深化聯系 生成自然 學會學習
——以一節省優秀課的教學思考與實踐為例

潘長青 宋彥波 (江蘇省連云港市新海實驗中學 222000)

2022年4月下旬,教育部頒布了新版義務教育數學課程標準(下稱2022版),與2011版課標相比,新增了2個基本尺規作圖,更加重視作圖依據和原理,突出了尺規作圖的工具性、應用性與探究性.所謂尺規作圖,是指用無刻度的直尺和圓規進行作圖.縱覽現行的教材,對于尺規作圖的內容呈現方式多采用程序性操作,這導致教師在日常教學中往往直接告知學生作圖步驟,然后當作一種技能反復練習,很少有機會讓學生探索分析作圖的原理,導致學生對“為什么這么作”缺乏深層次的認知.筆者認為,特別在尺規作圖教學的起始階段,更應注重探索的過程,要讓學生能夠感受到尺規作圖的來路、思路及出路,充分體驗到探究的過程與樂趣,積累數學活動經驗,并以此為載體將核心素養落地生根.下面筆者將結合“用尺規作一個角等于已知角”教學片段來呈現其探索過程,并就教于同行.

1 數學學科核心素養的有效載體之一:尺規作圖

從立足學生數學核心素養發展的角度來看,尺規作圖內容蘊含了培養學生幾何直觀及推理能力等學科核心素養,它們對培養學生的數學思維能力和品質具有極其重要的價值.

(1)幾何直觀．2022版新課程標準明確指出[1]:幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣.數學家阿蒂亞曾說:“在幾何中,視覺思維占主導地位.”也就是說,學習幾何知識、解決幾何問題,離不開空間想象和直觀洞察.事實上,尺規作圖的實質[2]就是用圖形來解決和表達幾何問題或數量關系問題,既需要直觀洞察和空間想象能力,又能培養直觀洞察和空間想象能力.

(2)推理能力．尺規作圖是鍛煉學生推理能力的良好平臺.尺規作圖既需要推理能力,又能培養推理能力,還能培養學生嚴謹細致的學習習慣,可謂一舉多得.不僅要思考怎么作,而且要尋求為什么這樣作.而作出符合要求的圖形后,往往會再往前走一步,思考有沒有更優的畫法.這些想法的背后就凸顯出學生“四基”水平如何,學生“三會”維度在何層次上.

2 滲透核心素養的教學實踐片斷與分析

站在落實立德樹人、發展學生素養的角度,基于對尺規作圖教學的認識和理解,結合學生的生活和數學學習,在2021年10月江蘇省初中數學優秀課比賽時筆者對蘇科版教材七年級上冊“6.2角(2)”一節進行了教學設計與課堂實踐,并最終榮獲省一等獎.這節課教學的難點是如何讓學生主動聯想到用直尺和圓規“作一個角等于已知角”.通過師生、生生之間的對話發現問題、分析與解決問題,從而完成數學的“再創造”過程,發展學生的幾何直觀與推理能力等數學學科核心素養.

(1)畫一個角等于已知角

操作1 (1)如圖1,已知∠AOB=60°,請選擇合適的工具畫∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.

圖1

引導學生思考畫圖工具和方法主要有:①利用含60°的三角尺,直接描出60°角;②利用量角器,并在此時總結畫一個角的主要步驟(定始邊,定標記點,定終邊),讓學生深刻體會準確畫圖最關鍵的是定標記點(不妨記作點D),也就是找準量角器邊緣弧與角終邊的交點D,進而總結出標記點D的位置能確定角的大小.

在此基礎上,學生觀察到量角器邊緣弧與刻度線已經有181個標記點,根據這些點的位置能畫出0°～180°的整數度的角.繼而引發思考:如果一個角度不是整數,能不能繼續用量角器畫出來?

操作2 (2)如圖2,已知∠AOB(這里設計的是48.31°),你還能用量角器畫∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB嗎?

圖2

學生展示:先畫射線O′A′,然后用量角器量一下∠AOB,找到量角器邊緣弧與射線OB的交點,作標記點D,然后將量角器移動過來,對準始邊,過這個標記點畫出終邊.(學生邊說邊畫,如圖3)

圖3

師生總結:此時只要找到這個標記點D就能確定角的大小.當∠AOB是整數度的角,顯然也能運用這種作標記點的方法畫出與它相等的角,故能畫出0°～180°的任意角.

設計意圖由于學生對60°角比較熟悉,可選擇的畫圖工具比較多,易于操作完成.低起點入手可以增強學生進一步學習的信心,也體現研究數學問題常從特殊到一般.同時,學生通過用量角器畫60°角,明確“怎么做”,即畫出始邊(一條射線)后如何定終邊(一條射線),感受到畫角關鍵是確定終邊上的一點.在操作1的分析之下,量角器顯然能方便畫出0°～180°內整數度的角,但角度變為操作2中的任意角時怎樣準確畫角?這是本節課思考的重點和難點,也是由具體度數確定角的大小過渡到由點的位置來確定角的大小的思考.雖然此時不便于直接利用量角器的刻度線,但仍然可以確定量角器邊緣弧與角的終邊交點.適時引導學生聯想到利用圓規畫弧可以代替這里量角器的功能,為利用尺規作一個角等于已知角作鋪墊.

(2)作一個角等于已知角

引導學生回憶在解決“畫一個角等于已知角”的過程中,量角器大小沒有改變,刻度線也沒用到.因此可以通過PPT展示刻度線隱藏后簡潔的圖形(圖4),感受沒有刻度的量角器可用來畫弧,方便確定標記點D的位置.

圖4

操作2 學生通過圖4可以感受手中的圓規能替代這樣的無刻度量角器.讓學生繼續思考:如圖5,小明的量角器破損了,他說通過上面的啟發也能用手中其他畫圖工具(三角板、圓規、直尺)畫出∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.你也能解決這個問題嗎?請在透明紙上試一試(透明紙上印制的量角器大小不一),組內合作完成.

圖5 圖6

大部分學生按照畫一個角的步驟首先畫一條射線O′A′,然后記射線OA與量角器邊緣弧的交點為C,以O為圓心、OC為半徑畫弧,恢復量角器的半圓弧,射線OB與量角器半圓弧的交點為D(圖6),再以O′為圓心、OC長為半徑畫弧交射線O′A′于點C′(圖7)．少數學生憑感覺找到圖6中標記點D的對應點D′,即用圓規截取線段CD的長,以C′為圓心、CD長為半徑畫弧,交前弧為D′,這樣就確定∠A′O′B′終邊上的標記點D′,過D′畫射線O′B′(圖8).

圖7 圖8

引導學生繼續思考:線段CD的長度到底能否控制∠AOB的大小呢?借助量角器探究:當點D在量角器的外輪廓上運動時(圖9),∠AOB的大小與CD的長度之間有什么聯系呢?(幾何畫板動態演示)

圖9

學生通過觀察幾何畫板度量動態過程中∠AOB的大小與線段CD的長度,發現線段CD越長,∠AOB也越大;反之線段CD越短,∠AOB也越小.當線段CD固定在某一個數值時,這個角的大小也隨之確定下來.

師:請未完成的同學按照這樣的思路,在原來的基礎上繼續作圖.

由于給學生們提供的透明紙上的量角器是有大有小的,筆者隨機找了3個學生畫好的圖形,將3張透明紙重合并使得3個圖形中∠A′O′B′的頂點與始邊重合(投影展示如圖10),發現不同圖形中標記點D′在同一條射線上.這說明量角器的大小不影響畫一個角等于已知角,所以可以用任意長為半徑畫弧,并且不需畫整個半圓弧,畫出的弧只要能方便確定出標記點的位置即可.

圖10

學生經歷了以上的探究過程后,很容易想到用圓規代替這里大大小小的量角器.此時學生發現用圓規和無刻度直尺也能直接作一個角等于已知角,并總結作圖的一般步驟:

①畫射線O′A′;

②以點O為圓心、任意長為半徑畫弧,分別交OA,OB于點C,D;

③以O′為圓心、OC長為半徑畫弧,交O′A′于點C′;

④以點C′為圓心、CD長為半徑畫弧,交前弧于點D′;

⑤過D′畫射線O′B′.

∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角.

師:至于為什么這樣作的兩個角就相等了,由于教材內容的安排,我們在八年級的時候會進行證明.

設計意圖學生在前面活動的基礎上聯想到殘缺的量角器可以用圓規補全,但是此時學生操作的難點有兩個:一是這個圖形不能移動,這會推動學生去積極思考利用工具“造”一個量角器的外輪廓,引出“圓規”;二是如何確定終邊上的一個點,也就是圓弧與終邊的交點,學生突破難度較大,此時需要在教師的引導下,結合多媒體感受角的大小還可以通過圓上兩點間距離CD來控制.回頭再看整個作圖過程直接變成用直尺和圓規可以解決的作圖問題,從而明晰可以直接利用直尺和圓規“作一個角等于已知角”.在以上的過程中深化知識之間的聯系,感受知識的生成自然,可以發展學生的幾何直觀和推理能力等核心素養.

(3)折一個角等于已知角

操作3 如圖11,你能折出∠BOC,使得∠BOC=∠AOC嗎?請利用手中的透明紙試一試.

圖11 圖12

設計意圖通過用工具“畫特殊角”到用尺規“作一個角等于已知角”,再到折出“一個角等于已知角”,這是本節課學生活動的主線.通過最后一個活動自然地引入角平分線,同時與線段中點的認知類比,獲得角平分線的定義,并結合圖形用符號表達.這樣讓學生在類比中生成新知,在探究中生長新知,從而積累了基本活動經驗,建構了更加完整的知識體系,從學會走向會學.

3 教學思考

(1)凸顯結構框架,感受學習方法

本節課教學的難點是如何讓學生主動聯想到“用直尺和圓規作一個角等于已知角”.基于學生已有的數學知識和活動經驗,本節課安排從畫特殊角60°再到一般角.學生對60°角比較熟悉,三角尺中剛好也存在這樣的特殊角,會讓學生產生一種“做做看”的心理活動,增強學生對學會本節課內容的信心.對于特殊角60°學生還能想到用量角器完成,此時引導學生總結利用量角器畫一個角的一般步驟,關鍵是確定終邊上的點,給學生后面“畫一個角等于已知角”和“作一個角等于已知角”提供“怎么做”的路徑.將線段中點的定義類比得到角平分線的定義,線段中點的符號語言類比得到角平分線的符號語言．這樣的教學從學生已有的知識結構中尋找“最近發展區”,學生不僅知其然而且知其所以然,課堂生成也自然不生硬.

(2)培養動手操作,積累活動經驗

數學活動經驗的積累是提高學生數學核心素養的重要標志.為了讓學生始終有機會處于一個“動”的狀態之中,本案例設計了三個操作活動:“畫一個角等于已知角”“作一個角等于已知角”“折出一個角等于已知角”.這組系列活動學生每完成一個都必須有所思考,積累一定的認識,為下一個活動做好準備.學生在這組活動中有操作、有體會、有想象、有發現、有推理,不但讓學生在活動中感受尺規作圖的合理性,而且這三個“操作活動”讓學生自己動手使用量角器、三角尺、圓規和直尺等畫圖工具完成了同一個任務——“畫一個角等于已知角”,有效地增強了學生的動手能力,很好地激發出初中起始年級階段學生“做數學”“用數學”的興趣,積累了基本的數學活動經驗.

(3)滲透數學思想,積淀核心素養

從畫特殊角60°再到一般角,讓學生體會“從特殊到一般”也是我們數學研究和解決問題中常用的思想方法.類比線段中點的定義及符號語言得到角平分線的定義及符號語言,感受數學學習的“套路”.這兩種數學思想在本章節的其他課時也有出現,蘊含數學知識的整體性,也蘊含數學的一般觀念,所以在平時教學中教師需要從一個整體的角度看待這兩種數學思想,建構學習體系,這樣有利于提升學生學習能力與數學核心素養[3].

總的來說,尺規作圖教學應引導學生去分析思維的起點與突破口,尋找樸素的適合學生思維的自然,堅持前后一致的必然,揭示本質貫通的超然.教給學生作法背后的“套路”,感悟“套路”背后所蘊含最基本的思想方法,最后讓學生“想得透”,讓通性通法成為學生作圖的“家常菜”,從而真正提高學生的數學素養[4].