“反比例函數”反在哪難在哪
——“反比例函數”認知分析及教學建議*

胡晉賓 (江蘇第二師范學院數學系 210013)

劉洪璐 (南京師范大學附屬中學 210003)

1 問題提出

在很多人看來,雖然初中和高中都有函數內容,但是相對高中來說初中函數內容比較簡單,日常學與教似乎沒有多難．在2022年的多次網絡講座中,義務教育數學課程標準修訂組組長、東北師大史寧中教授和北京師大曹一鳴教授卻都說反比例和反比例函數較難,并在修訂課標時把原來放在小學的反比例內容挪到初中去．反比例(函數)相關內容的日常教學實踐中,確實存在這樣的現象:雖然很多學生知道定義,也能熟練解題了,但是顧名思不了義,并不明白反比例(函數)到底“反”在哪里;一線教師對難學難教的癥結在哪里也存在一些認識不足．那么,教學中應該怎樣去破解相關難點,以便更好地落實當下核心素養課改理念呢?

2 認知分析

2.1 反向問題的復雜性

第一,正反問題大量存在．在數學、物理甚至社會生活中,因為事物是普遍聯系和相互作用的,所以正反問題是普遍存在的．以數學為例就有:正數與負數、加與減、乘與除、指數與對數、三角和反三角、映射與反演、函數與反函數、正反比例與正反比例函數(實質是乘除差異)、直接證法與間接證法(反證法)、原命題和逆命題……能否從正反兩個方面思考問題,可以體現思維品質的高低．

第二,反向問題教學較難．反向問題是相對于原來問題提出的,一般有關反向的問題,在認知上都相對較難．比如:多項式乘法簡單,但是分解因式很難;求導不難理解,但是積分很難;正數理解起來相對簡單,但是歷史上西方人對負數的認識和接受就相當費勁,紛紛認為這是不合理的數,等等．又如,以反證法為例,在證明過程中,需要進行反設,經過嚴謹的演繹推理后得出矛盾,追究原因后得出根源在于反設的謬誤性,從而反過去得出命題的正確性．從思維上來看,它有數個邏輯轉折,采用了矛盾律和排中律等規律,因此對人的認知要求偏高．反向問題的學習就好比駕考中最難掌握的倒車技能學習一樣,因為倒車和正向行駛不一致,需要借助后視鏡中的影像進行反向判斷后面空間位置信息,從而進行轉向操控和距離判斷．從教學上來說,反向問題教學也是有困難的,比如,有調查指出,高中教師認為反函數在十大難點概念中排名第一[1]．因此,課標將反比例內容放到初中是有道理的,把反函數、反三角等淡化處理是可以削枝強干的．

2.2 超越現實的抽象性

第一,人類認知有缺陷性．數學是研究數量關系和空間形式的科學,具有高度抽象、邏輯嚴謹和應用廣泛等特征,研究內容涉及抽象、無限、彎曲、高維等．初中的反比例函數牽涉無限、彎曲和抽象,但是人類天生對抽象、無限、彎曲、高維的東西,相對具象、有限、筆直和低維的東西,認知起來更加困難．例如,以無限和彎曲為例,正是因為相關問題困難,所以人類才發明了被恩格斯譽為“人類精神的偉大勝利”的微積分．又如,人類生命有涯,為了實現對涉及自然數無限命題的證明,發明了數學歸納法,通過奠基和遞推兩個環節,實現有限步驟對無窮歸納的把握．再如,函數單調性的定義,也是借助變量的任取,實現對無窮的駕馭(定義如下:“設函數y=f(x)的定義域為A,區間I?A．如果對于區間I內的任意兩個值x1,x2,當x1f(x2)),那么就說函數y=f(x)在區間I上單調遞增(減),同時稱I是函數f(x)的增(減)區間”)．類似的案例還有很多,更不要說微積分中令人生畏的極限ε-δ定義方式了．

第二,模型與現實有落差．生活中的“反”和數學上的“反”不完全相同．日常生活中所說的“反比”,是指兩個事物或一個事物的兩個方面,一方發生變化,另一方隨之起相反的變化．如老年人隨著年齡的增長,體力反而逐漸衰弱,這里只要此消彼長即可,沒有具體數量關系要求．數學中所說的“反比例”,要求乘積為定值．例如,x+y=8,兩個變量是此消彼長的,符合日常語言中的“反比”關系,但不符合數學中的“反比例”關系,而是數學中的一次函數關系．又如,xy=-1是反比例函數,但是不符合日常中所說此消彼長的“反比”關系,而是隨著x增大y也增大的單調遞增關系．所以學習反比例函數時,很容易先入為主,把反比例關系和日常生活的反比關系畫上等號．不僅如此,當下教材相關內容中,因為過于強調生活現實情境,所以都是從現實案例導入學習的．然而乘積為負常數的案例在生活中并不好舉,考慮到數學中反比例函數的定義,于是不得不牽強地告訴學生乘積可以為負(數學中的以下案例學生還沒學過:兩條直線互相垂直時,若斜率存在則乘積為-1)．

2.3 內部關系的負荷性

第一,相關概念容易混淆．與反比例函數相關的概念有反比例和反比例關系,很多人認為反比例函數與反比例以及反比例關系不是一回事．實際上,兩種相關聯的變量x和y在變化過程中,如果它們相對應的每兩個數的乘積保持一定(xy=k,k≠0),那么這兩個變量就成反比例關系,簡稱“成反比例”．在數學中反比例、反比例關系與反比例函數是一致的,只是在小學數學中,k的值只限于正數,但是初中教材就不一樣了,這是因為數系拓展到了實數．簡單說來,反比例(關系)強調的是兩種量的關系,而反比例函數是從變量說的角度來看的函數．它們是一樣的,在數學里是一個東西,好比穿了不同馬甲,在不同場域稱謂不同而已．蘇步青先生曾經指出,教材編寫可以“混而不錯”,就是在教材編寫中,在充分考慮學生認知水平的基礎上,對不必糾纏的次要概念或不易一次說清的非重點內容,可以不犯錯誤地一帶而過,以便提高效率實現循環上升．從這種觀點來看,當下沒有必要去過度強化反比例、反比例關系和反比例函數的差異(在教參中稍微提一下即可)．

3 策略建議

3.1 強調知識意義建構

表1 正、反比例函數對比

3.2 注意數學眼光培養

《義務教育數學課程標準(2022年版)》把數學“三會”即會用數學的眼光觀察現實世界等,作為數學核心素養的終極目標之一,并指出在義務教育階段,數學眼光主要表現為抽象能力(包括數感、量感、符號意識)、幾何直觀、空間觀念與創新意識[3]．實際上,無論在教材編寫中還是課堂教學中,都應該結合生活現實、數學現實以及其他學科現實,將“三會”精神具體拆分為關鍵能力進行落實．比如在教學中,可以啟迪學生思考一個有趣話題:網絡熱圖“葛優躺”的數學解釋是什么?實際上,每個人的重量恒定,對于單腳金雞獨立、端坐靠背椅上和四仰八叉地躺在沙發上3種狀態,顯然它們的受力面積依次增大,因此壓強依次減小．這樣看來,背后的數學原理就是反比例函數．顯然,能夠直接看到現實世界中的數學原理,背后體現出的是較好的數學素養,涉及數學抽象、直觀想象等綜合素質．其他類似的數學眼光案例還有:釣魚的時候怎樣握桿省力氣,為什么用針可以扎爆氣球,滑雪時為啥要用滑雪板,物理學中的波義爾-馬略特定律,等等．當然,我們也需要指出,生活數學、學校數學和真正數學之間存在差異[4]．數學源于現實但是高于現實,現實情境也是數學教學的一把雙刃劍,處置不當有時候會增加學生認知障礙．教師既要妥善利用好現實情境培養數學抽象、直觀想象和應用意識等,也要立足現實世界注意提綱挈領,實現數學發展超越提升．

3.3 狠抓核心素養落實