新課標下高二學生數列原理應用水平測試量表的編制與研究

［摘" 要］ 基于新課標對數列內容的學習要求，以數學課程標準、SOLO理論和數學原理學習理論等為依據，采用定性研究與定量研究相結合的方法，制定衡量學生數列原理應用水平的研究框架，同時滲透考查學生對數列與函數之間的關系的理解，編制學生數列原理應用水平測試量表． 根據調研結果分析學生在數列原理應用存在的主要弱勢，制定一個劃分學生數列原理應用水平的參考標準.

［關鍵詞］ 原理應用；數列；水平；測試；量表

作者簡介：沈源欽（1988—），碩士研究生，中學一級教師，從事高中數學教學工作和教學測量研究，現任廣州市高三數學中心組成員，曾獲得全國青年教師優質課三等獎、廣東省說課特等獎，廣東省省級精品課、華南師大中小學聯盟新課標教學設計一等獎等榮譽.

■ 緒言

2017年，教育部頒布《普通高中數學課程標準（2017年版）》，提出六大數學學科核心素養——數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析. 這六大數學學科核心素養既相互獨立，又相互交融，形成一個有機整體，比如在數學公式的應用過程中，主要凸顯邏輯推理和數學運算這兩大核心素養［1］.

本研究選取高二年級學生作為研究對象，選取《普通高中教科書·數學·選擇性必修第二冊（人教A版）》中的數列內容為載體，結合數學課程標準、SOLO理論和數學原理學習理論等，采用定性研究與定量研究相結合的方法，嘗試對數列原理系統作出一個比較合理的界定，提出衡量學生數列原理應用水平的研究框架，編制學生數列原理應用水平測試量表，并給出一個劃分學生數列原理應用水平的參考標準，以期為一線數學教師教學提供參考，為培養或診斷學生數學學科核心素養的研究拋磚引玉.

■ 數列原理系統的界定

人們把在認識世界、發現各種事物的內在聯系的基礎上得到的計算公式、法則、定理、定律等叫做規則，或統稱為原理. 加涅認為定義性概念也是一種特殊的規則［2］. 因此，本研究將定義式概念、公式、法則、定理、定律等界定為原理系統.

本研究將通項公式和前n項和的定義（A），等差、等比數列的定義（B），等差、等比數列的通項公式（C），等差、等比數列的基本性質（D），等差、等比數列的性質（E），等差、等比數列的前n項和公式（F），等差、等比數列的前n項和公式的推導方法（G），統稱為數列原理系統（如表1所示）［3］. 數列原理應用主要是指利用數列定義、公式、性質等進行數值計算和數列公式應用變形.

■ 測試量表的編制

1. 量表的初始框架［4］［5］

《普通高中數學課程標準（2017年版）》將邏輯推理、數學運算素養水平均劃分為三個層次，分別對應著在熟悉的情境、關聯的情境、綜合的情境中的邏輯關系推理和演繹推理. 將以上素養水平劃分的指導性進一步轉化為可操性，本研究結合SOLO理論關于單點結構、多點結構、關聯結構的分類，按照完成應用任務所需要的數列原理的次數把數列原理應用劃分為四個層次：第一個應用層次是指一次數列原理的簡單應用，第二個應用層次是指兩次數列原理的綜合應用，第三個應用層次是指三次數列原理的綜合應用，第四個應用層次是指多次（三次以上）數列原理的綜合應用.

何小亞教授指出，數學原理學習可以分成四種水平：言語連鎖學習水平、正向產生式水平（正用水平）、逆向產生式水平（逆用水平）、變形產生式水平（變形使用水平）. 同時考慮到數列公式包括原式、一級變形式、二級變形式（可看作原式的兩次變形），以及與函數的聯系，筆者把每一層次的測試題按照數列原理的正用、一次變形使用和多次變形使用分為三個難度等級（分別為一級、二級和三級），并適當加入函數觀點進行檢測. 其中，一級難度是指完成應用任務只需要正用數列原理；二級難度是指完成應用任務需要一次變形使用數列原理；三級難度是指完成應用任務需要兩次或以上變形使用數列原理.變形使用包含數列一級變形式和二級變形式混合使用的情形.從而確定了一個比較合理的量表框架，每一應用層次的具體情況如表2所示.

2. 評價指標［4］［5］

曹才翰、章建躍教授將數學技能的行為指標分成四個：準確性、速度、協調性、自動化. 其中，準確性和速度是比較容易通過測試制定量化的標準的，而且這兩個指標體現了運算技能教學中最基本的要求.因此，本研究選取準確性和速度作為評價學生數列原理應用技能的兩個量化的指標.借鑒何小亞、植美賢老師的經驗，以學生在限定時間內正確運用數列原理次數的情況來統計學生原理應用的速度，以學生正確完成題數的情況來統計學生運算的準確性.

3. 測試量表

何小亞、植美賢老師提出，測試量表的形成主要經歷四個階段：第一階段是根據研究的框架，初選出測試題；第二階段是征詢專家意見，篩選和修改測試題；第三階段是廣泛征求專家教授和一線教師的意見，精選測試題；第四階段是試測、修改，形成最終的測試量表，其結構如表3所示.

4. 量表的效度和信度分析

（1）效度分析.

參考華東師范大學出版的《教育測量與評價》關于內容效度的量化分析方法，考察題目實際測到的內容與欲測到的內容之間的相關程度如何，并且用四點量表表示. 該方法要求專家在仔細審閱測驗目標的基礎上，獨立對測驗的每一個題目作出判斷：相關程度的大小. 四點量表為：“1”表示完全無關，“2”表示有點相關，“3”表示相關較密切，“4”表示完全相關.前兩者為弱相關，后兩者為強相關.當兩位專家都完成了此項工作后，即可形成表4.

表4中的D表示兩位專家都判定為強相關的題目數；A表示兩位專家都判定為弱相關的題目數；B，C表示一位專家判定為強相關、另一位專家判定為弱相關的題目數. 這樣，內容效度系數就可以用公式表示為：內容效度系數=.

根據上述原理，本研究專門對測試題的內容效度進行了量化分析. 為此，編制了“關于數列原理應用水平測試量表的調查問卷”，一共征求了10位專家的意見. 通過計算得出，本測試題的內容效度系數為0.9512，可見本研究編制的數列原理應用水平測試量表具有較高的效度.

（2）信度分析［4］［5］.

參考華東師范大學出版的《教育測量與評價》，本研究采用重測復本信度，以廣州市某學校高二年級的一個班的學生作為重測對象進行測試（相隔3周）.記錄該班學生兩次測試中正確應用數列原理的次數和正確完成的題數，將每一個學生的兩次測試成績進行一一對應配對，利用SPSS18.0統計軟件計算兩次測試中正確應用數列原理的次數和正確完成的題數的相關系數，結果分別為0.992和0.980（α均取0.01）. 可見，測試具有較高的信度.

■ 實施與測驗結果

廣州市A，B，C三個不同層次共6所學校的高二學生的測驗結果如下：

（1）被試總體的正確題數和正確次數成績都是大致呈正態分布.

（2）6個被試組的正確題數成績劃分為較高、中、較低三個層次；而正確次數劃分為較高、較低兩個層次.這樣劃分是具有統計學意義的.

（3）被試總體的正確次數與正確題數成績之間存在顯著的正相關關系.

■ 數列原理應用水平劃分標準的制定

根據樣本分析結果作為常模參照，結合中學數學教師的經驗，找到了三個指標：平均線、合格線和優秀線. 其中，平均線反映被試總體的一般水平，合格線反映被試達到了最基本的要求，優秀線表明被試達到了優秀水平. 本研究對樣本按70%合格率和10%的優秀率確定［4］［5］. 其中用B代表正確次數（最大值為51），T代表正確題數（最大值為20），如表5所示.

這個標準參照表的實用意義是：對凡是學完了數列原理的學生在任何時間用本測試問卷，用時50分鐘進行測試，均可對他們的數列原理應用有一個合適的定位.如果達到了標準參照表的要求，教師可以放心地積極前進；如果還沒有達到標準參照表的要求，教師就要采取一定的措施進行彌補.

■ 研究局限與展望

由于條件與能力有限，本研究仍存在很多不足. 其中，對數列原理應用層次的劃分是一種縱向劃分，能否從水平方向作出維度劃分，或有沒有更好的劃分方法等還有待研究.

本研究的對象都是廣州市的學生，還可以進一步做鄉村地區高中生的數列原理應用水平與數列原理應用水平的對比研究.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 何小亞. 數學學與教的心理學（第二版）［M］. 廣州：華南理工大學出版社，2016.

［3］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書·數學·選擇性必修第二冊［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 何小亞，植美賢. 高一學生對數運算技能水平測試量表的編制與研究［J］. 數學教育學報，2011，20（05）：55-58.

［5］ 植美賢，何小亞. 高一年級對數運算技能水平測試量表的編制與研究［J］. 中國數學教育研究會2010年國際學術年會論文集，2010-06-25.