高考數學試題中的情境設置及啟示
——以2022年高考數學試題為例*

鄭蓉蓉 蔣逸卿 唐恒鈞 (浙江師范大學教育學院 321004)

1 引言

情境是高考數學命題的三大要素(立意、情境、設問)之一[1],更是承載考查內容、實現考查要求的重要載體．因此,高考試卷中情境化試題的分析研究對把握命題趨勢與高考評價方向有重要意義．以下擬對2022年10套高考試題,從情境視角進行分析,在宏觀層面總結情境設置的特點,并在微觀層面結合具體試題進一步剖析并提出相關的啟示與建議．

2 分析框架

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)將“情境與問題”列為體現數學學科核心素養的首要方面,其中情境主要是指現實情境、數學情境、科學情境,問題是指在情境中提出的數學問題．每種情境又可根據本身的復雜程度分為熟悉、關聯、綜合三個層次,與數學學業質量水平相對應[2]81．這樣的劃分,明確了高考數學試題情境的材料來源和載體作用．本文便從情境的三種分類與學業質量維度下情境的三種水平這兩方面對2022年高考試題的情境進行分析．

2.1 情境的三種分類

《課標》將情境分為現實情境、數學情境和科學情境三類,分類描述及示例如表1所示．

表1 情境的三種分類框架

2.2 學業質量維度下情境的三種水平

在學業質量維度下,每一類情境可分為熟悉、關聯和綜合三個層次,分類描述及示例如表2所示．

表2 情境的三種水平框架

3 高考數學卷中情境化試題分布分析

3.1 情境的三種分類

為了更合理地得到情境化試題在整份高考卷中的比重,本文以每道題的分數與總分的比來衡量,用百分數來表示,將結果保留兩位小數得到表3．

表3 三類情境的卷別:題型分布

表3顯示,所有試卷中都是數學情境化試題的比重最大,而且遠遠超過了其余兩種情境．這是因為從廣義上說,大部分純粹的數學問題都是數學情境化試題,這也是由數學的抽象特征所決定的．但數學情境獨占全貌的情況已經一去不復返了,2022年數學高考試卷以考查數學情境為主,輔以必要的現實情境與科學情境．學生不僅要掌握數學的基礎知識與基本技能,更重要的是理解數學問題的本質,從真實背景中抽離出數學問題,感受數學應用的廣泛性,獲得數學的基本思想．

另外運用SPSS 25軟件進行對應分析,以研究2022年10套高考數學試題與三類情境的考查間的關系．如圖1所示,自主命題卷、全國卷以及新高考I卷和II卷在圖中大致分屬原點周圍三個區域且絕大多數距離原點較遠,這說明三類高考試卷試題情境設置存在差異,具有比較強的獨特性[3]．具體地,自主命題卷中浙江卷、上海卷和天津卷與數學情境距離較近且總體遠離原點,說明相對于其他卷別,自主命題卷更加注重數學情境化試題的考查,比重更高;同樣地,新高考I卷、II卷與科學情境較近且總體距離原點較遠,反映了相對于其他卷別,科學情境的設置在新高考I、II卷中的體現更多;相對而言,全國甲、乙文科卷更注重現實情境化試題的考查．

圖1 卷別與三類情境對應分析圖

3.2 學業質量維度下情境的三種水平

《課標》“學業質量”部分,將“情境”按難度劃分為熟悉、關聯﹑綜合的情境,本文借鑒《課標》的分析框架,將現實情境、數學情境、科學情境按上述三種水平依次劃分為九種子情境,并對10套高考卷試題的九種子情境的考查比重進行整理,得出表4．

表4 九種子情境總體分布

從整體看,數學情境水平一(B1)在2022年的高考卷中考查的比重最大(34.93%),而現實情境水平三(A3)和科學情境水平三(C3)考查比重最小(0%);試卷以考查熟悉的情境和關聯的情境為主(77.66%),并且在每種情境內部都呈現出考查比重隨難度水平升高而降低的趨勢,這是由學業質量水平二為高考要求決定的．

依據卷別對10套高考卷試題的九種子情境考查情況統計分析(圖2),其中天津卷數學情境水平一(B1)比重最大(46.67%),甲卷文科現實情境水平一(A1)比重最大(19.33%),乙卷理科情境種類最豐富(七種)．部分試卷情境設置比例相對均衡,如甲卷文科,而另一部分試卷則差異顯著,如天津卷．這體現了不同卷別情境設置的關注點存在差異．

圖2 九種子情境在10套試題中的分布

4 典型案例分析

綜合以上統計分析結果可以發現,2022年數學高考試題的特點是:數學情境比重大且層次豐富、科學情境化試題比重偏低且層次單一、不同卷別的情境關注點存在差異．

4.1 數學情境比重大且層次豐富

例1(2022年北京卷第20題)已知函數f(x)=

exln(1+x).

(1)求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;

(2)設g(x)=f′(x),討論g(x)在[0,+∞)上的單調性;

(3)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).

北京卷第20題屬于數學情境化試題,三個小題分別處于數學學業質量水平一(熟悉情境)、水平二(關聯情境)、水平三(綜合情境)層次,為數學基礎與數學能力有差異的學生均提供了發揮空間,更精準地發揮了數學學科考試的選拔區分功能．

小題(1)屬于熟悉的數學情境,考查在已知函數解析式的情境下,曲線在某點處的切線方程求法．大部分學生對這題應該都有似曾相識的感覺.該題的求解需要學生在平時解決相似問題的經驗中感悟數學的通性通法．因此小題(1)只需根據導數的幾何意義,先求出f(x)的導函數,再將點的橫坐標代入f′(x)得到在該點處的切線斜率,由點斜式便可求出切線方程．

小題(2)屬于關聯的數學情境,考查用導數研究較復雜函數的單調性．學生需要掌握常見基本初等函數的導數公式及可導函數四則運算的求導法則,厘清導數與函數單調性之間的邏輯關系,理解其中的數學思想,這樣不論遇見多復雜的函數都能夠有思路、有信心地往下做．對于本題來說,難點一便是對g(x)進行求導,難點二是判斷x∈[0,+∞)時g′(x)的正負情況,需要將g′(x)通分之后才能看出來．

小題(3)屬于綜合的數學情境,考查導數的綜合運用．本題解法不唯一,但是利用數形結合的方法是最簡單的．這要求學生具備數形結合的思想,能夠借助圖形探索解決問題的思路,充分利用小題(2)的結論,由曲線斜率過渡,探索論證途徑．由小題(2)可知g(x)在(0,+∞)上是遞增的函數,通過求導可得函數F(s)=f(s+t)+f(s)-f(t)在[0,+∞)上單調遞增且F(s)>0,故結論成立．

基于以上分析,北京卷第20題的數學情境設置確實層次豐富,這也是2022年高考試題數學情境設置的縮影:數學情境化試題的比重最大且層次豐富,體現了數學高考的科學選拔與全面發展人才的功能．

4.2 科學情境化試題比重偏低層次單一

例2(2022年北京卷第7題)在北京冬奧會上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術,為實現綠色冬奧作出了貢獻.圖3描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態T與lgP的關系,其中:T表示溫度,單位是K;P表示壓強,單位是bar.在下列結論中正確的是( )．

圖3

A.當T=220,P=1 026時,二氧化碳處于液態

B.當T=270,P=128時,二氧化碳處于氣態

C.當T=300,P=9 987時,二氧化碳處于超臨界狀態

D.當T=360,P=729時,二氧化碳處于超臨界狀態

2022年高考卷整體上科學情境化試題比重偏低,且具有情境的復雜水平單一等特點．北京卷第7題以國家速滑館“冰絲帶”綠色環保場館為背景設置科學情境,考查學生的信息提取能力、數學應用能力和對數數值的估算能力．學生只要能夠明確該問題的特征,即坐標位置對應二氧化碳狀態,再根據問題特征形成合適的運算思路,依據選項給出的T和P的具體數值,對lgP進行估值后得到相應坐標,對照圖表易知二氧化碳所處的狀態．因此本題相關知識與問題特征能從情境中直接抽象出來且數學關系單一、運算簡單,按復雜程度劃分屬于熟悉的科學情境．本題雖難度不大,但創設了科學情境將數學與化學聯系起來,引導學生發現數學知識在其他學科領域的廣泛應用．

4.3 不同地區試卷的情境關注點存在差異

上一節中的圖1和圖2表明自主命題卷、全國卷以及新高考卷三類高考卷試題情境設置傾向有所差異,反映在自主命題卷更注重數學情境化試題的考查;新高考卷更傾向于科學情境化試題的設置;全國甲、乙文科卷則更關注現實情境化試題．具體表現在:對于同一內容(數列)的考查,三類高考卷設置了不同類型的情境.以下取三道典型試題加以探析．

A.b1

C.b6

乙卷理科第4題以嫦娥二號深空探測這一科學活動為情境的載體,設置科學情境.試題里數列遞推公式來源于情境中兩個繞日周期的比值問題,考查學生數學閱讀能力、信息提取能力、綜合應用各項知識的能力以及數學運算等核心素養．若能發現ak在題中的任意性,便可取特殊值代入,對復雜的數學問題進行簡單、直觀的表達,抓住問題的本質,形成解決思路．

圖4

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9

新高考II卷第3題依托中國古建筑設置現實情境,考查學生將與學習生活緊密關聯的實物抽象為幾何圖形、建立圖形與實物之間的聯系、發現圖形與數量關系的思維過程,學生進而借助圖形探索解決問題的途徑,發展直觀想象、數學運算等核心素養．本題的關鍵在于建立等差數列和直線OA斜率間的聯系,從而求解得出k3．此題選取中國傳統建筑結構為情境載體,可以使等差數列和直線斜率這類理論知識在現實情境中展現生機,貼近現實．

例5(2022年天津卷第18題)設{an}是等差數列,{bn}是等比數列,且a1=b1=a2-b2=a3-b3=1.

(1)求{an}與{bn}的通項公式.(2)(3)略.

天津卷第18題第(1)問以數列為背景,通過給出一等差數列和等比數列前三項之間的等量關系構建數學情境．問題的關鍵是利用等差數列、等比數列的特征進行消元,從而求出公差和公比．這個過程考查學生是否能把握研究對象的數學特征,感悟通性通法的數學原理和其蘊含的數學思想,進而發展學生的數學運算、邏輯推理核心素養．

三道試題考查內容均為數列,整卷中數列題普遍不會超過三道,但不同地區的三類試卷為其設置了不同類型的情境,這在一定程度上反映了三類試卷在情境類型的關注點上具有比較強的獨特性．

5 啟示與建議

《課標》指出,高考命題要充分考慮對教學的積極引導作用[2]88.上述研究反映了2022年高考數學試題在情境的類型、層次和卷別傾向上的命題特點,教師應把握命題方向,選擇合適的考查載體,以考促學.

5.1 有意識地創設數學情境,用數學問題鏈驅動教學

2022年高考數學試題均呈現出“數學情境比重大且層次豐富”的特點.數學情境層次的豐富性反映了情境中的問題具有跨度,這需要教師有意識地創設數學情境,用數學問題鏈組織和驅動教學.時下教學中經常存在教師通過系列問題來推動和引導學生學習的情況,然而教師所提問題之間往往跨度較小且過于直接,限制了學生思考的空間.反觀例1,三道小題分屬情境由低到高的三個層次,問題之間具有一定的思維跨度,這對當下的問題教學提出了挑戰.事實上,數學問題鏈教學強調通過主干問題驅動學生思考:一方面問題鏈中問題之間的跨度為學生提供適度思考空間;另一方面為學生的數學思考建構隱性脈絡,引向深入[4].基于此,教師首先要充分認識到數學情境是認知活動的信息載體,是發現、提出、分析、解決數學問題的基礎;其次,設置具有階梯性、思維跨度的關鍵問題,有意識地創設數學情境,使目標問題自然產生,體現以數學思維方法為主線的內在脈絡結構.學生在有序解決梯度性問題的過程中主動參與、積極思考,感受基本的數學思維方法,由此對問題產生深度理解[5].

5.2 更新學科觀念,促進學科間的交叉互融

《課標》提出,要強調數學與生活以及其他學科之間的聯系[2]2.數學作為一門基礎性學科,在任何學科領域,哪怕是人文社科領域,都有它的身影.數學的交叉和融合是由數學的本質決定的[6].從2022年高考試題中也可以看出,數學已經不再“純粹”,它能夠以各種學科背景為載體考查學生的能力.即使科學情境化試題當前所占比重偏低,對學科交叉融合的重視仍將是體現數學應用價值和時代特征的必然趨勢.但是與之相對的,我國數學課程因長期以來強調邏輯性、強調概念定理的深入理解而導致封閉有余而開放不足.因此教師更應該追隨新課改的浪潮,更新學科觀念,促進學科間的交叉互融,在教學中有意識地設計一些跨學科情境問題,給學生提供自主探索、合作交流的機會,讓學生體會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界.

5.3 注重同一對象的多情境認識,避免問題與情境的固化配對

分析發現,不同卷別的試題情境設置相對而言側重不同.例3～例5在不同類型的情境中考查同一知識點,這為教學提供了一個參考方向.情境是認知活動的信息載體,設置類型豐富、層次多樣的情境,能引領學生從多個角度、多種抽象層次體會數學問題的本質,對同一數學對象的認識和理解也會逐步加深.其次,在不同類型、層次的情境下引導學生采取多種方式表達與交流對于相同數學對象的理解,這有助于學生心智模式的激活與優化,為深度理解提供了可能[6].此外,注重同一對象的多情境認識可以破除一類問題與一種情境間的固化,改變思維定勢.例如,高考試題中導數和解析幾何的內容往往與數學情境配對,概率統計則常與現實情境結合.這固然受制于知識內容本身的結構特征、應用性程度和考試要求,但教學中需要關注到相關內容的多種情境,如在導數概念教學中創設熟悉的現實情境和關聯的科學情境.