培養解題反思能力 發展數學核心素養
——關于一類圓錐曲線定點問題的探討*

劉宏英 (廣東省惠州市第一中學 516001)

王海青 (惠州學院數學與統計學院 516007)

《普通高中課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標》)指出,高中數學的課程目標是使學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的“四基” “四能”,發展數學學科核心素養[1]8.課程目標的實現有賴于數學概念課與原理課的教學,而習題課與復習課的教學則是對數學概念課與原理課的延續,通過對相應題型的訓練來鞏固所學,深化理解.波利亞的著作《怎樣解題——數學思維的新方法》[2]27-30中關于解題的四階段理論,能為教師的解題教學提供有益指導,并幫助學生學會思考,促進學習的遷移.四階段理論是指數學解題教學要通過有效的啟發提問,引導學生經歷“理解題目→擬定方案→執行方案→回顧”四個步驟,鼓勵一題多解,并在多題一解的過程中將解題的思維過程顯性化.下面以2020年全國I卷第20題為例,運用波利亞的解題理論,開展多輪循環上升、層層遞進的深入探究,引導學生發現數學問題中的一般性規律,培養學生的解題反思能力,發展數學核心素養.

圖1

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明:直線CD過定點．

評析2019年、2020年、2022年的高考數學卷中都出現了直線與圓錐曲線相交背景下動直線過定點的問題.此類問題有助于學生理解圓錐曲線的幾何特征,理解借助代數方法解決幾何問題的算理和算法,鞏固整體知識體系和思想方法,促進直觀想象、邏輯推理、數學運算等素養向更高層次的水平發展.橢圓在圓錐曲線中處于基礎性地位,因此這道題具有代表性.下面重點探討第(2)問.

1 第一輪探究

本環節在明確研究對象及其問題、熟悉基本研究方法的基礎上,通過啟發學生優化運算方法來培養解題反思能力,發展邏輯推理和數學運算素養.

1.1 理解題目

提問:題目中有哪些研究對象?定量有哪些?變量有哪些?它們之間有什么關系?求解的目標是什么?

設計意圖引導學生明確題目的關鍵信息:(1)研究對象——橢圓、直線、點;(2)定量——橢圓E以及左、右頂點A,B,直線x=6;(3)變量——直線x=6上的動點P,橢圓上的動點C,D;(4)點C,D分別是動直線PA,PB與橢圓E的交點;(5)要求解的目標是動直線CD過定點.

提問:將例題和你解決過的問題聯系一下,能聯想到哪些知識和方法?

設計意圖引導學生回憶與本題相關的兩個知識和方法:一是直線與橢圓相交問題的常規解法,即聯立直線與橢圓的方程解出交點坐標;二是動直線過定點問題的常規解法,即寫出含參數的直線方程y-y0=k(x-x0),從而判斷出直線過定點(x0,y0).

1.2 擬定方案

提問:能否根據以上分析,借助思維導圖的形式繪制出解法1(思路一)的基本解題過程?

設計意圖引導學生明晰解題思路(圖2),鞏固直線與圓錐曲線相交問題和直線過定點問題的通性通法,提高對知識和方法的整體理解.

圖2 解法1的思維導圖

1.3 執行方案

提問:能根據解法1的思維導圖寫出詳細的解答過程嗎?

設計意圖幫助學生鞏固直線與圓錐曲線相交問題和直線過定點問題的通性通法中的運算步驟,發展數學運算和邏輯推理素養.

1.4 回顧

提問:回顧解法1的步驟,解答過程中有沒有需要補充和改進的地方?

設計意圖引導學生學會檢查關鍵步驟,如:直線與橢圓聯立后所得方程是否正確?直線方程斜率是否存在?確保推理和運算的準確性.

提問:解法1中最難的環節是什么?為什么?

設計意圖“怎么算”是直線與圓錐曲線相交問題中一個普遍的難點,通過這個問題引導學生在通性通法的基礎上,結合具體問題優化運算思路,樹立從一般到特殊的意識.可啟發學生從以下兩個方向對解法進行優化.

(1)聯立直線PA與橢圓的方程后,因為交點A的坐標是已知的,所以可以借助韋達定理求出點C的橫坐標(解法2,思路如圖3).

圖3 解法2的思維導圖

(2)采用設而不求的方法,不求出點C,D的坐標,直接得到含有參數t的直線CD的方程(解法3,思路如圖4).

圖4 解法3的思維導圖

評析數學教育家弗賴登塔爾說過:“反思是數學思維活動的核心和動力.”波利亞也提出:“好的思路來源于過去的經驗和以前獲得的知識.”[2]7因此求解出問題的答案并不是解題教學的終點,而是一個新的起點.反思“怎么算?為什么這樣算?”是提升學生邏輯推理素養的關鍵.數學運算作為一種特殊的邏輯推理——演繹推理,是解決數學問題的基本手段[3].通過設問引導學生反思解題過程,促使其在孤立的各個知識點間建立有機聯系,構建牢固的知識方法體系.借助思維導圖反思解題過程十分有效,通過比較不同方法的思維路線、計算策略,學生不斷優化解題思路,理解算法算理,提高運算的準確性.

2 第二輪探究

本環節運用“從特殊到一般再到特殊”的思想改變例題中定直線的方程,探索例題中蘊含的“直線與橢圓相交背景下,一類動直線過定點”的規律,進一步培養解題反思能力,發展直觀想象、邏輯推理和數學運算素養.

2.1 理解題目

提問:如果改變例題中定橢圓、定直線的方程,動直線CD還過定點嗎?借助幾何畫板進行探究.

設計意圖引導學生發現例題中動直線CD之所以過定點,是因為產生動直線的源頭是定橢圓和定直線,進而啟發學生思考:動直線CD所過的定點坐標與定橢圓和定直線有關.

2.2 擬定方案

提問:如果把例題中定橢圓、定直線的方程換成更一般的形式,你能得到什么結論?

2.3 執行方案

提問:回顧一下例題的不同解法,你能選擇一種來證明你得到的結論嗎?

設計意圖鞏固解決同一類問題的通性通法,發展更高層次的數學運算和邏輯推理素養.

2.4 回顧

提問:通過對例題中定橢圓、定直線方程的一般化,得到了一個關于橢圓的一般性結論.而橢圓的準線是一條特殊的直線,如果這條定直線恰好是橢圓的準線,那么直線CD所過的定點是什么?

設計意圖引導學生運用例題中蘊含的一般性規律解決特殊問題,發現如果定直線是橢圓的準線,那么定點恰為與準線相對應的焦點.

3 第三輪探究

本環節運用“從特殊到特殊”的方法改變例題中圓錐曲線的類型,通過培養解題反思能力,探索圓和雙曲線是否也具備與橢圓類似的結論,從而探索出例題中蘊含的圓錐曲線的一般性規律,由此進一步發展直觀想象、邏輯推理和數學運算素養,夯實“四基”,提高“四能”.

提問:與例題中的橢圓類似,圓(圓心在原點)、雙曲線(焦點在x軸上)也有左、右兩個頂點,對于這兩種圓錐曲線,是否也有類似于橢圓的上述結論呢?

設計意圖培養學生提出問題和解決問題的能力,引導學生以橢圓為代表,猜想結論并加以證明.由此可以給出以下兩個變式問題.

變式1 如圖5,已知A,B分別為圓O:x2+y2=r2與x軸的兩個交點．P為直線x=m上的動點,PA與圓O的另一交點為C,PB與圓O的另一交點為D．證明:直線CD過定點．

圖5

變式2 如圖6,已知A,B分別為雙曲線M:

圖6

評析第三輪探究旨在提高學生的數學抽象、直觀想象、數學建模素養,深化對數形結合、函數方程、轉化與化歸等數學思想方法的理解.例題求解完成后設置開放性問題,啟發學生對所解決的問題進行聯系、分析、比較、猜想、論證,找出與例題相關的圓錐曲線的統一性規律,最終幫助學生構建出數學知識與數學思想方法融合的整體認知結構(圖7).

圖7

4 進一步思考

可以結合學生實際,啟發學生在本節課的基礎上繼續新一輪的探究,培養學生的學習遷移意識和能力.

提問:通過改變圓錐曲線的類型,我們發現 圓和雙曲線也具有和橢圓類似的性質.而拋物線也是圓錐曲線的一種,為什么它不具備這種性質呢?

設計意圖引導學生認識到例題所體現的性質建立在圓錐曲線與其對稱軸有兩個交點的前提下,而拋物線與其對稱軸只有一個交點,因此無法出現兩個動點的連線.進而也啟發學生,如果把與圓錐曲線有兩個交點的直線(割線)變成只有一個交點的直線(切線),兩個切點之間的連線是否會過定點?

探究練習2(教材選修2習題[4])“已知點A,B的坐標分別是(-1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點M,且直線AM與直線BM的斜率的差是2,求點M的軌跡方程.”仿照上面例題的探究過程進行解答,將條件“斜率的差”分別改為“斜率的和、積、商”,軌跡又是什么?

設計意圖引導學生熟練運用“理解題目→擬定方案→執行方案→回顧”進行解題探究,促進學生的學習活動從知識、技能到數學思想方法的獲得,再到核心素養的提升,真正學會學習.

5 小結

《課標》提出:“既要重視教,更要重視學,促進學生學會學習.”[1]83而波利亞《怎樣解題——數學思維的新方法》的四階段理論為數學教與學提供了一種研究數學問題的規范化路徑,使學生理解數學問題是如何形成和發展的,以及數學中邏輯的連貫性和思想方法的一致性[5].運用波利亞的解題理論指導教師教學和學生解題,至少有利于學生掌握學習方法,啟發學生運用多種推理方式發現和解決問題,培養學生的辯證思維能力和理性精神;有利于學生領悟數學本質,學生在步步深入、層層遞進的探索中體驗通性通法、特性特法的適用范圍,在交流與反思中發現方法和規律的普適性,更好地理解問題中的數學結構與思想方法的本質;有利于學生發展高階思維,學生在有指導的探究中經歷由淺入深、由簡單到復雜的思維過程,逐步構建和完善知識與方法體系,提升分析、評價和創造等高階思維能力.