判斷函數單調性的三種策略

吳靜怡

摘?要：函數的重要性質之一就是單調性，函數的單調性應用廣泛，利用函數單調性對解決某些數學問題也有“奇效”，故而函數單調性也一直是高考數學的熱門考點，常作為解題中至關重要的一個環節出現.如何判斷函數的單調性也是很多學生面臨的問題，故本文結合具體例題來介紹三種常見的解題思路：利用函數單調性的定義判斷、利用導數判斷、利用“同增異減”規律判斷.

關鍵詞：函數問題；單調性；判斷技巧

1?利用函數單調性的定義判斷

定義是解決問題的最基本方式，判斷函數的單調性也是如此，對一部分函數而言，利用定義判斷函數單調性十分簡單.函數單調性的概念是：在函數f（x）的定義域I的某個子集D內取兩個自變量x1、x2，當x1＜x2，則有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），則函數f（x）在區間D上是單調遞增（或單調遞減）.解答這類問題，解題思路一般為：① 在區間D內任取兩個自變量x1、x2，令x1＜x2；② 求f（x1）-f（x2），并將上式轉化為最簡因式的乘積或商的形式；③ 根據因式的大小判斷f（x1）-f（x2）的符號，最后得出結論.

3?利用“同增異減”規律判斷

判斷形如f［g（x）］的復合函數的單調性是判斷函數單調性問題中較為復雜的一類，對于這一類問題要注意三個點，一是要注意函數的定義域，二是要注意復合函數中內函數和外函數的單調性，三是要利用“同增異減”規律判斷復合函數的單調性.“同增異減”就是指當內函數和外函數的單調性一致時，則復合函數為增函數；反之，當內、外函數單調性不一致時，則復合函數是減函數.解答這類問題，解題思路一般為：① 分別判斷內函數和外函數的單調性；② 利用“同增異減”規律判斷復合函數單調性即可判斷出函數單調區間.

典例1：求函數y=-x2+4x-3的單調區間.

思路分析：本題就是典型的f［g（x）］的復合函數，需分別找出內函數和外函數的單調區間，當區間相同且單調性一致時，函數y=-x2+4x-3在此區間上就是增函數，當區間相同但單調性不一致時，函數y=-x2+4x-3在此區間上就是減函數.

除此之外，還可以利用圖象的直觀性判斷函數的單調性，利用函數的奇偶性判斷函數的單調性等.等.總而言之，在求解函數的值域、數列、最值等問題時，函數的單調性發揮著巨大的作用，因此穩固掌握函數的單調性及其判斷單調性的方法能夠幫助學生快速求解.本文提供了三種求函數單調性問題的解題思路和應用步驟：利用函數單調性的定義判斷、利用導數判斷、利用“同增異減”規律判斷.不同思路對應解題方式各不相同，有助于學生快速采取正確合理的思路解答這一類問題，提高解題的效率.

參考文獻：

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