數形結合，化此題無解為一題多解

龐海燕

一、問題呈現

正弦定理和余弦定理在解三角形中有著舉足輕重的作用，學生利用正余弦定理實現邊角轉化，求邊算角。可筆者在教學時碰見下面這道題，著實難住了一些學生，連呼無法解。

例 [ΔABC]中，角[A，B，C]所對的邊分別為[a，b，c]，若[A=π3]，則[a（cosC+3sinC）]的值為（）

學生在課堂上反映無論用正弦定理還是余弦定理，想直接將條件實行邊角轉換，都很難突破。有的學生嘗試將[cosC+3sinC]合一變形，得到[2asin（C+π6）]或[2acos（C-π3）]，又苦于算不下去。

二、一題多解

教師引導：“如果數不行，形行不行？”學生就此展開了討論，得出如下三種解法。

解法一：如圖1，作[BD⊥AC]于[D]，有

[a（cosC+3sinC）=acosC+3asinC=CD+3BD]，知道[CD+AD=AC=b]，而上式中[BD]的系數[3]該如何處理呢？注意到[π3]三角函數值的特殊性，有[3BD =? 33BD? +? 233BD? =? BDtanA? +? BD32=AD+BDsinA=AD+AB? ]，于是有[CD+3BD=CD+AD+AB=AC+AB=b+c]，求得答案[B]。

反思：在圖形中找到條件中數式對應的幾何線段，系數[3]的處理充分應用[π3]的三角函數值，提升學生的數感，落實數據分析核心素養。

解法二：如圖2，[a（cosC+3sinC）=2asin（C+π6）]，作角[A]的角平分線[AE]交[BC]于[E]，則[∠AEB=C+π6]，且[sin∠AEB=sin（C+π6）=sin∠AEC]。[ΔABE]中，由正弦定理，[BEsin∠BAE=ABsin∠AEB]，得[BEsin∠AEB=ABsin∠BAE=c2]，[ΔACE]中，由正弦定理，[CEsin∠CAE=ACsin∠AEC]，得[CEsin∠AEC=ACsin∠CAE=b2]，[BEsin∠AEB+C E sin ∠ AEC = B C sin ∠ AEB =a sin ∠ AEB = b+c2] ，[2asin（C+π6）=2?b+c2=b+c。]

反思：在圖中作出[C+π6]，是本方法的核心。從[π3]到[π6]，角平分線很關鍵，再到[C+π6]，外角定理發揮了作用，提升學生以形助數，由數輔形，落實邏輯推理核心素養。

解法三：不妨假設[C>π3]（[C≤π3]類似可得），如圖3，[a（cosC+3sinC）=2acos（C-π3）]，在[AB]上取點[F]，使得[∠ACF=π3]，則[∠BCF=C-π3]，[ΔACF]為等邊三角形。延長[CF]至[G]，過[B]作[BG⊥AG]。[2acos（C-π3）=2acos∠BCF=2CG=2（FG+CF）=2FG+2CF=BG+GA+AC]，由[CF=AF=AC]，得[BG+GA+AC=c+b]。

反思：在圖中作出[C-π3]，再到[2acos（C-π3）]的圖形轉化，法二比法三更具挑戰，前面形轉數的艱辛卻也換來運算的暢快，學生從這一過程中深刻體會到數形結合的妙處。

實際上，本題直接使用正弦定理也可得出答案，而學生的卡點主要是系數的處理。于是有下面的解法。

解法四：[a（cosC+3sinC）=2RsinAcosC+23sinAsinC]，由[sinA=32]，代入上式得

[2R（sinAcosC+32sinC）=2R（sinAcosC+12sinC+sinC）]

[=2R（sinAcosC+cosAsinC+sinC）=2R（sin（A+C）+sinC）=2R（sinB+sinC）=b+c]

三、教學反思

正余弦定理的解題教學主要圍繞公式計算，課堂上這道借助于數形結合思想來解三角形的題目，解開了學生的“數”的困擾，也為他們打開了“形”的大門。實際上，正余弦定理、射影定理的證明本身也可以從形出發，實現多種方法的證明，教學中可以做滲透，舉例如下。

由圖4，以銳角[ΔABC]為例，作[AD⊥BC]于[D]，有[AD=csinB=bsinC]，化簡得[csinC=bsinB]，同理[asinA=csinC]，正弦定理得證；[BC=BD+CD=ccosB+bcosC=a]，同理[acosB+bcosA=c]，射影定理得證。

[AD=csinB，CD=BC-BD=a-ccosB]，[ΔACD]中根據勾股定理，得[b2=（a-ccosB）2+（csinB）2，]即[b2=a2+c2-2accosB]，余弦定理得證。

正如華羅庚教授說的：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休。”數學中，一個對象用不同領域的方式表示并不是數學游戲，它標志著看問題角度的變化，會帶來實質性的內容變化。教師在利用正余弦定理解三角形的教學過程中可以引導學生多視角來分析問題，實現一題多解，多題一解，提升學生的思維品質。