數學概念形成過程中基于“起點”的問題提出設計*

李太敏 (江蘇省灌南縣教師發展中心 222500)

江宋標 (江蘇省灌南縣六塘中學 222500)

數學概念是構成數學內容的最基本的單元,是學生進行數學思維的細胞．概念教學在數學課堂各類教學中具有舉足輕重的地位,而在數學概念教學中具有重要地位的則是“問題提出”,正如美國教育哲學家布魯巴克所說的,“最精湛的教學藝術,遵循的最高準則就是讓學生自己提出問題”．要讓學生能提出問題,關鍵是教師要善于設計問題提出的起點,這些設計起點所反映出來的觀念要能夠讓學生提升對數學教育教學的看法,學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、表達,感悟尋求運動變化中相互聯系與規律的思想價值,體現分析與解決問題能力的智力價值,能對數學概念的定義方式、怎么樣研究概念具有方法論的意義．本文試以江蘇省優質課評比中的課例“弧度制”為例來對此說明．

1 基于學生的認知起點提出問題:讓學生學會循序漸進地發現規律

學生的認知起點指的是學生在學習某個新的知識點之前已經有的與之相關的生活、知識經驗基礎．雖然這些基礎會因為學生的特殊差別而不同,但學生在學習同一個知識點時一定會有許多共同的優勢與短板,體現在學生的認知發展過程中,對客觀世界的認知呈現出循序發展的規律,總是隨著有效智力勞動的增加而實現循序漸進(含螺旋式上升),這也為尋找學生的學習起點提供了依據．認知心理學家奧蘇貝爾曾說過:“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸納為一句話,那么,我將一言以蔽之:影響學習的唯一重要因素,就是學習者已經知道了什么,要探明這一點,并應據此進行教學．”因此在數學教學設計中應認清學生的認知起點,盡力做到在引進新概念時有的放矢,盡可能地讓學生感覺到這些新概念的引進是很自然的,甚至是不可避免的．

案例1“弧度制”概念形成過程設計．(2019年江蘇省優質課比賽示范課研討課例,江蘇省揚中高級中學宮建紅執教)

師(提出問題1,目的是引出并回顧角度制的概念):怎樣度量一個角的大小?

生:用量角器或借助量三角形的邊長等．

師:從三角學的發展歷史看,三角學是依托圓而存在的,因此我們可以看到角度制的定義依托于圓周,采用等分的思想先定義度量的單位:1度的角,再進行度量一般的角．盡管“角度制”的定義依托圓周,但一定大小的角與圓周的大小(即半徑大小)是無關的．

師(提出問題2,目的是引出圓心角所對弧長與半徑的比值隨角的確定而唯一確定):角的大小與什么有關?請看圓心角為30°時,試著求出當半徑分別為1,2,3,4時所對弧的弧長．它們有什么共同的特征?

師(總結):不論是從特殊到一般,無論用代數方法還是幾何方法,都能得出共同的結論,即對同一個角來說,弧長比半徑不變(定值)!那么對不同的角呢?

生:對不同的角來說,這個比值不一樣!

師(提出問題3,目的是引導學生建立新的單位):可以用此方法度量一般的角的大小嗎?如何建立一種新的度量角的制度?

生:首先要定義“單位”!

師:你會如何定義1單位的角呢?有了度量的單位,你能度量其他角嗎?

設計分析弧度屬于幾何度量問題．高中生在學習弧度之前,已學過長度、角度、面積、體積的度量,這些幾何量的共性是都有大小,它們的大小可以通過比較來確定.在比較過程中需確定單位,它們的差異是所用的單位不同:長度單位是人為規定的,在此基礎上定義的面積、體積也是如此;角度單位是自然規定的,把圓周分成360份,其中一份所對的圓心角作為角的度量單位,即度.因此,弧度制的教學可從學生的認知出發納入幾何度量問題中,通過與長度、角度等度量的類比,體現新的度量制度確定單位的自然與必要[1]．為了體會這樣選擇單位的一般性,需要說明在圓心角確定時,它所對的弧長與半徑的比是定值,并且不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與半徑大小無關的定值．弧度制是十進制的,每個角都有唯一的實數與它對應,同時每個實數也都有唯一的一個角與它對應,這也為學習任意角的三角函數奠定了堅實的基礎．

2 基于邏輯起點提出問題:讓學生學會理性地發現、分析問題

數學的存在、發生與發展經歷了漫長的過程,而這種發展常常是基于某種現實需要或數學內部發展的需求.例如數學概念的發展,有的是基于具體的現實模型或數學原型;有的是基于對某種規律的濃縮;有的是基于構建數學理論的需要而合理擴充,甚至虛構;有的是基于邏輯需求推演而來．在數學教學設計中,了解這種需要及數學各部分的作用,了解它們的依賴關系及它們的綜合交錯作用才能構成數學教學的豐富內涵,這也有助于對數學這個有機整體的認識[2]．其中數學內部發展的需求常常是基于邏輯需求,因此從邏輯起點出發,能夠讓學生學會有邏輯地思考問題,能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯,把握事物發展的脈絡,形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神,增強交流能力．

案例2“弧度制”概念形成過程設計．(2019年江蘇省優質課一等獎獲得者課例,啟東中學胡勇執教)

師(導語):同學們,很高興能來到江蘇省常州中學參加這次優課比賽,很巧昨天正好是我兒子10周歲的生日,我買了個蛋糕,經過中心將圓形蛋糕切三刀分成了6塊,這6塊大小相差無幾．欲從中挑出最大的一塊給兒子,同學們幫我想想辦法．

生:用量角器度量、比較弦長或弧長．

師(提出問題1,以尋求邏輯關系式):當弧長l一定時,隨著半徑r的增大,圓心角α發生什么變化?弧長l、半徑r和圓心角α三者之間存在怎樣的數量關系式?

師(提出問題2,以構建邏輯鏈):圓心角隨著l與r的比值的確定而唯一確定,從而可利用l與r的比值來度量圓心角．而認識一種新的單位制,首先得明確它的單位1,只有明確單位1后,才可以定量表示其余的量．如何確定單位1呢?

師(概念形成):長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫作1弧度的角,記作1 rad.用弧度作為角的單位來度量角的單位制叫弧度制．

3 基于歷史的形成過程的起點提出問題:讓學生學會從歷史溯源中求真、求變

數學概念的產生過程常包含邏輯過程、現實形成過程、歷史過程等,它們并非等價,同一數學概念的發展與邏輯過程并非同步,不同概念的發生也不是完全根據邏輯過程來的,在歷史上常常有意外．例如,從邏輯上講,應先有指數后有對數,但歷史上恰恰相反．而編寫教材內容時概念的產生一般采用的是邏輯過程,作為數學課堂中的概念教學,有些教師也千篇一律地嚴格按照邏輯順序來設置問題,過分強調其邏輯過程,將概念產生的過程一味邏輯化,這有時會影響對概念的本質的發現[4]．在數學教學設計中,雖然無法并且也不必要讓“歷史重演一遍”,但適當選擇性地還原,甚至部分再現數學概念的歷史形成過程,從歷史起點出發,基于歷史的形成過程的起點而提出問題,讓學生學會從歷史溯源中求真、求變,有時也會起到意想不到的效果．

案例3“弧度制”概念形成過程設計．(2019年江蘇省優質課一等獎獲得者課例,無錫高級中學劉燁燁執教)

師(提出問題1,目的是回顧度量長度的幾種單位而引出怎樣規定角的度量單位):當規定好1米有多長,我們可以用米作為單位來度量長度,當規定好1尺有多長,我們可以用尺作為單位來度量長度,1米=3尺;當規定好1度角有多大,我們可以用度作為單位來度量角的大小．那么1度的角是怎么規定的?

生:一個周角的360分之一．

師:能用平分圓周的方法得到1度的角嗎?

生:將圓周分為360等份,周角的360分之一弧對應的圓心角就是一度．

師:現在我們要建立新的單位來度量角,那先要對什么做出規定?

生:單位角的大小．

師(提出問題2,目的是將線段與弧的度量統一起來):如果以半徑長為單位對圓周進行度量,把長度等于半徑的圓弧所對的圓心角定義為一個單位角的大小,合理嗎?

生:要探究角的大小不會隨著半徑的改變而改變．

師(形成概念):把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫作1弧度的角,記作1 rad．用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制．

設計分析上述設計通過從經歷單位長度的定義過程出發,讓學生感受歷史上弧度制的形成過程:從長度單位到滲透“單位”的思想,從平分圓周定義1度角的大小的角度制到利用平分圓周的思想定義一個新的單位角,體會1弧度角定義的合理性來源,同時意識到規定單位角的大小是定義新的度量單位的前提．這樣設計以歷史起點作為教學起點,以尋找新的度量單位為目標,發現了用長度來度量角,弧度制與角度制一樣都采用了“等分”思想:弧度制可以理解為是用長度來度量角的一種單位,可以理解為是對圓周不同的平分方式,即規定弧長等于半徑長的弧所對的角為1弧度．正如歐拉在其著作《無窮小分析概論》中提出把圓的半徑作為弧長的度量單位,這一思想將線段與弧的度量統一起來,大大簡化了三角的運算．而這也是弧度制的本質:用半徑對圓周進行度量.這樣的度量統一了三角函數自變量和函數值的單位,能進行基本初等函數運算．

當然,需要說明的是,在數學概念形成過程的教學中,無論是基于學生的認知起點提出問題,還是基于邏輯起點提出問題,以及基于歷史的形成過程的起點而提出問題,這些方法的設計并不相互沖突,也并非一定獨立使用的,事實上它們常常是并存或交叉的,也就是說可以同時合用其中的兩種甚至三種設計方法．