HPM視角下基于“大概念”的高中函數概念教學探索*

張海波 (廣東省惠州市惠東縣惠東中學 廣東省譚光友名師工作室 516300)

數學學科大概念(big idea)是指能反映數學學科本質及其特殊性的、構成學科框架的原理、思想和方法的理念．作為“三新”(新課標、新教材、新高考)背景下落實學科核心素養(yǎng)的關鍵,“大概念”既為關鍵性概念提供認識論和方法論的意義,又統(tǒng)攝和包含了大量學科知識,能夠體現(xiàn)主題內容與思想方法的整體性、系統(tǒng)性和聯(lián)系性．因此“大概念”能有效加強學生對數學整體性的理解和對數學思想的體會,進而有效發(fā)展核心素養(yǎng)．HPM(數學史與數學教育關系)視角下,遵循知識的歷史發(fā)生、發(fā)展規(guī)律,在教學過程中,不僅突出知識的本質屬性,而且滲透了知識產生過程中所包含的思想、方法和邏輯思維．因此HPM的融入,不僅能突出知識背后的思想、方法等,而且還能有效防止知識的碎片化,體現(xiàn)主題內容的整體性、聯(lián)系性．在“大概念”的指引下,融入HPM,使得主線、主題、章節(jié)、課時間的核心概念、基本知識等產生了內在必然的聯(lián)系,不僅能夠增強學生對數學知識整體性的理解,也能起到發(fā)展學生核心素養(yǎng)的目的．

因此,HPM視角下基于“大概念”的教學理念,能幫助學生整體理解數學知識,領悟其中的數學思想、方法,從而為核心素養(yǎng)的發(fā)展提供一個邏輯貫通且具有可操作性的途徑．

1 “研、設、問、探、評”的設計策略

首先,“研”是深入研究課程標準、新教材,并提煉出該主題的“大概念”．“大概念”是指能反映數學本質,構成學科整體性框架、思想和方法的上位知識．新課標是實施教學的準則,課程專家在制定、編寫課程標準和教材時,必會融入其在數學思想、方法、學科本質、學科框架等方面的見解,這些見解就是學科專家概括出的“大概念”,而學科大概念能夠將數學的關鍵思想方法和相關核心概念聯(lián)系起來,從數學學科的本質特征上整體把握每一課時的教學．因此,研究新課標、新教材等是提煉“大概念”的理論基礎．其次,“設”是指教師要在HPM和大概念理念的引領下創(chuàng)設一個蘊含數學本質的情境,將待解決的問題蘊含在情境問題中,學生在對問題進行分析、類比和歸納概括的過程中抽象出核心概念.再次,“問”是指教師要基于情境與核心概念,設計出指向核心概念生成的“問題串”,以此引導學生摒棄概念中的非本質屬性,保留數學的本質屬性,領悟其中的數學思想,發(fā)展核心素養(yǎng).接著,“探”是通過數學中的具體情境或實際生活中的問題,探究利用概念解決問題的過程,以加深學生對概念本質屬性的理解．最后,“評”是評價學生遷移、應用知識的情況．

2 教學探索——以函數概念的五個維度為例

2.1 研:研究新課標、新教材,以提煉“大概念”

“研”是研究課程標準、教材,并提煉函數主題的“大概念”．“大概念”是從知識的本質內涵出發(fā),基于數學整體性的思想、方法、知識結構、邏輯等角度凝練而來．

那么,函數主題的“大概念”內涵是什么呢?帶著這個問題統(tǒng)覽新課標及教材有關“函數”的內容,從函數主題的學科整體性思維,學科研究框架,整體性思想、方法和發(fā)展核心素養(yǎng)等角度入手,凝練如下:

新課標對函數內涵的定位:函數是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最基本的數學語言和模型[1]．

整個主題的教學結構是:學生理解一般函數的概念—研究一般函數性質—掌握一些具體的基本初等函數模型—知識的應用和遷移.通過函數主題的學習,滲透和運用其包含的思想方法:運動變化、數形結合、運算思想等.提升的數學學科素養(yǎng)包括:數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象、邏輯推理[2]．

基于新課標、教材的整體性分析,為更好凝練“大概念”的內涵,在教學前需要思考以下問題:(1)函數概念的本質屬性是什么?(2)它與本單元、主題、主線的其他內容有什么聯(lián)系?(3)函數概念教學蘊含什么數學思想方法?能發(fā)展學生什么核心素養(yǎng)?(4)本單元整體的研究框架、研究思路和手段是什么?(5)在HPM視角下,函數概念是如何產生的?如何通過數學史體現(xiàn)函數的研究思想和本質屬性?(6)對培養(yǎng)學生的價值觀有什么作用?思考這些問題有利于從數學知識的整體結構、核心內容、重要思想上凝練出學科“大概念”．

本主題整體的研究框架:創(chuàng)設情境—抽象概念—研究性質—遷移應用．

整體研究思路:(1)從一般到特殊(從一般函數到基本初等函數、從連續(xù)函數到離散函數);(2)從具體到抽象(從典型豐富的具體情境抽象出概念);(3)從定性到定量(從直觀表述到精確的定量描述)．

核心素養(yǎng)發(fā)展視角下的概念教學:提供典型豐富的情境(數學建模)—數學分析、類比(數學抽象、直觀想象)—歸納共同屬性(邏輯推理)—抽象概括出概念(數學抽象)．通過建模、抽象、推理、運算等手段,體現(xiàn)出概念教學的一般過程和手段．

概念教學的研究路徑:情境問題的分析—共性歸納—保留數學本質—下定義—概念辨析—數學問題或實際問題中的應用．

除了這些明線以外,本單元還隱藏一條暗線:情境—方法—方法論—數學學科本質．基于具體情境問題,通過分析、歸納、抽象等方式研究函數,得到一種研究方法,從本主題整體分析,進而形成研究的方法論,最后借助這種研究方法認識函數的本質,加強數學學科的本質觀念[2]．

在數學思想方法方面:從認識函數概念的不同角度,滲透數形結合、運動變化等數學思想．例如,從函數解析式認識函數或在坐標系中將函數看成由點組成的“圖形”,從幾何和代數這兩種認識函數的角度,有效承載了數形結合的數學思想．從數學知識的關聯(lián)性分析,后續(xù)研究函數的性質也是利用數和形的結合展開的．

在核心素養(yǎng)滲透方面:本單元從情境到概念的研究過程,發(fā)展了學生數學建模、數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

核心價值方面:從HPM視角看,偉大的數學家在某一階段也出現(xiàn)了函數就是解析式這一認知障礙,這能夠增強學生信心,讓學生感受到數學的發(fā)展也是有溫度的;數學家們在認知上的障礙,也是現(xiàn)在學生容易出錯的點,這能有效促進學生自我反思;歷史上數學家通過不同角度認識函數概念,而函數描述運動變化的屬性沒有改變,這也能培養(yǎng)學生的辯證唯物主義思想．

以上幾大方面都是“大概念”理念的集中體現(xiàn),也是本課時教學中應該突出的關鍵點．

2.2 設:創(chuàng)設情境,抽象核心概念

在以上“大概念”的指引下,為了凸顯概念的發(fā)生、發(fā)展過程,突出其數學本質,首先創(chuàng)設一個數學情境——函數發(fā)展的歷史過程．以歷史發(fā)展為背景,在函數歷史發(fā)展過程中感悟函數的本質屬性．首先課前讓學生了解函數的五個發(fā)展階段:

(1)16世紀,隨著解析幾何的發(fā)展,阿波羅尼奧斯等數學家運用曲線上一個點相關的量,形成了早期的函數思想萌芽．

(2)17世紀,萊布尼茲首先使用“函數”一詞,函數的概念從幾何形態(tài)走向代數形態(tài).歐拉等偉大的數學家認為,函數就是一個解析式．

(3)18世紀,狄利克雷、傅里葉認為函數的概念應該突破解析式的限制,用變量對應說定義函數．

(4)19世紀,康托集合理論誕生,布爾巴基學派用集合對應關系說來定義函數,這就是現(xiàn)在高中學習的函數概念．

(5)為了進一步符號化和抽象化,現(xiàn)代函數的概念用兩個集合的笛卡爾積來定義,因過于抽象,將在大學課程中介紹．

從函數的歷史發(fā)展進程可以感悟出,函數概念發(fā)展的本質就是一個不斷抽象的過程!通過不斷去掉非本質屬性,保留其數學本質特征,得到蘊含數學本質屬性的函數概念,讓學生體會抽象是數學概念發(fā)展必不可少的步驟．

HPM的融入,讓學生體會到數學并不死板和是一成不變的,它是不斷發(fā)展的,每一個概念的產生都蘊含著幾代偉大數學家的心血,數學的每一次前進都是不斷探索和進步的結果,讓學生體會到數學的溫度,凸顯數學人文的一面．與此同時強調數學的發(fā)展是永無止境的,當然函數概念也會隨之繼續(xù)擴展,激發(fā)學生進一步探索的欲望．通過歷史知識的融入,學生很容易發(fā)現(xiàn):初中的函數概念處在第(3)階段,而高中學習的函數處在第(4)階段.為何高中要進一步發(fā)展函數概念?如何得到高中函數的概念呢?

為了解決以上疑惑,需要創(chuàng)設具體的情境問題:正方形周長為l,邊長為u,則l=4u和正比例函數y=4x相同嗎?解析式不同的兩個函數f(x)=1與f(x)=sin2x+cos2x是否相同呢?顯然初中函數概念無法解決,因此強調進一步拓展函數概念是非常必要的．

那么,如何得到高中函數的概念呢?需要創(chuàng)設四個情境(直接使用教材例子),通過分析、歸納和概括問題情境中的共性,抽象出函數概念的本質屬性．

情境1 “復興號”高鐵運行問題．

情境2 某公司維修工人工資問題．

情境3 北京某天空氣質量指數變化圖．

情境4 我國某鎮(zhèn)居民十年恩格爾系數情況變化數據表格．

為了抽象出函數的概念,在“大概念”的指引下,本主題概念教學的通用思路為:感性具體—理性具體—理性一般．針對以上四個感性具體的情境,首先是由感性具體到理性具體的抽象思路,即分別對每個情境問題進行首次抽象(用更加規(guī)范、準確的數學語言來描述每一個具體的情境問題),用“集合間的單值對應”來描述每一個具體問題,以此凸顯概念的本質屬性．例如,情境1、情境2突出了定義域屬性的重要性;情境3、情境4凸顯函數對應關系屬性的核心意義,也隱含了值域可以是集合B的子集這一屬性．經過以上思路抽象以后再讓學生分析、類比,歸納概括出四個情境中的共同特征,進而得出一般函數的概念,這就是理性具體到理性一般的研究思路!

另外,從整體性的角度出發(fā),本單元其他核心概念的形成也遵循該研究思路,它起到一個統(tǒng)領本單元的作用．例如,函數單調性的概念,通過具體函數f(x)=x2的問題情境,先從圖象得到感性具體描述,經過首次抽象,用精確的數學符號語言描述,即理性具體,再用兩個具體函數進行同樣操作,通過歸納、概括它們的共同特征,抽象出一般函數單調性的概念,即理性一般．因此在“大概念”教學理念的指引下,不僅能構建融數學知識、思想、方法為一體的數學體系,還能更好地幫助學生領悟數學的思維．

2.3 問:設置問題串,發(fā)展核心素養(yǎng)

通過對情境的分析,設置啟發(fā)學生思考的問題串,引導學生舍去非數學的屬性,感悟概念的數學本質,同時發(fā)展數學抽象、數學建模、邏輯推理等核心素養(yǎng)．

為了指引學生在概念抽象過程中能順利舍去非本質屬性,需要設置指引性的問題串．例如,針對情境1,可以設計問題串:從初中函數概念的角度分析,s是t的函數嗎?能說1 h后,列車前進350 km嗎?你能回答1 h后前進的距離嗎?t的范圍是什么?s的變化范圍?如何更加精確描述s和t之間的關系?通過問題串,讓學生不自覺地關注其本質屬性,感悟其中蘊含的數學思想,發(fā)展數學抽象的素養(yǎng)．如法炮制,用類似的問題串分析情境2.通過問題串的解決,發(fā)現(xiàn)情境1和情境2解析式相同、定義域不同,它們是兩個不同的函數．問題串的設置能幫學生明確自變量的取值范圍這一屬性的重要性,同時發(fā)展學生數學抽象、數學建模的素養(yǎng).

對于情境3、情境4,除了設置類似問題串外,再追加提問:你打算用什么樣的方式來表達該函數?以此引導學生思考:把情境3、情境4中的圖象或表格照搬過來表達函數不太現(xiàn)實,突出引進抽象符號f(x)的必要性．另外,就圖象和表格中因(自)變量范圍不易觀察,提出問題:你覺得該如何處理?通過問題串強調引入抽象符號f和擴大集合B的必要性,為獲得函數概念做進一步的準備．

2.4 探:經歷活動探究,理解概念本質

在概念教學中,千萬不要著急進入機械的解題訓練,應讓學生經過探究、交流討論等活動,進一步理解概念的本質．

探究活動1 對應關系f的本質內涵及引進抽象符號y=f(x)的必要性．

通過對高中函數概念的理解,各小組內相互討論、交流,并辨析匯總.

(1)f(1)=3是什么意思?

(2)f(x)=x2+2x+1,則f(a),f(x+1)怎么理解?試用函數的概念解釋.

(3)f(x)=x2與y=x2是否相同?為什么?

(4)你能確定函數y=ax2-a2x+1中誰是自變量嗎?

(5)函數f(x)=ax2-a2x+1與f(a)=ax2-a2x+1相同嗎?

(6)通過以上問題的討論,你能說出為什么要使用符號y=f(x)表示函數嗎?

點評通過以上問題的探究,學生能夠更好地理解對應關系f的含義、抽象符號y=f(x)的內涵及其引入的必要性,理解函數概念為何要符號化[3].

探究活動2 何為同一函數?

各小組從函數概念的本質屬性出發(fā),小組內相互交流、討論以下探究問題:

(1)有三個函數:y=x2,x∈[0,+∞);m=n2,n∈(0,+∞);x=y2,y∈R.它們相同嗎?

點評以上問題的交流、探究,讓學生領悟同一函數的內涵就是函數的本質屬性的體現(xiàn),即定義域、對應關系f、值域要一樣,強化概念本質屬性的理解.

2.5 評:評價核心概念,促進知識的遷移和應用

在“大概念”教學理念的指引下,評價活動強調知識的遷移和應用,真正起到發(fā)展核心素養(yǎng)的作用．因此在教學過程中,評價活動既要關注學生數學知識技能的掌握和應用,還要關注學生核心素養(yǎng)的落實.通過評價幫助學生掌握概念的數學本質,體會數學思想,以此更好地遷移和應用知識,并提升素養(yǎng)．本節(jié)設置了兩個評價活動,重點評價概念的遷移和應用．

評價活動1 判斷下列兩組函數是否為同一函數:①f(x)=1,g(x)=x0;②表示炮彈飛行的高度h與時間t關系的函數h=100t-4t2,二次函數y=100x-4x．

點評高中函數概念是一個符號化、抽象度高的概念,知識應用和遷移需要牢牢抓住其本質屬性:①雖然對應關系和值域相同,但兩者的定義域不同,故不是同一函數;②需要注意現(xiàn)實中的問題,其定義域根據實際情況確定,雖然兩個函數的對應關系f相同,但定義域不同,故不為同一函數．該評價活動的關鍵是理解函數概念的數學本質,有效評價學生對函數本質的理解和應用,發(fā)展邏輯推理、數學抽象等核心素養(yǎng)．

評價活動2 若函數f(x)=x2+4x+2a,且f(bx)=16x2-8x+9,則函數y=f(ax+b)的值域為．

點評學生的一般思路:先用待定系數法求出參數a,b,然后求出y=f(ax+b)的解析式,再求值域．若對函數的本質屬性理解透徹,就能觀察到:函數y=f(ax+b)中,其定義域與題干中的函數相比,沒有變化,仍是R,對應關系f也沒有發(fā)生變化.因此題目中的三個函數的本質屬性完全相同,故f(bx)=16x2-8x+9的值域就是所求值域.通過對函數的本質屬性的深刻理解,發(fā)現(xiàn)它們的定義域和對應關系f都相同,因此值域就很好解決．該問題能夠有效評價學生對函數概念本質屬性的遷移和應用,同時發(fā)展學生數學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)．

3 教學反思

HPM視角下基于學科“大概念”的教學探索,以“大概念”為引領,以HPM為情境化的內隱指導.最后從教學理念、HPM融入、數學分析三方面反思.

(1)教師應從數學的整體性角度思考,以新課標和新教材為藍本,做好單元概念的層次分析,梳理知識間的關系,提煉出隱藏于知識背后的思想、方法、數學本質等[4],體現(xiàn)學科“大概念”的整體性、關聯(lián)性和系統(tǒng)性．

(2)HPM為概念的情境化提供了內隱指導,從HPM角度出發(fā),創(chuàng)設支撐概念發(fā)生、發(fā)展的情境問題,以問題串為依托引導學生思考,幫助學生領悟概念的數學本質,體會其蘊含的思想方法,進而發(fā)展核心素養(yǎng)．另外,數學史的融入也讓數學的發(fā)生、發(fā)展變得自然,更有溫度,數學也更具有人文價值．

(3)從數學角度分析．把握概念的數學本質特征,不僅是知識遷移應用的前提保障,而且也影響著本單元其他核心概念的學習．例如,函數概念中承載的數形結合的思想,也是研究函數性質的一般思想.另外,高中函數明確了定義域這一屬性,不同函數可以通過四則運算得到新的函數,還可在定義域或其子區(qū)間上研究函數的性質,這為后續(xù)其他內容的研究提供了必要的保障．