量感發展：從直觀感知到推理應用

劉娟娟

摘要：收半行的眼光來看待量感的培養，既要注重對事物可測量屬性及大小關系的直觀感知，也要注重定量分析和推理應用。通過《認識千米》同課異構的三節課，談談如何發展量感：直觀感知度量單位，是量感得以生發的基礎；定量分析度量過程，是量感發展的必要途徑；推理應用度量結果，是量感形成的重要指標。

關鍵詞：小學數學；量感；直觀感知；定量分析；推理應用

量感，通俗地說是對量的感覺。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，“量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知”［1］。在小學階段，主要通過有關度量的學習活動來培養量感。“建立量感有助于養成用定量的方法認識和解決問題的習慣，是形成抽象能力和應用意識的經驗基礎。”［2］結合已有研究可知，量感是高度個性化的產物，它不僅與學生已有的度量概念、方法相關，也和學生如何形成這些度量概念和方法相關。同時，我們也必須認識到，量感的培養是一個較長時間的，需要反思體驗、不斷矯正的過程，要重視直觀感知、具身體驗，更要有數學的思考，借助推理想象，用定量刻畫的方式來表達“量”，最終是為了促進學生形成抽象能力和應用意識。

“千米”是小學階段數學學習的最后一個長度單位，是一個較大的長度單位，雖然在日常生活中經常應用，但是無法在直尺上直接感知。也正因為如此，理解1千米的概念對小學生而言是有難度的，建立相關的量感則更不容易。本次南京市小學數學優質課比賽中，獲得一等獎的教師中有三位教學的都是《認識千米》。同課異構，三節課的教學設計和思路各有不同。下面，就通過這三節課，談談如何以發展的眼光來培養量感。

一、直觀感知度量單位，是量感得以生發的基礎

華羅庚先生說過：“數（shù）起源于數（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）。”量感的培養離不開“量（liáng） ”的過程，這是一個循序漸進的過程：首先要學習一些有關度量的重要概念，然后要能用標準的度量單位進行度量，并學會使用度量工具。而度量工具其實是根據度量方法，將度量單位連續、無縫隙、無重復地累加而創造出來的，因此，對度量單位的認識是度量學習的核心，也是量感得以產生、發展和形成的基礎。

學生在學習千米之前，從知識的邏輯上看，已經認識了毫米、厘米、分米和米這些較小的長度單位，并形成了關于這些長度的量感，即知道統一長度的必要性，明白要在不同的情境中選擇合適的長度單位，了解了測量長度的工具以及簡單的長度單位換算。千米是基于生活需要的一次長度單位拓展，其教學需要讓學生明確學習的意義，同時又能借助已有知識經驗展開學習。然而，已有的長度單位和千米差距較大，直接利用它們來認識千米比較困難，因此，需要找到介于米和千米之間的長度單位進行銜接，那么“十米”和“百米”的認識就顯得自然且必要了。

三位老師都在教學中不約而同地強調了對“十米”和“百米”的感知和認識，而且教學方式各有特色。謝志珺老師的教學從“拉繩子”這一活動開始，先讓學生拉直手中1米的繩子，激活腦海中關于1米的表象；進而猜測10米的繩子可能的長度，并在教室里拉直10米的繩子進行驗證，幫助學生調整和建立了10米的表象。然后，謝老師先出示了堆在一起的100米繩子，再用視頻展示在戶外拉直100米繩子的情景，讓學生初步建立100米的表象。王雅雯老師在課堂上不僅帶領學生從小到大梳理了已學的長度單位，還順勢引出了“十米”和“百米”這兩個長度單位，這有助于學生建立完整的長度單位體系。此外，她還帶領學生到學校跑道上走了100米，這不僅讓學生親身感受了100米的長度，而且還通過數步數、計時間等方式，促進學生個性化地體驗100米的長度。何瑩瑩老師以一位學生張開雙臂間的距離約為1米做標尺，讓十位學生張開雙臂，手拉手站在教室里排成一行，讓學生直觀感受10米的長度，并由此想象100米、1000米的長度。

量感所培養的思維方式是讓學生無須借助測量工具，就能迅速地辨別出物體可測量屬性的大小關系。顯然，這是一種抽象的能力，是在對具體直觀的對象，特別是度量單位感知、操作和反思的基礎上逐步形成的能力。1千米對于小學生而言是無法直接用測量工具得到的長度，是抽象的，因此需要學生以對1米、10米、100米的直觀感知為基礎，間接感知1千米，進而形成相應的表象。

二、定量分析度量過程，是量感發展的必要途徑

度量就是將待測定的量與一個作為標準的同類量進行比較的過程。比較的方法促使度量方法和度量工具誕生，度量得到的結果則需要用數學語言來表達。因此，度量的數學本質其實就是給度量對象賦值。荷蘭數學教育家弗賴登塔爾指出：“當單位確定后，就可用同一類的數去度量所有的量，這就是數學的優點。但是為了學會如何應用數學，學生就應該學習各種量的起源、特征，并弄懂它們之間的關系，應該說這也就是數學。”［3］ 由此可見，要形成量感并應用量感解決問題，必須關注度量的過程，定量刻畫不同度量單位、不同度量對象甚至不同體系的度量單位之間的關系。這樣，才能最終幫助學生無須借助度量工具，迅速、準確、靈活地辨別出物體可測量屬性的大小。

（一）理解度量單位之間的進率，把握量感的準確性

進率是為了度量的方便，人為規定的同類兩個度量單位之間的比值。教學要求一般是能夠理解、接受和應用進率。

認識千米，就需要能理解“1千米=1000米”。在王雅雯老師的課上，筆者注意到這樣一個教學片段：

教師幫助學生復習并板書了毫米、厘米、分米和米的進率關系后，提問：“1千米等于多少米？”學生出現多種回答：“1千米等于10米。”“1千米等于1000厘米。”“1千米等于10厘米。”“1千米等于1000米。”

看似簡單的問題，為什么前三個學生都沒有回答對呢？可能是受到以前學過的長度單位之間進率是10的影響。這表明，學生對進率的認識是有差異的。

王老師注意到了這個情況，首先通過提問“4000米等于多少米？8000米等于多少千米？”強化千米和米的關系。然后，她進一步提問：“如果把‘千米’的板貼放在黑板上，應該放在哪里呢？”學生都認為應該放在“米”的后面，還有學生認為應該和“米”間隔大一些。此時，王老師順勢引出了“十米”和“百米”這兩個單位，并明確了它們和米、千米之間的進率關系，最終幫助學生理解了千米和米的關系。

張奠宙教授曾說：“任何測量，放在第一位的要求是科學性，即要盡可能精確。”［4］度量也應如此。度量的目的是選擇合適的度量工具，通過正確的度量方法，得到度量對象的準確結果。準確、精確是度量追求的目標，也是量感應有的特點。不過值得注意的是，量感的準確性是相對的，能把度量結果確定在一個正確的范圍內，不犯數量級的錯誤是對小學生的基本要求。

（二）合理選擇經驗內的參照物，提升量感的靈活性

生活中我們不可能隨時帶著度量工具外出，因此需要以身邊熟悉的物體作為參照物，作為判斷量大小的標準。此時，參照物就是一種度量單位，只不過不是國際通用的標準，而是我們在社會生活中經常使用的事物。

《認識千米》一課中，三位老師也特別重視引導學生從定量的角度分析和把握千米與其他長度單位或生活參照物之間的關系。比如，她們都選擇了教室的長度、操場跑道、學校周邊道路作為認識和想象1千米的參照物，得到1000米大約就是100個10米長的教室排在一起，200米的跑道跑5圈，250米的跑道跑4圈，400米的跑道跑2圈半。王雅雯老師還引導學生反思、總結出要用“以小見大”的方法來認識1千米。特別地，謝志珺老師還提供了10米長的公交車、20米高的旗桿、50米游泳賽道、200米環形跑道這些不同的學習素材，幫助學生從地面到天空、從陸地到水面、從直線距離到曲線距離等多維度感知1千米的表象，提升量感的靈活性。

（三）建立不同度量體系之間的聯系，挖掘量感的深刻性

1983年10月，第十七屆國際權度大會（又稱計量大會）把“米”定義為：光于1/299792458秒內在真空中所走的長度。長度單位和時間單位有著如此密切的聯系，我們也就不難理解教學長度時為什么要關注所用的時間了。這還提醒我們，教學中除了關注靜態視角下長度單位之間的關系，也要從動態視角通過時間去認識和理解長度單位。

三位老師都有將長度與時間聯系起來的教學設計。王雅雯老師讓學生通過親身體驗走100米大約需要90秒，推出走1000米大約用時15分鐘，大約需要1400步。何瑩瑩老師則呈現信息“1步長50厘米，走兩步大約用時1秒”，讓學生推算出“走1千米需要2000步，大約需要16分鐘”。然后，現場邊用平板電腦播放1名小學生繞操場走1000米的視頻，邊繼續上課。一段時間后，再觀察平板電腦中的學生是否走完了1000米。這種時間上的同步，有助于學生感受1000米很長。謝志珺老師則設計了在電子地圖上導航從學校門口到公交車站大約1千米的同一段路程，當選擇的交通工具不同時，所用的時間也不同。同時，通過VR游戲模擬摩托車行駛1000米的過程，讓學生感受1千米也可以“很短”。這也為今后認識速度做了鋪墊——物體運動的速度影響著我們對1千米的感受，但1千米的長度是不變的，在變化中可以更好地體會單位量的不變性、守恒性等特點，而這正是度量的本質所在。

其實，將不同體系的度量單位聯系起來思考問題，或者創造出新的度量單位，是人類社會中經常發生的事情。例如，我們將長度單位和重量單位聯系起來，可以比較人的胖瘦，即體重指數BMI=（體重的千克數）：（身高的米數）2。這種用聯系的觀點來看待事物，發展關系性理解的思路，是數學學習，也是未來自主學習、終身學習必不可少的，這也有助于促進量感走向深刻。

三、推理應用度量結果，是量感形成的重要指標

形成量感的最終目的是應用。正如前文所述，對某一個具體事物的長度、重量、面積、體積等屬性大小關系的判斷往往是基于單位量感知的推理和想象，是在計算、估測等定量分析后給出度量結果的過程。這是需要專門的練習或者訓練的，絕不是通過一兩節課就能夠實現的目標。因此，就需要教師在教學過程中創設相關推理應用的情境，讓學生能夠有機會“算”出量感、“估”出量感、“推”出量感和“用”出量感。

應該說，三位老師都給學生提供了推理應用千米解決實際問題的機會。謝志珺老師結合學生對“在生活中哪里會用千米做單位呢？”這個問題的回答，相機出示了南京長江大橋鐵路橋長大約7千米、上海到南京高速公路的行駛距離大約310千米等學習材料。王雅雯老師先提供了從學校大門出發，沿兩條不同路線分別走約1千米后到達的地點，讓學生據此推測沿第三條路線走1千米后到達的位置；再讓學生估測從學校到“不老村”景區大約多少千米；然后啟發學生課后去尋找身邊還有哪些可以用千米表示的長度。何瑩瑩老師設計的學校周邊旅游線路圖給學生推理應用千米提供了很好的平臺。以上教學都注重從學生身邊熟悉的素材入手，逐步擴大認知的范圍，循序漸進地幫助學生積累有關千米的經驗，為學生應用量感解決問題奠定了扎實的基礎。

從某種程度上說，《認識千米》一課是認識噸、公頃等大的計量單位的“種子課”，它應該教會學生用熟悉的度量單位（參照物）來推理或想象，發展關系性理解，并努力在日常生活中去應用這些單位，逐步形成自己的量感。

參考文獻：

［1］［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：7，7.

［3］ 弗賴登塔爾.作為教育任務的數學［M］.陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：172.

［4］ 張奠宙.削枝強干，消除平庸——談小學《數學》教科書中“測量”的編排［J］.小學教學（數學版），2015（10）：6.