以學科大概念為鏈的單元教學研究*
——以人教A版三角函數單元教學為例

程仕然 (江蘇省黃埭中學 215143)

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(下稱《課標》)強調“重視以學科大概念為核心,使課程內容結構化,以主題為引領,使課程內容情境化,促進學科核心素養的落實”[1]4．那么,什么是學科大概念?如何在單元教學中體現學科大概念的核心作用?筆者查閱文獻資料,發現相關結論眾說紛紜,且大多偏重理論研究,鮮有數學學科大概念的實踐研究．這說明學科大概念有待深入研究,尤其是數學學科大概念視角下的教學實踐,更需要進行研究和開發．

1 數學學科大概念的界定

1.1 數學學科大概念的定義

“大概念”又可以稱為大觀念、核心觀念、大概念等．它是“能反映學科的本質,居于學科的中心地位,具有較為廣泛的適用性和解釋力的原理、思想和方法”[2]．蘭德爾·查爾斯將數學學科大概念定義為對數學學習至關重要的觀念的陳述,是數學學習的核心[3]．我們這里所說的數學學科大概念是指能反映數學學科的本質,居于學科的中心地位,具有較為廣泛的適用性和解釋力的原理、思想和方法．

1.2 數學學科大概念的特征

林恩·埃里克森認為,學科大概念指向學科中的核心概念,是基于事實基礎上抽象出來的深層次的、可遷移的概念[4]．所以,通過上面相關論述的分析,我們可以把數學學科大概念的特征歸納為如下三點:(1)能反映數學學科的主要觀點和思維方式,是學科結構的骨架和主干部分;(2)能統領或包含大量的數學學科知識,具有普遍性和廣泛的解釋力;(3)能提供對于理解數學知識、研究和解決數學問題的思想方法或關鍵工具,具備持久的可遷移應用價值．

2 學科大概念視角下的單元教學實踐

學科大概念視角下的單元教學,需要我們從單元整體內容著眼,根據課程標準要求和教學內容的特點,以學科大概念為鏈貫穿不同的主題,統領單元教學,以問題驅動研究,有組織地探索一系列相關問題,幫助學生自主搭建知識結構框架,發展學生的思維鏈,建立系統的單元知識體系．

2.1 單元學科大概念的提取

科學的單元學科大概念能夠承載知識點之間的鏈接,驅動單元知識和概念的產生,能幫助學生了解單元知識的來龍去脈、理清邏輯關聯和明確課程學習的目的．從現有的研究成果來看,我們可以通過分析課程標準和教材,以學科大概念的三大特征為標準,采用自上而下的辦法提取學科大概念[5]．

案例1人教A版三角函數單元學科大概念的提取．

《課標》提出借助單位圓建立一般三角函數的概念,體會引入弧度制的必要性;用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的性質,探索和研究三角函數之間的恒等關系,體會利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型[1]21-22．

另外,通過對教材的梳理,我們發現:三角函數單元的學習內容中單位圓模型共出現了19處,說明單位圓模型在三角函數單元具有普遍性和廣泛的解釋力,能夠反映三角函數單元的主要觀點和思維方式,是骨架和主干部分;章節引言中提到自然界中各種周而復始的變化都可以抽象為點在圓上的圓周運動數學模型,利用單位圓這個數學模型建構了三角函數的概念,在單位圓模型上通過幾何直觀研究三角函數圖象、誘導公式、恒等變形等性質,說明單位圓是研究和解決三角函數問題的關鍵工具;習題中拓展問題的探究也用到了單位圓模型,說明單位圓這個數學模型對于理解知識、探索新問題具有持久的可遷移價值．

可見,單位圓模型鏈接了本單元的學習內容,具有學科大概念的基本特征,是三角函數單元的學科大概念．

2.2 單元知識結構的搭建

布魯納指出:無論教師教授哪類學科,一定要使學生理解該學科的基本結構,有助于學生解決課堂內外所遇到的各類問題．掌握事物的基本結構,就是以允許許多別的東西與它有意義地聯系起來的方式去理解它,學習這種基本結構就是學習事物之間是怎樣相互關聯起來的[6]．因此,開展學科大概念為統領的課堂教學需要我們理清單元學科大概念統領下的單元知識結構,幫助學生從整體上理解單元知識,形成單元知識結構,有利于學生將學習到的數學知識進行提取和遷移,即具有遷移價值．

案例2學科大概念統領下的三角函數單元知識結構．

通過案例1的研究,我們發現:由單位圓模型相關的具體事實去研究或者發現相應的概念,在核心活動中構建相應概念及相應概念與其他概念的聯系,可以幫助學生形成由事實性實例支撐的概念性理解,進而形成思維鏈,達到課程內容結構化的目的．由此,依據林恩·埃里克森建立的“知識的結構”模型,我們給出大概念統領下的三角函數單元知識結構圖(圖1)．

圖1 大概念統領下的三角函數單元知識結構圖

2.3 以學科大概念為鏈的課堂教學實施

單元教學連接著課程和課時教學．學科大概念統領下的單元教學是在對單元教學內容進行重新開發后,圍繞教學目標達成,在學科大概念統領下開展課時小目標教學．課時小目標在學科大概念的鏈接下落實單元教學目標,由學科大概念相關的具體事實去研究或者發現相應的概念,在核心活動中構建相應概念,幫助學生形成由事實性實例支撐的概念性理解,進而形成思維鏈,達到課程內容結構化的目的．

案例3以學科大概念為鏈的三角函數單元教學實踐(片段)．

由案例1和案例2的研究可知,單位圓模型是三角函數單元的學科大概念．單位圓是周而復始規律的數學模型,能夠承載三角函數單元學習目標．我們可以通過對單位圓模型的研究架構起三角函數單元的學科知識．

鏈接1單位圓視角下的弧度制．

教師啟發 當半徑r=1時,角α就可以用弧長l表示,實現了用實數來度量角的大小．

設計意圖讓學生積累活動經驗,在單位圓模型中體驗用實數表示角這個幾何圖形的可行性,實現角與實數的一一對應,為三角函數的一般定義埋下伏筆,體現了引入弧度制的必要性．

鏈接2構建單位圓模型,建構任意角三角函數概念．

核心活動 自然界中各類周而復始的周期性變化抽象為單位圓上點的圓周運動模型,在單位圓模型上建立一般三角函數的概念．

上述活動與概念抽象過程如圖2所示．

圖2

設計意圖從幾何直觀出發,把自然界中周而復始現象簡化為圓周運動,構建單位圓模型,從代數運算角度理解動點的坐標與對應角的函數關系,建構高中的三角函數一般定義,方便學生研究得出三角函數定義域、值域和函數值的符號規律,反映了三角函數的本質,明確學習三角函數的意義,為研究三角函數性質做好鋪墊．

鏈接3研究同角三角函數關系．

核心活動 聚焦三角函數定義,研究單位圓中同角三角函數的關系．

圖3

教師啟發 從定義出發,數形結合研究得出的同角三角函數平方和關系和商的關系極具數學美,相關變形應用廣泛．

設計意圖引導學生回歸定義研究問題,以數形結合的方式分析問題和解決問題．發現數學美,讓學生體驗從幾何直觀到代數推演的樂趣,也為研究誘導公式做準備．

鏈接4利用單位圓模型研究誘導公式．

學生研究 觀察,發現:

教師啟發 上面這些單位圓上的對稱關系是具有一般性的,由對稱關系得到等量關系就是我們想要研究的誘導公式．

設計意圖對稱性是函數的重要性質,利用單位圓模型幾何直觀體驗和感受三角函數的對稱性,讓學生在活動和探究中得出三角函數誘導公式,為后期用單位圓模型證明三角恒等關系提供方法借鑒．

鏈接5借助單位圓實物模型,畫三角函數圖象,研究三角函數性質．

核心活動 自制單位圓實物教具,利用單位圓實物模型精確畫出正弦函數圖象．

學生研究 (1)如何標注坐標軸上的單位?(2)如何標出正弦函數圖象上任意點(x,sinx)?

教師啟發 單位圓上角所對的弧長即為該角的弧度數．(1)讓單位圓實物模型從原點出發,向右在坐標軸上滾半周即得到π長度,滾動一周即得到2π長度,由此即可得到橫坐標軸上點(π,0),(2π,0)．(2)任意點(x,sinx)的橫坐標可仿(1)滾動得到,縱坐標由滾動前點的縱坐標平移得到．(3)類比正弦函數圖象的作圖過程得到余弦函數、正切函數圖象．

設計意圖借助單位圓實物模型標注三角函數的圖象坐標,重溫單位圓視角下的弧度制,加深三角函數的一般定義,即:三角函數是以角為變量、實數集對應到實數集的函數．

鏈接6基于單位圓的一般三角函數定義應用一——證明兩角差的余弦公式．

核心活動 證明兩個角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(*)．

學生研究 圖4(1)中角α,β的終邊分別與單位圓交于點A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)．當α≠β+2kπ,k∈Z時,有AB2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)．在原圖中繞原點旋轉坐標軸,讓x軸非負半軸與OB重合,如圖4(2),則點A和點B的坐標分別變為(1,0),(cos(α-β),sin(α-β))．此時,AB2=[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=2-2cos(α-β),所以有2-2cos(α-β)=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ),從而得到等式(*)．

圖4

當α=β+2kπ,k∈Z時,上式也成立．我們得到如下結論:α,β是任意角,則有等式(*)成立．

教師啟發 繞圓心旋轉坐標系,單位圓上兩定點間距離不變,借助兩點間距離證明公式．

設計意圖基于單位圓的一般三角函數定義,可發現等式(*)右邊各角在圓上相應點A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)間的距離AB2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ),旋轉坐標軸后,點A坐標(cos(α-β),sin(α-β))與角α-β建立了直接關系．旋轉前后點A,B在單位圓上的相對位置未變,因而距離不變,從而達到證明等式的目的．單位圓模型為學生從幾何直觀觀察順利遷移到代數推理證明架起一座橋梁,在問題解決中提升了學生的學科關鍵能力,在知識的應用中形成高階思維．

鏈接7基于單位圓的一般三角函數定義應用二——證明三角函數的恒等變換公式．

圖5

設計意圖此題為課本習題,類比鏈接6,借助單位圓的幾何直觀證明三角恒等式的思想方法,通過直觀想象、邏輯推理、數學運算證明和差化積公式,既是深化單位圓大概念,又是對本單元所學內容以及學生素養收獲的考查．

3 學科大概念統領下實施單元教學的建議

學科大概念統領下實施單元教學,需要我們關注數學本質,以課程標準為準則,以基本事實為導引,選擇合適的路徑提取承載單元教學任務的學科大概念,從促進教學和學生的理解、有利于實現數學核心素養等教學實踐意義的角度去架構單元知識框架,以學科大概念為鏈,實行單元整體教學設計．

3.1 梳理出科學的單元學科大概念,形成單元主題

通過解讀《課標》和梳理分析教材,以學科大概念的三個特征為標準確定單元大概念,規劃出單元教學設計思路．立足大概念的基本特征,從學科的視角理解大概念,分析概念核心及其相關概念構成的網絡體系,形成單元教學主題．

3.2 以單元學科大概念為鏈,構建單元結構

發揮單元學科大概念在單元學習中的統領作用,將課堂教學聚焦于知識的銜接、概念的來源與形成、數學文化的滲透、數學核心素養的培養等環節,將教學內容設計成單元知識問題鏈,以問題驅動研究,在核心活動中探索和構建單元知識網絡,體驗大概念的統領作用．加強單元內容的縱橫聯系,幫助學生建立結構功能優良、遷移能力強的數學認知結構,體會數學的思維方式,引領和輻射其他相關概念的學習,提高對數學的整體認識．

3.3 圍繞單元學科大概念設置問題探究,推動單元核心活動

圍繞單元學科大概念,立足學生的認知水平設置本單元中問題探究活動,重視知識生成的過程展示,環環相扣地安排鏈接問題,促進知識與技能的內化;步步深入地推動單元核心活動,提升學生分析和解決新問題的能力,促進交流與反思的深化;層層深入地理解和應用單元學科大概念,培養學生的思辨與綜合應用能力,促進思維與表達的固化．

3.4 整體設計,分步實施單元教學,強化學科大概念

基于學科大概念進行整體單元教學設計,沿著大概念主線分步實施完成鏈接部分的課堂教學,在教學過程中不斷強化學科大概念,讓分散的單元知識在大概念的統領下形成一個有機的整體,為學生逐步搭建起以學科大概念為核心的結構化的課程內容．

4 學科大概念統領下實施單元教學的價值和意義

弗賴登塔爾認為:“‘再創造’是整個數學教育的原則．”[7]所以說,數學課堂教學就是在問題與核心活動中引導學生經歷知識與技能的產生與發展,構建數學知識體系．如本文案例中以單位圓模型這個學科大概念為鏈統領三角函數單元教學,從章首語中“周而復始問題”簡化抽象為單位圓模型開始,利用單位圓模型建立起一般三角函數的概念,利用單位圓幾何直觀研究三角函數圖象、性質、誘導公式,探究三角恒等變換,鏈接了概念的建構、概念的解構、概念的鞏固、概念的拓展、概念的應用和評價等教學內容,實現了單元結構化的目的,更大程度上體現了單位圓這個簡單而美麗的數學模型把現實世界中的各類循環往復問題,轉化抽象為“數”的一類函數來研究,這就是數學的智慧!

數學學科大概念是數學領域的頂層觀念和思想,對明確數學概念核心、建構數學知識體系、解決數學問題、評價教學活動都具有重要的導向作用．它有利于幫助學生理解學科知識背后的更為本質的思想和方法,有利于學科知識結構化,幫助學生形成解決具體問題的思路方法,促進數學學科核心素養內化．

在教學實踐中,以學科大概念為鏈的單元教學設計,用學科大概念鏈接單元知識,問題驅動核心任務研究,讓學生的學習活動實踐化、系統化、深度化,形成單元知識結構體系和概念的生長鏈,促進概念理解和知識遷移運用,發展了學生的思維鏈,培養了學生的科學精神,提升了學生的學科關鍵能力,落實了數學學科核心素養,達到從知識傳授到能力培養再到價值塑造的“立德樹人”目的．