基于GeoGebra平臺,以問題促探究
——以一道解析幾何教材習題為例*

張 巧 劉佛蓮 王 喆 孔德宏 (云南師范大學 650500)

GeoGebra軟件(下稱GGB)融合了代數與幾何的優勢,實現曲線和方程實時交互,是探究解析幾何問題的利器．本文從一道解析幾何教材習題出發,借助GGB進行數學探究,引導學生經歷“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題”四個階段,將圓方程進行推廣,歸納得到橢圓、雙曲線的第三定義,中心弦性質等結論．本次探究活動既能有效提升學生“四能”,又與新課標“數學建模活動與數學探究活動中,鼓勵學生使用信息技術”這一理念相契合．

1 提出問題

人教A版數學選擇性必修第一冊“2.4圓的方程”有一道課后習題:已知圓的一條直徑的端點分別是A(x1,y1),B(x2,y2),求證:此圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0[1]．

引導學生觀察題目和方程形式,可聯想到兩向量的數量積,由此打開思路,通過“圓的直徑所對圓周角為直角”和“兩向量垂直的充要條件”證明得到,此處不作詳細分析．

對于數學習題的教學,教師不能讓學生思維停留在題目表層,而應適當引導、啟發學生思考,鼓勵學生積極提出數學問題進行數學探究．基于學生提出的問題,本文對如下幾個典型問題展開探究:

問題1已知A(x1,y1),B(x2,y2),點P(x,y)滿足(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=c(c≠0),則點P的軌跡是什么?

問題2已知A(x1,y1),B(x2,y2),點P(x,y)滿足(x-x1)(x-x2)-(y-y1)(y-y2)=0,則點P的軌跡是什么?進一步推廣:若點P(x,y)滿足(x-x1)(x-x2)-(y-y1)(y-y2)=c(c≠0),則點P的軌跡又是什么?

問題3已知A(x1,y1),B(x2,y2),點P(x,y)滿足a(x-x1)(x-x2)+b(y-y1)(y-y2)=0,則點P的軌跡是什么?進一步推廣:若點P(x,y)滿足a(x-x1)(x-x2)+b(y-y1)(y-y2)=c(c≠0),則點P的軌跡又會是什么?

除以上問題外,學生還提出:交換A,B兩點的橫縱坐標后,軌跡又是什么?……

2 問題解決

·問題1的探究

猜想由(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=c(c≠0)得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2-c=0,符合圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0形式,猜想軌跡還是圓．

借助GGB展開探究:任意作出A,B兩點,創建滑動條c,輸入(x-x(A))(x-x(B))+(y-y(A))(y-y(B))=c,拖動滑動條c,觀察軌跡．觀察到:當c=0時,軌跡是以AB為直徑的圓;當c>0時,是直徑比AB大的圓;當c<0時,是直徑比AB小的圓,但當c一直小到某個值時,軌跡消失(圖1)．

圖1

·問題2的探究

猜想將方程展開會得到x2-y2的形式,與雙曲線的方程相似,故猜想軌跡為雙曲線．

借助GGB展開探究:任意作出A,B兩點,創建滑動條c,輸入(x-x(A))(x-x(B))-(y-y(A))(y-y(B))=c,改變c的值,觀察到:當c=0時,軌跡是以AB為實軸的等軸雙曲線;當c>0時,是實軸長比AB大的等軸雙曲線;當c<0時,是實軸長比AB小的等軸雙曲線,但當c一直小到某個值時,雙曲線兩支改變方向(圖2)．

圖2

·問題3的探究

猜想將方程左邊展開可得到ax2+by2的形式,它既與圓的方程相似又與橢圓方程相似,故猜想軌跡是圓或橢圓．

借助GGB展開探究:任意作出A,B兩點,創建滑動條a,b,c,輸入a(x-x(A))(x-x(B))+b(y-y(A))(y-y(B))=c(a≠0,b≠0),分別改變a,b,c的值來觀察軌跡變化情況．觀察到當c=0,若a,b異號,則軌跡是以AB為實軸的雙曲線,結論與探究2相符;若a,b同號,則軌跡是橢圓;特別地,a=b時軌跡是圓,結論與探究1相符(圖3)．

圖3

當a,b異號時,軌跡是等軸雙曲線.此時,當c>0時,雙曲線實軸長小于AB,但當c達到某個值時,雙曲線兩支改變方向;當c<0時,雙曲線實軸長大于AB．

當a,b同號且00時,橢圓長軸大于AB;當c<0時,橢圓長軸小于AB;當a

當a,b同號且a>b>0時,軌跡是橢圓.此時,當c>0時,橢圓短軸大于AB;當c<0時,橢圓短軸小于AB;當0>a>b時,將上述結論的短軸變長軸(圖4)．

圖4

3 進一步探究

探究再進一步,教師可引導學生在此基礎上探究斜率之和、差、商為常數時點的軌跡．

此外,學生還可以提出更多問題:(1)(x-y1)(x-y2)+(y-x1)(y-x2)=0(交換點A的橫、縱坐標,點B的橫、縱坐標);(2)(x-y1)(x-x2)+(y-x1)(y-y2)=0(只交換點A的橫、縱坐標);(3)(x+x1)(x+x2)+(y+y1)(y+y2)=0(括號內減變加);(4)(x-x1)(y-y1)-(x-x2)(y-y2)=0(交換前后一個因式且加變減)……

相應結論:(1)軌跡為圓,且與未交換之前所得的圓關于直線y=x對稱;(2)軌跡為圓,且與未交換之前所得的圓有公共點B;(3)軌跡為圓,且與未交換之前所得的圓關于原點對稱;(4)軌跡是直線,過直線AB的中點,且與直線AB斜率之和為0(圖5)．

圖5

4 應用

“以問題促探究”是培養學生鉆研數學問題的重要途徑,多問幾個為什么能激發學生的創新精神,提高數學學習興趣．近幾年的高考試題中,有一些試題是由課本例習題演變而來的．例如:

5 結論

(1)橢圓和雙曲線的第三定義.橢圓:平面上任意一動點到兩定點的斜率之積為負常數(除-1外)的點的軌跡是橢圓(除兩定點)．其中兩定點是橢圓長軸上的兩個端點,并且滿足橢圓方程．雙曲線:平面上任意一動點到兩定點的斜率之積為正常數的點的軌跡是雙曲線(除兩定點)．其中兩定點是雙曲線實軸上的兩個端點,并且滿足雙曲線方程．

6 啟示

(1)以問題促探究,培養學生問題提出能力.問題是深化學生對知識的理解、培養學生的問題提出能力和創新能力的重要武器．引導學生發現和提出有意義的數學問題,猜測合理的數學結論,

提出解決問題的思路和方案,通過自主探索、合作研究、論證數學結論的過程,培養學生的數學思維,發展學生的數學核心素養[2]．

(2)教師要注重“用”教材教,而不是“教”教材.新時代的教師應該是教育教學的研究者和反思的實踐者,要注重研究教材和教材配套資源的開發與利用．例如,教師應該敢于改編教材習題,引導學生變換題設條件、變換題目結論或增減題中的條件等,多角度、多層次進行探究,使其在“變”中比較,在“變”中感悟不變的規律,提升思維的創造性[3]．

(3)信息技術輔助教學,提升直觀想象素養.GGB能建立“抽象形式”與“可視內容”之間的直接聯系,實現“思維可視化”．基于GGB進行數學探究活動,鼓勵學生通過實驗、觀察、猜想、交流、歸納、驗證進行數學探究,揭示數學問題的本質,從而培養學生的數學思維,發展學生的數學核心素養[4]．