加強尺規作圖教學 發展幾何直觀素養*

丁銀杰 (江蘇省蘇州市草橋中學校 215031)

尺規作圖是“圖形與幾何”領域的課程內容．《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標2022版》)強化了尺規作圖的教學功能與育人價值,其第四學段的學業要求是:“經歷尺規作圖的過程,增強動手能力,能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形,理解尺規作圖的基本原理與方法,發展空間觀念和空間想象力．”[1]

1 加強基本作圖教學,理解尺規作圖原理

尺規作圖是指用無刻度直尺和圓規進行作圖．無刻度直尺不具有度量長度的功能,用來經過兩點作線(直線、射線或線段)．圓規用來作弧,圓規兩腳可以“拾取”線段長度或兩點之間的距離．尺規作圖關鍵是確定“線與線”“線與弧”或“弧與弧”的交點,從而構造出符合要求的圖形．

以5個基本作圖為例,剖析一下尺規作圖原理．關于基本作圖,教材有詳細而規范的作法．作出圖形并不難,理解其中的數學原理才是核心．建議在“全等三角形”章后增加1節“基本作圖”專題課,在體現全等三角形在數學內部應用的同時,幫助學生系統建構基本作圖的認知(作法與原理)．

在“作一條線段等于已知線段”中,圓規“拾取”線段長度作為圓弧的半徑,依據的是兩點之間的距離定義(兩點之間線段的長度)．“作一個角等于已知角”“作一個角的平分線”“作一條線段的垂直平分線”及“過一點作已知直線的垂線”,依據的是全等三角形的判定,其中用圓規作弧實質是根據“同弧的半徑相等”構造“相等線段”．基本作圖教學要讓學生親歷作圖過程,明白作法含義,充分說理論證,理解數學原理．

為幫助學生進一步理解基本作圖原理,可以適度設計一些開放探究活動,如下面的探究:

用直尺和圓規作∠AOB的平分線OP,并說明理由．

圖1呈現的三種有別于教材的作法,是學生自主探究的成果．教師應因勢利導,對各種作法進行比較研究,在感受教材作法簡潔的同時,感受它們的共同之處:基于角的軸對稱性直覺,構造全等三角形,得出兩個相等的角,從而更好地理解基本作圖的數學原理．

圖1

熟練掌握基本作圖技能,深刻理解基本作圖的原理,是進一步基于尺規作圖探究圖形性質的重要基礎．

2 加強組合作圖教學,感受尺規作圖價值

基本作圖是尺規作圖的基礎,尺規作圖的價值在于應用,實際應用多為基于一定問題情境的組合作圖．《課標2022版》關于尺規作圖的內容,除5個基本作圖(其中“作一條線段等于已知線段”前移至第二學段)外,還包含“過直線外一點作這條直線的平行線”“已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形;已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形”“過不在同一直線上的三點作圓;作三角形的外接圓、內切圓;作圓的內接正方形和內接正六邊形”及“*過圓外一點作圓的切線(注:標有‘*’號的內容為選學內容,不作為考試內容)”等多個基本作圖的“組合體”(簡稱為“組合作圖”)．

組合作圖一般以“操作”或“例題”的形式整合在教材各個章節之中,是基本尺規作圖在數學內部的應用,用來幫助學生理解、掌握相應的課程內容．如“已知兩邊及其夾角作三角形”是探索三角形全等的條件——邊角邊,獲得“基本事實:兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”認知的重要載體．蘇科版《義務教育教科書·數學》(八年級上冊)關于該尺規作圖內容設計如下:

按下列作法,用直尺和圓規作△ABC,使∠A=α,AB=a,AC=b．

作法圖形1.作∠MAN=α;2.在射線AM,AN上分別作線段AB=a,AC=b;3.連接BC.△ABC就是所求的三角形.

組合作圖“已知兩邊及其夾角作三角形”是“作一個角等于已知角”與“作一條線段等于已知線段”兩種基本作圖的組合,作法以基本作圖為單位“模塊化”呈現,簡潔明了．實際教學中,可以將其設計成適度開放的問題,以便暴露學生真實思維．進一步可以對其進行變式探究,設計如下問題:

用直尺和圓規作△ABC,使∠A=α,AB=a,BC=b．

通過個人自主作圖,小組合作交流,不難在組合作圖實踐的基礎上獲得“兩邊及其一邊的對角不能唯一確定三角形”(圖2)的結論,即“邊邊角”不能作為三角形全等的判定方法,積累用“舉反例”說明問題不成立的基本經驗．

圖2

繼續通過作圖探究,可以得到當α、線段a不變時,△ABC的存在性及個數由線段b決定．如 圖3,設點B到射線AN的距離為d,當b

圖3

組合作圖集中體現了基本作圖在圖形認識中的重要價值;組合作圖教學有助于學生初步形成基于作圖的探究能力,發展空間觀念與直觀想象能力．

3 加強開放作圖教學,明晰作圖基本思路

除根據作法作圖外,尺規作圖問題一般都 具有開放性,其一般思路為:構思圖形—設計流程—作圖驗證．構思圖形就是借助于想象,勾勒出草圖,用分析法執果索因,厘清圖中各元素之間需要滿足的數量和位置關系;設計流程就是根據構思圖形中各元素滿足的數量和位置關系,運用綜合法,調用相關數學知識由因導果,確定作圖的基本步驟;作圖驗證就是將設計流程中的基本步驟具體化,分解成基本作圖串,依次作出相應圖形,并加以驗證．當然這一過程不一定一帆風順,可能需要經歷多次調整,甚至推倒重來．即便是成功的思路,也有可以優化的地方．以用尺規作圖作線段的黃金分割點為例:

已知:線段AB(圖4)．

圖4 圖5

求作:線段AB的黃金分割點C,且AC>BC．

作圖驗證:如圖6,(1)作線段AB的垂直平分線,交AB于點E;(2)過點B作線段AB的垂線BM,在射線BM上作線段BD=BE;(3)連接AD,在線段AD上作線段DF=BD;(4)在線段AB上作線段AC=AF．

圖6 圖7

點C即為線段AB的黃金分割點．

證明略．

反思一下作圖過程,不難發現,充分運用線段AB的垂直平分線功能,可以對上述作圖方案進行優化重組．作法如下:

如圖7,(1)作線段AB的垂直平分線ME,交AB于點E;(2)在射線EM上作線段DE=AB;(3)連接AD,在線段AD上作線段DF=AE; (4)在線段AB上作線段AC=AF．

點C即為線段AB的黃金分割點．

證明略．

開放作圖側重策略開放,圍繞既定目標圖形,由結論回溯條件,設計各種可行方案,并進行優化迭代．開放作圖有利于培養學生基于圖形直觀的理性思維,發展分析和解決問題的能力．

4 加強應用作圖教學,培育應用創新意識

數學來源于對生活的抽象,又通過模型作用于生活,有著廣泛的應用性．基于生活情境,通過抽象將現實問題數學化,基于數學分析,用尺規作圖構建幾何模型,運用模型思想分析、解決問題,是尺規作圖應用教學的基本路徑．加強基于真實情境的應用作圖教學,可以有效發展學生的幾何直觀素養,培育學生的應用意識與創新意識．以下面的問題為例:

如圖8,l1,l2為兩條互相垂直的公路,點A為工廠,現擬新建倉庫B,用來儲存、轉運工廠A生產的產品．若要求倉庫B到公路l1,l2和工廠A的距離相等,試確定倉庫B的位置．

圖8 圖9

數學化:如圖9,設l1,l2交于點O,連接AB,再由點B分別向l1,l2作垂線,垂足分別為C,D,則由倉庫B到公路l1,l2和工廠A的距離相等,可得AB=BC=BD,即A,C,D三點都在⊙B上．故問題轉化為如何確定與直線l1,l2都相切且經過點A的圓的圓心B的位置．

圖10

具體作法如下:

如圖11,(1)作l1,l2夾角的平分線OM;(2)作射線OA,在OA上作線段AP=AO;(3)過點A作AO的垂線AN,在射線AN上作線段AQ=AO;(4)連接PQ,以點P為圓心、PQ長為半徑作弧,交射線OM于點B,連接PB,AB．

圖11

點B即為所求的點．

會數學化(抽象)、會構造(建模)是創新意識的典型行為表現,體現了數學課程的素養導向和育人價值．基于真實情境提出真實問題,用尺規作圖方式進行探究,是提升學生問題解決能力、發展幾何直觀、培育應用意識和創新意識的重要途徑．

加強尺規作圖教學研究,引領學生基于尺規作圖進行數學探究,是實踐貫徹新課標理念的重要舉措,可以調動學生的自主學習熱情,增強學生動手實踐能力,發展學生推理能力和幾何直觀,培育學生應用意識和創新意識．