基礎隱喻數學觀下的課堂新認知

張怡文 趙健瀅 (南京師范大學教師教育學院 210023)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》在課程性質中指出:“數學源于對現實世界的抽象,基于抽象結構,通過符號運算、形式推理、模型構建等,理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律．”[1]數學課程中抽象的內容和表現形式,容易成為學生構建新的數學認知的難點．基礎隱喻能以來自生活實物中的經驗為來源,依據具體經驗與抽象的數學知識之間的某種相似性,建構相關內容的隱喻投射,幫助學生理解抽象的數學概念及數學運算的內涵．本文以基礎隱喻為理論基礎,創設以生產線、配制酒精溶液為背景的系列化基礎隱喻,推動數學知識生活化、形象化發展．

1 概念界定

隱喻,是語言學中的一種修辭手法,以兩物之間的相似性進行間接暗示的比喻,從而傳遞出更富意蘊的內在表達．同時,它也是一種認知現象,用個體對某一實物的經驗去理解另一類實物的概念．隱喻認知就是利用在源域中形成的認知經驗對靶域進行認識[2]．

在隱喻的觀點下,數學本質上是一個網絡[3]．基礎隱喻是數學隱喻網絡的一個重要組成部分．Lakoff和Núez根據隱喻與數學的關系,認為基礎隱喻將數學外的源域(如實物)同數學中的靶域(數學概念或意義)相聯系[4]．

“定義域是盛著點的容器”是一個經典的基礎隱喻的例子,以容器作為數學外的實物源域,去理解數學中抽象的定義域的概念．容器內能放物體是學生已有的認知經驗,助力學生構建對定義域內能放點的認識,將生活實踐中的具體經驗用于認知抽象的數學概念．

2 相關研究

文[4]根據隱喻與數學的關系,區分了基礎隱喻和連接隱喻．文[3]從認知心理學基礎、數學觀和數學教育觀三方面剖析數學教育中的隱喻．文[5][6]分別以專家型、熟手型教師作為研究對象,研究數學課堂教學中的隱喻語言．文[7]挖掘隱喻本質,得出具身認知、人際交往、情境場域這三種教師學習經驗的隱喻表征路徑．文[8]利用具身認知理論,發現隱喻思維有益于對數學抽象內容的理解．

現有研究以思辨研究為主,聚焦在隱喻本質內容,包括結構隱喻、方位隱喻及本體隱喻,鮮少有學者研究隱喻的課堂落實案例．故本文以數學隱喻網絡下的基礎隱喻為出發點,來設計能真正落到實處的教學案例．

3 教學案例

3.1 求復合函數的解析式

兩個函數y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數,那么稱這個函數為函數y=f(u)和u=g(x)的復合函數,記作y=f(g(x))．

求復合函數的解析式,其本質是對對應關系的深度理解．在函數概念從初中的“變量說”拓展到高中的“對應說”的過程中,“對應關系”的概念就像“函”字所表示的未知盒子,對于學生來說仍是陌生的．代入法、配湊法和換元法是解決此類問題的常見方法．但是,學生缺乏對“對應關系”的深度理解,在解題過程中往往面臨知其然而不知其所以然的窘境．因此,本文以基礎隱喻為理論支撐,創造性地引入原料、生產線、產品等一系列基礎隱喻,借助生活中的生產線問題形象化地闡釋計算中的數學內涵(表1)．

表1 生產線問題的基礎隱喻

例1設函數f(x)=2x-1,則函數f(x+1)=,f(f(x))=．

分析教師引導學生將f想象成一條生產線,原料A在生產線f的作用下變成原來的兩倍減一,得到一個2A-1的產品．當學生對以生產線為源域的基礎隱喻有了初步了解,教師再次引導學生考慮原料為x,x+1,f(x)的情況．

例2設函數f(x)滿足f(x+1)=2x+1,則函數f(x)=．

分析教師通過基礎隱喻啟發學生轉化問題,將抽象的求解對應關系的問題轉化為形象的生產線對原料x+1的操作過程．通過配湊法,將原式改寫為f(x+1)=2(x+1)-1,使學生能直觀地看出生產線f的操作過程是將原料變成了原來的兩倍減1,那么以x為原料得到的產品即2x-1．

3.2 求復合函數的定義域

學生初學復合函數時容易混淆定義域的范圍與內函數的范圍,而教師在講解時往往難以用形象的語言解釋解法的緣由．文[9]以映射、管制的語言解釋解法過程,但這樣的解釋對學生而言仍然略顯抽象．為了更形象化地解釋這一問題,本文創造性地引入預加工過程、原料、原料規格、生產線、產品等一系列基礎隱喻,以原料規格作為問題突破口,幫助學生理解求復合函數定義域的整個計算過程(表2)．

表2 原料規格問題的基礎隱喻

例3已知函數f(x-1)的定義域為[-2,3],求函數f(2x+1)的定義域．

分析教師首先需要提醒學生,定義域[-2,3]指的是函數f(x-1)中x的范圍,引導學生借助整體思想將圓括號中的內函數x-1視作原料,其范圍即原料的規格．原料規格這一基礎隱喻便是連接前后兩個定義域范圍的橋梁．解題過程分為四步:

第一步 預加工過程,即從x的范圍得到x-1的范圍為[-3,2]．

第二步 明確原料規格,原料規格即 [-3,2]．

第三步 確定新原料并列式,2x+1作為原料需要符合原料規格,即-3≤2x+1≤2．

3.3 平面向量基本定理

在學習平面向量基本定理之前,學生已學習過共線向量基本定理,初步體驗了用“少”來表示“多”的思想．但是,由“一維直線”上升到“二維平面”,對于學生來說是一個思維的跨越．

在平面向量基本定理的學習中,對于基底的理解,學生可能會存在困惑．實際上,基底暗含了數學中基本量的思想．“基本量思想是數學思想,我們在遇到一串量的時候,首先想到能不能從中選出幾個量作為基本量,而其余的量都可以用基本量來表示或計算．”[10]

基本量的思想在高中數學乃至高等數學中都有著重要的作用,本節課為學生領悟這個思想提供了一個寶貴機會,教學中應抓住并利用好這個機會．對于基本量的教學,本文引入以生活中的“配制酒精溶液”問題為源域的基礎隱喻來幫助學生理解基本量的價值(表3)．

表3 配制酒精溶液問題的基礎隱喻

例4引入基本量的教學情境．

在生物實驗室中,要用到不同含量的酒精．例如在鑒定脂肪的實驗中,要用體積分數為50%的酒精洗去浮色;滅菌消毒需要體積分數為75%的酒精;觀察植物細胞的有絲分裂時,需要體積分數為95%的酒精．但是,無論體積分數是多少的酒精,都可以由“乙醇(可以看作是100%的酒精)”和“水(可以看作是0%的酒精)”通過不同的比例混合后得到．“乙醇”和“水”就是酒精全體中的兩個基本量,可以由它們來產生任意含量的酒精．

教師引出了基本量后,需要引導學生思考:是否能用75%的酒精和水得到任意含量的酒精?答案是否定的,如95%的酒精就無法得到．因此對于基本量的選擇,是需要符合一定要求的．直觀來看,75%的酒精中含有水,因此75%的酒精和水之間是有交叉的,不是互不相關的．

類比于生活中的任意含量的酒精,在數學中,平面上有無數個向量,教師可啟發學生思考:能不能從中選基本量進而生成任意的向量?

借助共線向量基本定理,即“位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示”,教師提示學生將“一個非零向量”視作基本量,通過數乘運算得到這條直線上的任意向量．由直線到平面,學生便自然猜想到平面上基本量的個數應為2．

那么,怎樣的兩個向量能表示出平面上所有的向量呢?教師進一步啟發學生根據前面例子中“乙醇”和“水”兩個基本量互不相關的特點,猜想出作為基本量的兩個向量之間需要滿足的關系．

4 教學啟示

數學具有抽象性是普遍的共識．對學生而言,由于數學抽象能力還未達到一定高度,在初學數學知識時容易遇到認知壁壘．教學過程中的基礎隱喻能作為他們認知抽象的數學概念的“腳手架”,幫助打破認知壁壘,讓抽象的概念在具體經驗的基礎上得以生長．

以生活化的生產線問題創設的基礎隱喻,能幫助學生克服學習“對應關系”概念的認知困難,引導學生在生活經驗的背景下去理解數學概念;以配制酒精溶液為背景的基礎隱喻,更能契合平面的二維特征,幫助學生理解找基本量的目的及基本量的特點．

基礎隱喻,以生活中熟悉的實物為切入點,能增進學生對數學概念的理解,為教師在教學過程中突破數學抽象性這一教學難點提供了思路．基礎隱喻在真實課堂中的運用,是幫助學生更好地發展數學認知的一次嘗試．以具體的經驗來源作為源域,拉近了抽象的數學概念與現實生活之間的距離．