)函數(shù)；③如果存在兩個(gè)自變量，要探尋滿足兩個(gè)自變量的等量關(guān)系；④用最簡單的方法求最值.

當(dāng)題設(shè)條件明確點(diǎn)到直線的距離時(shí)，一般情況下從等面積的角度探尋等量關(guān)系；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)或題設(shè)條件明確“和”“積”的關(guān)系時(shí)，一般情況下從基本不等式的角度探尋最值. 總體來說，解決這一類問題的原則就是先明確目標(biāo)，然后想方設(shè)法接近目標(biāo)，直至完成解題.

■ 幾點(diǎn)思考

通過自主改編問題活動(dòng)的開展，筆者發(fā)現(xiàn)，放權(quán)給學(xué)生，給他們充足的思考時(shí)間與空間，往往能帶來意想不到的驚喜. 正如蘇霍姆林斯基所言：給學(xué)生留下充足可自由支配的時(shí)間，是順利完成教學(xué)的關(guān)鍵.

1. 教材是自主改編問題的依據(jù)

雖說近些年的高考試題越來越靈活，給學(xué)生帶來了較大的挑戰(zhàn)，但高考命題一直立足教材，這點(diǎn)是毋庸置疑的，不少試題都能在教材中找到它的“前身”. 因此，教學(xué)的首要步驟是引導(dǎo)學(xué)生吃透教材，只有在吃透教材的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展與延伸才是不偏離方向的研究.

布魯納提出：想要將現(xiàn)成的知識(shí)變成自己的知識(shí)，必須經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)”的過程. 不論高考試題的難度幾何，萬變不離其宗，都能在教材中找出它的身影. 教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)拓展時(shí)，可從教材出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用教材內(nèi)容進(jìn)行編題，深化學(xué)生對知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生良好的創(chuàng)新意識(shí).

2. 自由發(fā)散是自主改編問題的基礎(chǔ)

既然是讓學(xué)生自主改編問題，教師就應(yīng)充分尊重學(xué)生，讓學(xué)生有自由發(fā)揮的余地. 從微觀角度看，學(xué)生的思維方式各異，每一個(gè)學(xué)生的思維起點(diǎn)、思維發(fā)散點(diǎn)均不一樣，他們對選題與編題的思路也各不相同，在這種背景下，學(xué)生挑選或改編出來的問題及題型有較大差別.

將這些思維、思路各異的問題集聚在一起，使改編問題的目標(biāo)、條件、題型等的覆蓋面更加廣泛. 比如上述定角定長類問題，不少學(xué)生思考后將問題發(fā)散到了直線和圓相切的內(nèi)容上，經(jīng)過類似問題的歸納，學(xué)生的思維更上一個(gè)臺(tái)階，顯然自主編題并解題的方式明顯優(yōu)于刷題或講題.

3. 自主改編問題可提高解題能力

學(xué)生在自主改編問題的過程中，很多時(shí)候并不能一次成功，尤其改編一些比較復(fù)雜的問題時(shí)，需要思考的內(nèi)容較多，既要考慮改編問題的科學(xué)性，又要使其符合嚴(yán)謹(jǐn)性. 因此，在改編問題的過程中經(jīng)歷思考、判斷、歸納，不僅使學(xué)生學(xué)會(huì)了甄別問題的優(yōu)劣，還幫助他們提升了分析問題與解決問題的能力.

將學(xué)生自主改編的問題羅列在一起，通過篩選、展示，讓學(xué)生不由自主地思考：為什么老師會(huì)選擇展示那幾個(gè)問題，我改編的問題和展示的問題有什么本質(zhì)上的區(qū)別？學(xué)生在反思中深入感知并體悟編題的關(guān)鍵與方向，為提高解題能力奠定基礎(chǔ).

4. “以生為本”是自主改編問題的關(guān)鍵

新課標(biāo)明確強(qiáng)調(diào)學(xué)生在課堂中的主體性地位，自主改編問題的過程體現(xiàn)了“以生為本”的教育理念. 自主改編問題是學(xué)生自主思考、整理的過程，必然經(jīng)過深思熟慮，所改編的每一個(gè)問題都蘊(yùn)含著學(xué)生獨(dú)特的見解. 教師放權(quán)給學(xué)生，讓學(xué)生擁有足夠的空間和時(shí)間去自主思考，探尋科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)問題的改編方法，挖掘解題的思想方法.

改編問題是學(xué)生展示想法的機(jī)會(huì)，也是學(xué)生升華所學(xué)理論的過程，通過對知識(shí)點(diǎn)、題型以及解題方法的琢磨與探索，可深化學(xué)生對一類或幾類問題的理解程度，發(fā)展學(xué)生的解題能力與思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

總之，在新課改的背景下，“題海戰(zhàn)術(shù)”已經(jīng)被時(shí)代摒棄. 想要有效發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力，可從自主改編問題的角度出發(fā)，通過各種手段激發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生自主改編新穎、高質(zhì)量的問題.