對高中統計教學與命題的幾點思考
——基于2022年新高考I卷統計題的源與流*

安愷凱 (江蘇省天一中學 214101)

1 教學現象

教育部考試中心的趙軒和任子朝教授在文獻[1]中指出:“高考立足于培育學生支撐終身發展和適應時代要求的能力.”同時西方學者H.R.韋爾斯也曾說過:“統計思維總有一天會像讀和寫一樣成為一個有效率公民的必備能力.”由此便不難理解為何隨著課程改革的推進,統計內容在新教材中的比重大幅增加,統計問題在新高考中的地位日益顯著,這符合人的發展、社會的發展,以及數學自身的發展.然而統計問題作為數學學科與生產生活實際聯系的主要渠道之一,卻在日常教學與命題中遇到了不小的困境.

1.1 命題困境

縱觀新高考實施以來各地模考試題,雖然統計類試題的命題情境能較好地聯系自然社會實際,但試題考查角度較為單一,一般都以計算回歸直線方程或卡方值為固定考查方向,缺乏多樣性與創新性.又由于相關公式都由試題附帶,統計試題變成了單純的套用公式、機械計算題,喪失了對學生統計思維和核心素養的考查與選拔區分功能.

1.2 教學困境

在統計內容的日常教學中也普遍存在表面化、公式化、套路化等現象,原因主要有三點:首先,如章建躍教授在文獻[2]中指出,“教師的知識儲備不夠,許多教師在大學沒有學多少概率、統計知識,對這一內容不熟悉,把握不準確,他們不習慣不確定性的教學”.其次,教學現象與命題現象之間相互影響,形成“惡性反饋循環”,由于試題只考查單純計算,所以教學只教解題步驟.又由于教學只教解題步驟,所以命題只命制單純計算.第三,以回歸直線方程系數和卡方表達式為例,教材中核心統計量在初等數學方法上的推導過程較為復雜,與課堂容量和學生學情之間有一定的矛盾性,教師因此不愿意在化解這類矛盾性上多下功夫,而傾向于采用更為功利性的灌輸記憶與機械訓練的教學方式.

要想打破統計教學與命題所面臨的困境,急需新高考真題的一聲“驚雷”.2022年全國新高考I卷統計試題標新立異,通過引入新的統計量,致使套路失效,但又不脫離獨立性檢驗原理,有效地考查了學生對列聯表與獨立性檢驗本質的深層理解,促使教師在統計內容教學過程中重視公式的生成、原理的辨析、思維的培養.

2 問題呈現

問題1(2022年全國新高考I卷第20題)一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣(衛生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系,在已患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組),得到如下數據:

(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異?

表1

表2

本題第(1)問考查內容延用“列聯表與獨立性檢驗”中的主干知識——卡方檢驗,只要教師在平時教學活動中確切立足于“四基”,即引導學生理解基礎知識、習得基本技能、感悟基本思想、積累基本活動經驗,同時學生具備一定的數據分析和數學運算素養,便不難在高考考場上作出正確解答.

本題第(2)問引入新的統計量,要求學生通過條件概率公式證明新統計量兩個表達式之間的等價關系,一方面更深層地考查學生的數學抽象和邏輯推理素養,另一方面讓一味地“刷題”訓練的模式在高考考場中失速失效,突出了對學生現場理解、獨立思考、創新意識的考查,有效地增強了試題在學生思維品質和關鍵能力上的甄別功能.然而第(2)問引入的新統計量對于很多教師而言都較為陌生,不知所名,不知出處,不知有何實際統計意義.筆者在下文中對該新統計量逐本溯源,以期能幫助同行加深對本題的理解.

3 逐本溯源

獨立性檢驗是檢驗分類變量之間關聯性強弱的統計方法[3].分類變量(categorical variable),又可譯為屬性變量,定義為由類的集合組成的度量量表,不同于連續變量,屬性變量的觀測值僅表明結果所屬類別.近年來,針對屬性數據統計方法的應用日益廣泛,尤其是在生物醫學和社會科學領域.

問題1中的度量指標R涉及到兩個屬性數據分析中的統計概念——優勢(odds)與優勢比(odds ratio).

表3

基于以上的認識,我們可以得到問題1第(2)問中優勢比兩個表達式之間等價關系的直觀理解.當列聯表的行和列顛倒后,優勢比并不變化.所以表的行可以作為列,列可以作為行.不論我們是把列當作響應變量而把行當作解釋變量,還是把列當作解釋變量而把行當作響應變量,我們都會得到相同的優勢比,所以我們在估計R時并不需要去設定某個變量為響應變量.

梳理清楚了度量指標R的“源頭”,能否由此延伸出更多有關度量指標R的思考“流向”,以供學生繼續深入探究,發展高階創新思維呢?

思考流向1 問題1類比卡方K2表達式的生成過程,從條件概率的角度出發,雖然很好地考查了優勢比R與分類變量之間的聯系,但未能像卡方K2一樣生成由具體頻數a,b,c,d表示的表達式,不妨要求學生繼續嘗試公式推導.

思考流向2 獨立性檢驗的零假設H0為事件A與B獨立,我們已經知道若H0成立,則卡方K2值為0,此時優勢比R值必然也具有一定的特殊性,可引導學生進一步探究.

4 問題新編

基于以上兩個“流向”的思考方向,筆者嘗試進行如下問題新編.

問題2試用表3中的頻數a,b,c,d給出R的估計值.

可見,優勢比R在本質上是比較ad與bc,與卡方K2是類似的.

問題3當事件A與B獨立時,求R的值.

解析1因為事件A與B獨立,所以K2=0,即|ad-bc|=0,亦即ad=bc,故R=1.

獨立值R=1是兩組比較的基準[3].當優勢比處于1的兩側,它分別代表了不同類型的關聯性.如在表3中,當R>1,第一行中事件A發生的優勢比第二行大;當R<1,第一行中事件A發生的優勢比第二行小.R的值在給定方向離1越遠,代表了關聯性越強.當一個R值是另一個值的倒數時,它們具有相同的關聯程度,只是方向相反.例如,問題1第(2)問中計算得R的估計值為6,從統計的角度說明病例組中事件“選到的人衛生習慣不夠良好”發生的優勢是對照組中事件“選到的人衛生習慣不夠良好”發生的優勢的6倍.

5 教材導向

問題1本質上考查了學生對列聯表的認識程度,即列聯表行列變化對統計量的影響,該命題角度是否是出卷人憑空而生的呢?認真閱讀教材與教參,便會發現該考查方向并非無跡可尋.文獻[4]在“列聯表與獨立性檢驗”章節的例3(檢驗甲、乙兩種療法對小兒消化不良的治療效果是否有差異)中,特地設置了觀察欄目,要求學生觀察并思考:“在列聯表4中,若對調兩種療效的位置,則K2的表達式中a,b,c,d的賦值都會相應地改變,這樣做會影響K2取值的計算結果嗎?”

表4

文獻[5]對此作了解釋:“在教科書表4中,對調兩種療法或兩種療效的位置,不會影響K2值的計算結果.事實上.對調兩種療法的位置,相當于對調a與c,b與d的位置,由K2的表達式可知,并不影響K2值的計算結果.同樣地,對調兩種療效的位置,相當于對調a與b,c與d的位置,也不影響K2值的計算結果.”

綜合以上論述,可以歸納得如下結論:

結論1在列聯表中顛倒行列,卡方K2值不變,優勢比R值也不變.

結論2在列聯表中對調兩行或對調兩列,卡方K2值不變,優勢比R值變為原值的倒數.

由此可見,新高考中的問題創新仍是由教材導向的.高考真題極好地區分了“按照教材環節,引導學生推導公式生成、辨析統計思想”和“按照解題流程,訓練學生記憶解題步驟、機械套用公式”兩種教學教法,有效考查了學生的真學真知.

6 教學啟示

6.1 注重問題情境設計,突出理論聯系實際

統計學是一門收集、整理和分析數據的科學和藝術,用數據來解釋現象是統計的本質,故統計問題是脫離不開實際的生產、生活和科研情境的.無論是在教學還是命題中,都應注重在社會實際中節選素材,使得試題情境更加真實和復雜,模型更加精細和完善,以此提高試題質量和科學化水平,強化數據分析和數學建模素養的考查,促使學生體會統計思想在解決實際問題中的廣泛應用范圍.

6.2 領悟教材設計思想,明確教材設計思路

人教版新教材的每個章節都設置了思考、探究、歸納、觀察四種欄目,在文獻[2]中章建躍教授對這四種欄目有如下評價:“教材中設置此類欄目,以問題引導學習,有效加強了‘問題性’;使用‘先行組織者’等手段,加強了學生類比、特殊化、推廣等邏輯思考方法的引導,從而有效加強了‘思想性’;強調數學知識之間、數學與現實之間的聯系以及數學應用,從而有效加強了‘聯系性’”.表5統計了文獻[4]中每個章節的四種欄目數,可見統計章節尤其注重數據觀察、思考分析能力的培養.筆者認為這四種欄目不僅是教學內容的思維起點與延伸方向,也是高考試題的命題視角與創意源泉,正如羅增儒教授所言:“教材是課程的載體,所以高考命題最具體、最方便的依據就是教材”.

表5

6.3 汲取大學統計知識,增強統計思維含量

隨著科學技術迅猛發展,國際競爭日益激烈,為了適應社會發展的需要,教材內容和高考試題的吐故納新是必需的.統計作為新高考革新的主要板塊,要體現出新高考由知識立意轉向能力立意的命題趨向,要肩負起為高校選拔具有學習潛能的創新人才的時代重任.以大學統計知識為背景編擬試題,并非要求教師向學生講授高等數學知識,而是讓教師以高觀點知識為路標尋找命題方向,一要注意所編的問題必須能用初等數學方法解答,不能生搬硬套高等數學方法;二要注重新題背景要具有普遍意義,與高中統計知識之間具有“強聯系性”和“可類比性”.以此才能進一步創新試題選材與設計方式,扭轉統計中長期存在的膚淺理解和機械刷題的現狀,進一步提高學生作為未來公民所必備的統計思維和數學素養,以滿足個人發展與社會進步的需求.