在數學建模中學會數學表達
——以蘇科版“用一元一次方程解決問題(1)”為例*

孫 凱 (江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校 215151)

陳 鋒 (江蘇省無錫市太湖格致中學 214125)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出,數學課程要培養的學生核心素養主要表現為三個方面:會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界[1].從數學內部看,三句話分別對應數學抽象、邏輯推理、數學建模等方面,觀察、思考和表達的對象都是現實世界.從現實世界看,“三會”包括將現實世界引入到數學內部,用數學語言抽象、推理、建模,從而解決問題的過程,從宏觀上看,這本身就是一種數學建模和數學表達的過程.因此,數學建模是培養初中生數學表達能力的有效路徑之一.

1 數學建模與數學表達的關系

數學表達是指用數學的語言表達數學思維的過程,以數學的方式表征和求解問題[2].呂傳漢教授提倡通過“教思考、教體驗、教表達”(簡稱“三教”)[3]培養學生的數學核心素養,其中“教表達”是指學生學會用數學的語言表達現實世界.學生用數學語言表達現實世界,實質上就是學生運用所學數學知識構建數學模型應用于外部世界,用數學模型刻畫現實世界中研究對象的關系與規律[4],從而解決問題.事實上,數學語言的本質就是數學模型,在用數學語言表達現實世界的過程中必然經歷將現實世界引入數學內部,即數學化的過程,而數學化的過程必然要用專業的數學符號系統表達和闡釋現實事物的本質、關系和規律[5].從這個角度看,數學建模與數學表達有著互相交融、彼此促進的關系.

數學建模是指將現實世界中的實際問題轉化為數學問題并用數學的知識解決問題[6].數學建模能力是指利用形式化的數學模型去表達現實問題中的關系結構,通過對數學模型的求解和檢驗,解決現實問題的能力.數學表達可以看作用數學語言表達現實世界的簡稱,是指運用數學語言表示思考對象和解決問題的過程,闡明自己的觀點和意見[7].數學表達能力是指使用數學語言的能力,包括口頭表達能力或書面表達的能力[8].2017年版高中數學課程標準指出,數學建模活動是一種過程,分為現實問題的數學抽象、數學表達、建構模型求解問題三個階段[9].基于以上含義的理解,我們可以看出,數學表達始終伴隨著數學建模活動.從現實世界到數學內部的數學化表達,建立數學模型求解獲得數學結果,再到將數學結果反數學化來闡釋現實世界,本質上都屬于數學表達范疇.因此,可以說數學建模能力是數學表達能力的重要組成部分,在數學建模活動中培養初中生數學表達能力是切實可行的.

2 數學建模教學設計

2.1 選題說明

蘇科版初中數學教材注重選擇與學生的生活現實緊密聯系的學習素材,設置了大量的現實生活背景.“一元一次方程”章節是初中階段第一個相對獨立完整的代數型模型,包括從現實情境中獲得一元一次方程模型,探索模型求解的方法,以及用一元一次方程模型解決實際問題,使學生體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型.學生完整經歷引入模型、建立模型、求解模型、驗證模型的數學建模過程,體會數學模型的應用價值.

基于以上分析,蘇科版數學七年級上冊“4.3用一元一次方程解決問題(1)”為初中生首次提供了相對完整的數學建模活動.學生經歷的數學表達和數學建模活動過程,對后續實際問題類的分析和求解影響深遠.因此,筆者從數學建模和數學表達的視角談談“用一元一次方程解決問題(1)”的教學設計與思考.

2.2 教學分析

2.2.1內容簡析

教材提供了四部分內容:數學實驗室(月歷情境);問題1(桌子用料問題);方法總結(一般步驟);練習題(4道題).以月歷為情境,設置一些問題,驅使學生探索月歷中的數量關系,體會用字母表示未知的數的必要性和優越性,為用代數式表達數量關系、列出方程奠定基礎.問題1取材于現實生活,重點在于引導學生建立一元一次方程模型.方法總結是對實際問題求解過程的梳理和歸納,使學生理解和掌握建立數學模型求解實際問題的一般步驟.

2.2.2教學目標

能通過建立一元一次方程模型解決簡單的實際問題,包括列方程、解方程,并能根據實際問題的意義檢驗結果,提高分析和解決問題的能力;經歷“實際問題—建立模型—求解模型—驗證解釋”的建模過程,培養數學表達能力.

2.3 教學過程

2.3.1關聯情境,感受數學表達的延續性

代數式模型是方程模型的認知基礎,代數式的學習經驗和學習水平直接關系到方程學習的質量.教學引入環節設計得好不好,其中一個關鍵要素是是否體現學生知道什么、還可以知道什么,即是否符合學生的最近發展區,為新知識的生成、生長做好鋪墊.

問題1小明和小麗在玩火柴棒搭“小魚”的游戲,要求用火柴棒按以下方式(圖1)搭“小魚”.

圖1 搭“小魚”游戲

(1)搭n條“小魚”需要多少根火柴棒?

(2)用602根火柴棒能搭多少條“小魚”?

教學分析在本課前,“搭‘小魚’”問題情境已經在教材上出現過兩次,每一次出現都肩負著不同的使命.在代數式章節的“章頭圖”中使學生感受字母表示數的優越性,在“3.3代數式的值”處,使學生獲得函數的感性認識,感悟模型思想.在本課教學引入環節,再現“搭‘小魚’”問題情境,有利于激發學生的學習興趣,喚醒建立代數式模型的經驗,通過建立代數式模型,進一步建立一元一次方程模型.兩個問題的設置遵循了知識的生長規律,由淺入深、從無到有,體現了代數式到方程模型的生長過程,有利于學生體會代數式與方程的內在聯系.

2.3.2解決問題,感悟數學表達的完整性

“用一元一次方程解決問題”中的“解決問題”是指解決現實世界的實際問題.將實際問題轉入數學內部,用數學的知識、思想和方法建立模型并解決的過程就是數學建模.在此過程中既要關注數學建模活動過程的完整性,也要關注每個活動環節學生數學表達的簡潔性、條理性、規范性等.

問題2一張桌子有一張桌面和四條桌腿,做一張桌面需用木料0.03 m3,做一條桌腿需用木料0.002 m3.用3.8 m3木材可做多少張這樣的桌子?(不計木材加工時的損耗)

教學分析在該問題的教學中,教師應從兩個維度考量教學過程:一是數學建模維度,引導學生經歷“實際問題—數學問題—數學模型—數學模型的解—實際問題解答”的建模活動過程,使學生初步了解數學建模的一般流程;二是數學表達維度,引導學生經歷“審題、設未知數(數學化表達)—找等量關系、列方程(列方程表達)—解方程(求解)—檢驗(驗證)—作答(解釋)”的數學表達過程.圖2呈現了數學建模循環模型背景下的數學表達流程.

圖2 數學建模背景下數學表達流程

2.3.3歸納過程,重視數學表達的規范性

數學表達包括口頭表達和書面表達.在數學表達活動中,應引導學生用恰當的數學語言闡釋數學理解,從而發展學生關于數學表達的專業性語言體系[10].這就要求教師關注學生口頭表達和書面表達的簡潔性、規范性,幫助學生說得準確、清晰、有條理,寫得簡潔、規范、有邏輯.

問題3(1)“桌子加工”問題中有哪些數量關系?請用合適的數學語言表達出來.

(2)根據相等的數量關系,建立恰當的數學模型求解問題.

教學分析通過問題(1)驅動學生審題、理解題意,簡化問題情境,梳理并表達出以下數量關系:一條桌腿用料×4=一張桌子的桌腿用料;一張桌面用料+一張桌腿用料=一張桌子用料;所有桌面用料+所有桌腿用料=總用料,為3.8 m3;一張桌子的用料×桌子張數=總用料,為3.8 m3.然后用字母表示適當的未知數,并用含有字母的代數式表達其他相關的量,根據數量之間的相等關系建立一元一次方程模型,然后求解方程模型,檢驗并寫出問題的答案.在表達數量關系時,應關注學生的表達方式,適時引導學生體悟文字語言、符號語言、圖形語言三種表達方式的特征.

問題(2)充分預設了學生建立數學模型的多樣性,比如有學生會建立算術模型直接求解,也有學生選用不同的等量關系建立不同的方程模型等,但最終教師應引導學生認識到方程模型的優越性.

在這個環節,教師要示范用一元一次方程解決問題的規范性解答,引導學生學會清晰、有條理、規范地表達問題求解的過程及結論.這里的教學重點是引導學生將實際問題進行數學化表達,分析和理解問題中的數量關系,并用代數式或方程表達,從而建立方程模型.在問題解決后,教師引導學生總結歸納用方程解決問題的一般步驟:審題、設未知、找等量、列方程、解方程、檢驗、作答.

2.3.4深度思考,理解數學表達的結構性

一般而言,數學模型本身是一種穩定的數學結構.從整體上看,整個章節提供的72個實際問題情境都指向一元一次方程模型的建構.從局部上看,每個問題情境中的數量關系的結構類型卻不盡相同,但進一步梳理可以發現兩種基本的結構模型．引導學生抽象出實際問題中數量關系的結構模型,是一種高階思維參與的探究活動,有利于實現深度學習.

問題4“搭‘小魚’”和“桌子加工”兩個問題中的數量關系有什么共同的特征?

教學分析“搭‘小魚’”和“桌子加工”問題中的數量關系分別為:“魚尾”根數(2根)+“魚身”根數=總根數;桌面用料+桌腿用料=總用料.兩種數量關系可以概括為“a+b=c”型結構模型.其中一個“魚身”根數ד小魚”條數=“魚身”總根數、一張桌面用料×桌子數量=桌面總用料、一張桌腿用料×桌子數量=桌腿總用料.這些數量關系可以概括為“ab=c”型結構模型.教學中應引導學生討論交流,提煉并表達出以上結構模型,從而實現深度探究、深度學習.正是基于結構模型的教學需要,本節課教學舍棄了教材提供的“月歷”問題情境.

3 培養數學表達能力的思考

3.1 注重示范規范化表達

規范化表達是指用數學語言清晰、有條理、規范地表達對問題的數學思考、求解過程以及結果的合理解釋.在數學教學中,我們經常遇到學生表達不規范的現象,這種現象在解題作答時表現得尤為突出,廣大一線教師對此頗為煩惱.事實上,這種現象表明學生數學表達的規范性有待加強.這就要求教師在數學課堂教學中,應幫助學生認識到規范表達的重要性,有意識引導學生規范化表達,讓他們逐步養成規范表達的習慣.比如,在列一元一次方程求解問題時,教師先給出規范的表達過程,做好示范,隨后在練習中關注學生表達的規范性,發現問題及時提醒并糾正,反復訓練,提高學生規范化表達的能力.

3.2 重視引導多元化表達

多元化表達是指使用不同的數學語言進行有效表達.數學表達的關鍵是對數學語言的掌握與使用能力.數學語言的形式是多樣的,數學的語言一般可以概括為文字語言、符號語言和圖形語言三類.提高學生數學語言的使用能力,一定程度上可以看成是提高學生三類語言互譯的能力.比如,在分析與表達“桌子加工”問題中的數量關系時,可以引導學生使用文字語言、符號語言、圖表語言進行表達(圖3),以此提高學生多元化表達能力.

圖3 多元化表達的板書

3.3 經歷數學化表達過程

數學化表達多用于數學建模活動過程,是數學建模的關鍵環節.從數學建模過程看,數學化表達分為兩個階段:橫向數學化表達和縱向數學化表達.從實際問題中抽象和建立數學模型屬于橫向數學化表達,在數學內部探究數學模型的認識和求解屬于縱向數學化表達.在本節課中,運用數學語言從實際問題中建立一元一次方程屬于橫向數學化表達,求解一元一次方程獲得數學結果屬于縱向數學化表達.在此活動過程中要注重對學生數學化表達能力的培養,事實上,這也是培養學生數學建模能力的關鍵.

3.4 關注結構化表達進階

結構化表達是指將實際問題中數量關系的結構進行模型化表達,從而深刻理解問題的結構化特征.在對問題解決的反思中,進一步提煉問題中蘊涵數量關系的結構,有利于培養學生的結構化表達能力.研究發現,教材很多題目中的數量關系都包括“a+b=c”“ab=c”這兩個最基本的結構,稍復雜的數量關系可以看作是這兩個基本結構的復合結構[11].指向實際問題解決的建模教學應關注結構化模型的進階,從大單元視角對不同實際問題中的數量關系進行結構化統整,從而形成簡約、統一、優美的結構模型,以此提高學生的結構化表達能力.