提煉幾何模型，強(qiáng)化思維訓(xùn)練

吳榮

摘?要：幾何是初中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，是學(xué)生普遍存在學(xué)習(xí)困難之處，因此幾何教學(xué)顯得格外重要.本文通過(guò)對(duì)教材的深入探究，提煉幾何模型，采用模型解題法提升學(xué)生的解題效率，強(qiáng)化學(xué)生的思維.

關(guān)鍵詞：三垂直全等模型；本質(zhì)；添補(bǔ)；模型思想

教材是教學(xué)內(nèi)容的根本，也是編制各類試題的材料來(lái)源.教材里的例題或習(xí)題具有經(jīng)典性、示范性、導(dǎo)向性，教師要重視對(duì)教材中的例題或習(xí)題所蘊(yùn)含的知識(shí)、思想方法的挖掘和研究，對(duì)教材內(nèi)容的具體化和進(jìn)一步拓展，這也是探究知識(shí)的本質(zhì)屬性和編制試題的重要途徑.下面以一道蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第一章《全等三角形》“復(fù)習(xí)鞏固”里的習(xí)題為例，具體探究習(xí)題背后所隱含的幾何模型與思想方法.

已知：如圖1，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分別為S，N，Q，且MS=PS.求證：△MNS≌△SQP.

如上圖，將直線BD繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線BD穿過(guò)等腰直角三角形內(nèi)部時(shí)，如圖2.當(dāng)直線BD旋轉(zhuǎn)到等腰三角形外部時(shí)，如圖3.這就是一線三垂直全等模型的兩種基本圖形.

用符號(hào)語(yǔ)言表述為：已知∠ABC＝∠AEB＝∠BDC＝90°，AB＝BC.

結(jié)論：Rt△ABE≌Rt△BCD.

從上面的圖形可以清楚地看出該模型的本質(zhì)特征是過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)的一條直線，無(wú)論該直線如何旋轉(zhuǎn)，從兩個(gè)底角頂點(diǎn)向該直線作垂線段，所構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形總是全等的.把握其本質(zhì)，才能合理地構(gòu)建模型，運(yùn)用模型，從模型中提取三角形全等關(guān)系.

2?補(bǔ)全模型，變式應(yīng)用

一線三垂直全等模型雖然有著較高的識(shí)別度，但是試題中提供的圖形往往是不規(guī)整的，是錯(cuò)綜復(fù)雜的，甚至將模型的局部隱藏起來(lái)，需要學(xué)生運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鬏o助線，對(duì)圖形進(jìn)行添補(bǔ)，使模型顯現(xiàn)出來(lái)，這對(duì)學(xué)生的圖形識(shí)別能力、推理和抽象能力要求較高.下面就一些實(shí)例進(jìn)行探究.

2.1?一角隱藏，垂線添補(bǔ)

例1?（2022年武漢市中考題）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分別以△ABC的三邊為邊向外作三個(gè)正形ABHL，ACDE，BCFG，連接DF.過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CJ，垂足為J.分別交DF，LH于點(diǎn)I，K.若CI=5，CJ=4，則四邊形AJKL的面積是????.

分析：本題的圖形是由三個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形組成的，故存在多組相等的邊和直角，又因?yàn)橐阎L(zhǎng)度的兩條線段均過(guò)直角頂點(diǎn)，故以此為切入點(diǎn)，通過(guò)作兩條輔助線——垂線，可以構(gòu)建兩個(gè)一線三垂直全等模型，如模型圖3所示，從而借助全等三角形實(shí)現(xiàn)線段長(zhǎng)度關(guān)系的轉(zhuǎn)移，進(jìn)而求出矩形AJKL的面積.

上述的圖形中兩處都存在“一線兩直角”的情形，通過(guò)作輔助線——作垂線和線段延長(zhǎng)線，即可補(bǔ)上一個(gè)直角構(gòu)造三垂直全等模型.對(duì)模型的構(gòu)建過(guò)程源于對(duì)模型的深刻理解和靈活運(yùn)用能力，從中培養(yǎng)學(xué)生用模型解題的思想和意識(shí).

上述問(wèn)題的解題突破口在于把握其中的直角，過(guò)該直角頂點(diǎn)補(bǔ)上一條垂線，這是構(gòu)造三垂直全等模型的關(guān)鍵一步.依托于特殊角，經(jīng)過(guò)合理地聯(lián)想，探尋圖形之間的聯(lián)系來(lái)構(gòu)建幾何模型，有利于培養(yǎng)學(xué)生的模型思想、推理能力、幾何直觀能力.

2.3?線角全藏，作圖補(bǔ)型

例3?在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，3），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0，當(dāng)A、B、C三點(diǎn)圍成等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)B、C的坐標(biāo).

分析：本題沒(méi)有已知圖形，而且沒(méi)有明確指出A、B、C三點(diǎn)圍成的等腰直角三角形哪個(gè)角是直角，因此需要分類討論A、B、C分別為直角頂點(diǎn)的情形.依照不同的直角頂點(diǎn)所構(gòu)造的三垂直模型截然不同，需要具體情況具體分析.

解：① 當(dāng)A為直角頂點(diǎn)，B在第一象限，C在x軸負(fù)半軸時(shí)，如圖6，根據(jù)三垂直全等模型可知△ABH≌△CAO，從而可求B（3，2），C（-1，0）；

在以直角坐標(biāo)系為背景的幾何問(wèn)題中，當(dāng)出現(xiàn)等腰直角三角形或是正方形時(shí)，往往也存在著三垂直全等模型.由于直角坐標(biāo)系的特殊性，構(gòu)造三垂直全等模型時(shí)一般是依托x軸或y軸，以及平行于x軸或y軸的直線來(lái)作輔助線的.如本題中的圖6圖9所構(gòu)造的三垂直全等模型都是基本模型圖2的衍生圖，過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)的一條直線穿過(guò)了等腰直角三角形的內(nèi)部.圖10、圖11則是基本模型圖3的衍生圖，該直線不穿過(guò)等腰直角三角形的內(nèi)部.這類試題涵蓋的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，要充分挖掘題目條件，把握好分類的標(biāo)準(zhǔn)，才能做到條理清晰，有理有據(jù)，從而合理地構(gòu)建模型具體求解.對(duì)問(wèn)題的深入分析可以有效地促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

3?解后反思，教學(xué)建議

從上述的解題過(guò)程中可以看出一線三垂直全等模型并不都是直觀地、完整地呈現(xiàn)出來(lái)的，需要學(xué)習(xí)者在對(duì)模型及其衍生圖的深度理解和充分掌握的基礎(chǔ)上，在反復(fù)的解題訓(xùn)練和積累中練就一雙“火眼金睛”，將擁有“七十二變”的幾何圖形看穿、看透，揪出幾何模型的點(diǎn)點(diǎn)蛛絲馬跡——直角，并以此為基礎(chǔ)，作輔助垂線來(lái)補(bǔ)全模型.

在教學(xué)中，教師首先要深挖教材，提煉幾何模型，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用模型思想解題的能力.幾何是初中的重難點(diǎn)內(nèi)容，教師要以教材為藍(lán)本，深入挖掘教材中的例題和習(xí)題，將一些有共性的圖形分離出來(lái)成為經(jīng)典的、有代表性的、結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單的幾何模型，在解題教學(xué)中圍繞著幾何模型展開，讓學(xué)生在面對(duì)千變?nèi)f化的題型和復(fù)雜的圖形時(shí)，有法可依，即緊扣基本模型，運(yùn)用模型思想來(lái)解題，使學(xué)生易于著手，易于理解和接受，讓學(xué)生體驗(yàn)成功解題的愉悅感，增強(qiáng)學(xué)生的識(shí)圖能力和幾何直觀能力.

其次是把握幾何模型的本質(zhì)特征，提升模型的構(gòu)建能力.每個(gè)模型有著其鮮明的幾何特征，只有深刻理解和把握其本質(zhì)的特征，才能在復(fù)雜的圖形中識(shí)別到模型的影子，才能合理地構(gòu)建和熟練自如地運(yùn)用.如一線三垂直全等模型是以等腰直角三角形或正方形為背景的，無(wú)論過(guò)直角頂點(diǎn)的直線如何運(yùn)動(dòng)變化，總能通過(guò)作垂線構(gòu)建一組全等三角形.其本質(zhì)是得到三角形的全等關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生抓住模型的本質(zhì)屬性，提升模型識(shí)別和構(gòu)建的能力，總結(jié)解題的方法策略，養(yǎng)成運(yùn)用模型解題的習(xí)慣.

最后是關(guān)注學(xué)生解題的過(guò)程和存在的問(wèn)題，提高學(xué)生的解題效率.運(yùn)用幾何模型解題的基本思路是找角、定線、建模，解題的過(guò)程是學(xué)生思維方式具體展現(xiàn)的過(guò)程，教師要關(guān)注學(xué)生的解題思路的形成過(guò)程和存在的問(wèn)題，以此為切入點(diǎn)，幫助學(xué)生分析問(wèn)題存在的根源，是對(duì)模型的認(rèn)識(shí)不夠深刻，還是基礎(chǔ)知識(shí)的欠缺，或是綜合能力不夠、思維容易混亂；分析數(shù)形結(jié)合思想、模型思想和方法是如何具體應(yīng)用的，理順解題的步驟，并注意融會(huì)貫通，以一題會(huì)一類，形成解題通法，從而提升學(xué)生的解題效率.

總之，在幾何教學(xué)中，對(duì)教材的深挖，對(duì)幾何模型的提煉是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的探尋和把握.利用幾何模型展開解題教學(xué)，讓學(xué)生在多組題型中進(jìn)行縱橫比較，可以提升學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

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