周期演化域上三種群互惠模型的動力學

王寧 呂月明

摘要： 通過研究周期演化區域上一類三種群互惠模型， 討論區域的周期演化對種群持續和滅絕的影響. 利用上下解方法、 比較原理、 擬單增系統理論及拋物方程的先驗估計理論，研究模型正周期解的存在性及穩定性問題. 記ρ為區域演化速率， ρ-2=1T∫T01ρ2（t）dt. 結果表明： 當ρ-2>1時， 區域周期演化對互惠種群持續性的影響是消極的；當ρ-2<1時， 區域周期演化對互惠種群持續性的影響是積極的； 當ρ-2=1時， 區域周期演化對互惠種群持續性沒有影響.

綜上，本文研究了周期演化區域上的一類三種群互惠模型. 首先，為克服由區域演化產生的對流項和稀釋項引起的分析困難，本文假設區域演化是周期的且各向同性的，并通過Lagrange變換將模型轉化為初始區域上的一類反應擴散方程模型，其擴散系數和反應項都依賴于區域演化速率. 其次，將模型在平凡平衡點處線性化，并研究相關的周期拋物特征值問題，獲得了主特征值對區域演化速率的依賴性及其他性質. 進一步，用上下解方法討論了模型正周期解的存在性及穩定性問題.

最后，根據所得結論和數值模擬，給出了區域周期演化對種群持續和滅絕影響的分析. 結果表明： 較大的區域周期演化率有利于互惠種群的持續生存，而較小的區域周期演化率則會促進種群的滅絕.

參考文獻

［1］ 肖燕妮， 周義倉，唐三一. 生物數學原理 ［M］. 西安： 西安交通大學出版社，2012： 25-32. （XIAO Y N，ZHOU Y C，TANG S Y. The Principles of Biomathmatics ［M］.

Xian： Xian Jiaotong University Press，2012： 25-32.）

［2］ 孫儒泳. 動物生態學原理 ［M］. 3版. 北京： 北京師范大學出版社，2001： 163-185. （SUN R Y. The Principles of Animal Ecology ［M］. 3rd ed. Beijing： Beijing Normal University Press，2001： 163-185.）

［3］ MAY R M. Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics ［J］. Nature，1976，261： 459-467.

［4］ ZHOU H，LIN Z G. Coexistence in a Strongly Coupled System Describing a Two-Species Cooperative Model ［J］. Appl Math Lett，2007，20（11）： 1126-1130.

［5］ KIM K I，LIN Z G. Blowup Estimates for a Parabolic System in a Three-Species Cooperating Model ［J］. J Math Anal Appl，2004，293（2）： 663-676.

［6］ 凌智，林支桂. 三種群互惠模型拋物系統解的整體存在與爆破 ［J］.? 生物數學學報，2007，22（2）： 209-214. （LING Z，LIN Z G.? Global Existence and Blowup of Solutions to a Parabolic System in

Three-Species Cooperating Model ［J］. Journal of Biomathematics，2007，22（2）： 209-214.）

［7］ KIM K I，LIN Z G. A Degenerate Parabolic System with Self-diffusion for a Mutualistic Model in Ecology ［J］. Nonlinear Anal： Real World Appl，2006，7（4）： 597-609.

［8］ RAI B，KRAWCEWICZ W. Hopf Bifurcation in Symmetric Configuration of Predator-Prey-Mutualist Systems ［J］. Nonlinear Anal：

Theory，Method Appl，2009，71（9）： 4279-4296.

［9］ 陳蘭蓀. 數學生態學模型與研究方法 ［M］. 2版. 北京： 科學出版社，2017： 36-62. （CHEN L S. Mathematical Ecological Models and Research

Methods ［M］. 2nd ed. Beijing： Science Press，2017： 36-62.）

［10］ 邢文淵，肖繼東，沙依然，等. 基于MODIS影像的湖泊動態變化遙感監測——以巴里坤湖為例 ［J］. 草業科學，2009，26（7）： 28-31.

（XING W Y，XIAO J D，SHA Y R，et al. Remote Sensed Monitoring of Lake Dynamic Change Based on MODIS Image ［J］. Pratacultural Science，2009，26（7）： 28-31.）

［11］ JIANG D H，WANG Z C. The Diffusive Logistic Equation on Periodically Evolving Domains ［J］. J Math Anal Appl，2018，458（1）： 93-111.

［12］ ZHU M，XU Y，CAO J D. The Asymptotic Profile of a Dengue Fever Model on a Periodically Evolving Domain ［J］. Appl Math Comput，2019，362： 124531-1-124531-17.

［13］ JOHNSON M L，GAINES M S. Evolution of Dispersal： Theoretical Models and Empirical Tests Using Birds and Mammals ［J］. Annu Rev Ecol Syst，1990，21（1）： 449-480.

［14］ CRAMPIN E J，GAFFNEY E A，MAINI P K. Mode-Doubling and Tripling in Reaction-Diffusion Patterns on Growing Domains：

A Piecewise Linear Model ［J］. J Math Biol，2002，44（2）： 107-128.

［15］ ACHESON D. Elementary Fluid Dynamics ［M］. New York： Oxford University Press，1990：? 36-39.

［16］ BAINES M J. Moving Finite Elements ［M］. New York： Clarendon Press，1994： 66-70.

［17］ BAKER R E，MAINI P K. A Mechanism for Morphogen-Controlled Domain Growth ［J］. J Math Biol，2007，54（5）： 597-622.

［18］ MADZVAMUSE A，MAINI P K. Velocity-Induced Numerical Solutions of Reaction-Diffusion Systems on Continuously Growing Domains ［J］. J Comput Phys，2007，225（1）： 100-119.

［19］ 陳亞浙.? 二階拋物型偏微分方程 ［M］.? 北京： 北京大學出版社，2003： 69-72. （CHEN Y Z. Nonlinear Second Order Parabolic Equations ［M］.

Beijing： Peking University Press，2003： 69-72.）

［20］ WANG M X. Nonlinear Second Order Parabolic Equations ［M］. Boca Raton： CRC Press，2021： 15-36.

［21］ HESS P. Periodic-Parabolic Boundary Value Problems and Positivity ［M］. New York： John Wiley & Sons，Inc，1991： 36-63.

［22］ PAO C V. Stability and Attractivity of Periodic Solutions of Parabolic Systems with Time Delays ［J］. J Math Anal Appl，2005，304（2）： 423-450.

［23］ ANTN I，LPEZ-GMEZ J. The Strong Maximum Principle for Cooperative Periodic-Parabolic Systems and the Existence of Principal

Eigenvalues ［C］//Proceedings of the First World Congress on World Congress of Nonlinear Analysts92. ［S.l.］： Walter? De Gruyter，1996：? 323-334.

（責任編輯： 趙立芹）