啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思考
——“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)實(shí)錄及反思*

孫居國 (南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 210003)

1 基本情況分析

·教學(xué)目標(biāo)

(1)掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)理解橢圓的定義過程,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程;(3)進(jìn)一步深化解析幾何的基本思想,即幾何問題代數(shù)化的過程、方法及思想,通過猜想、驗(yàn)證、證明等步驟,學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的一般方法,從而提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．

·教學(xué)重點(diǎn)與教學(xué)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn) 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.

教學(xué)難點(diǎn) 橢圓的定義過程及標(biāo)準(zhǔn)方程的猜想推導(dǎo)過程．

·教學(xué)方法與教學(xué)手段

教學(xué)方法 問題結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)教學(xué)、啟發(fā)式教學(xué).

教學(xué)手段 多媒體輔助教學(xué)．

2 教學(xué)過程分析

2.1 問題情境

太陽系中行星的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓．用平行光源照射一個(gè)放在地面上的球,適當(dāng)調(diào)整球的位置,球在地面上影子的外輪廓線可以是橢圓(圖1)．

圖1 圖2

啟發(fā) 圖中除了外輪廓線是橢圓,球面上的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)在地面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是什么?

由此得出兩個(gè)特殊的點(diǎn)F1和F2(圖2)．

點(diǎn)F1,F2和橢圓上的點(diǎn)有怎樣的關(guān)系呢?

在畫板上取兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2(圖3),把一條長度為定值且大于F1F2的細(xì)繩的兩端固定在F1,F2兩點(diǎn),用筆尖把細(xì)繩拉緊,并使筆尖在畫板上移動(dòng)一周,畫出的圖形是一個(gè)橢圓．

圖3

通過師生、生生交流得出橢圓定義:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于同一常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)軌跡叫作橢圓,兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫作橢圓的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距．

2.2 學(xué)生活動(dòng)

問題 知道了橢圓的定義后,接下來我們研究什么呢?怎么研究呢?

通過交流協(xié)商后,確定研究橢圓的性質(zhì)、方程等,本課先討論橢圓的方程．

先看教材[1]上的一段敘述:設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,它們之間的距離為2c,橢圓上任意一點(diǎn)到F1,F2的距離之和為2a(2a>2c)．

對(duì)這段話的認(rèn)識(shí)很重要,這是圓錐曲線中三種曲線推導(dǎo)的第一種標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)充分體現(xiàn)幾何問題代數(shù)化的過程,不但要讓學(xué)生有幾何問題代數(shù)化的意識(shí),而且要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何將幾何問題代數(shù)化,為以后推導(dǎo)其他曲線的方程提供示范．不妨將問題細(xì)化如表1所示．

表1 幾何對(duì)象與對(duì)應(yīng)的代數(shù)對(duì)象

全面認(rèn)識(shí)課本上的每一句話,充分體現(xiàn)思想性、過程性．

求圓錐曲線方程的第一課是后面學(xué)習(xí)雙曲線方程和拋物線方程的參照和示范,在這一課中,若能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓在數(shù)與形方面表現(xiàn)出的對(duì)應(yīng)過程——即數(shù)學(xué)家是如何進(jìn)行試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、猜想的——然后進(jìn)行分析,并在教學(xué)過程中“還原”這一過程,將目標(biāo)融于過程之中,這對(duì)啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有很大的促進(jìn)作用．

對(duì)于如何化簡,課本上往往省略探究過程,很多學(xué)生發(fā)現(xiàn)直接平方得不出結(jié)果或太煩,后來移項(xiàng)平方后才得到結(jié)果.這說明我們?cè)谶M(jìn)行一個(gè)較復(fù)雜的運(yùn)算之前,要對(duì)運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行預(yù)估:直接平方會(huì)有怎樣的結(jié)構(gòu)?若移項(xiàng)平方后,是否簡捷一些?教學(xué)生在算之前先想一想結(jié)論是怎樣的、過程是怎樣的.

讓學(xué)生對(duì)照橢圓的示意圖,猜想橢圓的方程變形后大致是怎樣的.圓的方程是一個(gè)二元二次方程,橢圓可以看成一個(gè)“壓扁的圓”,那么橢圓方程是不是也是一個(gè)二元二次方程?若是,將是什么樣的?

不妨猜想橢圓的方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 ①,由于橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱,故有Ax2-Bxy+Cy2-Dx+Ey+F=0 ②．

①②兩式對(duì)于任意x都成立,即Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=Ax2-Bxy+Cy2-Dx+Ey+F,所以B,D均為0．同理可得E也為0．因此,橢圓方程的形式應(yīng)為Ax2+Cy2+F=0．

通過這樣的猜想推斷,學(xué)生對(duì)橢圓方程己有初步的認(rèn)識(shí)．

2.3 建構(gòu)數(shù)學(xué)

學(xué)生嘗試推導(dǎo),學(xué)生板演,三種思路.一是直接平方,有點(diǎn)麻煩,沒得出結(jié)果,過程很煩,建議課后繼續(xù)化簡.二是移項(xiàng)后平方,與課本中方法相同,學(xué)生板演順利.三是下列方法:

這樣做的特點(diǎn)是對(duì)學(xué)生的思維要求高:注意思維的過程與細(xì)節(jié),時(shí)刻注意數(shù)與形的滲透和轉(zhuǎn)換,體現(xiàn)了為什么要化成標(biāo)準(zhǔn)方程,展示了一個(gè)結(jié)論生成過程的諸多問題,體現(xiàn)了橢圓方程的本質(zhì)特征．因此,教學(xué)中應(yīng)盡可能把知識(shí)的發(fā)生過程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探索性的問題,為學(xué)生提供猜想的空間,經(jīng)歷學(xué)習(xí)、探究的過程．真正使有關(guān)材料成為學(xué)生的思考對(duì)象,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生的內(nèi)在需求,從而啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．

2.4 反思延伸

課本中在推導(dǎo)完橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程后,得出這樣的結(jié)論:“由上述過程可知,橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足方程,并且滿足此方程的點(diǎn)(x,y)都在橢圓上．”為什么滿足此方程的點(diǎn)(x,y)都在橢圓上?這一細(xì)節(jié)交待得并不清楚．

“滿足此方程的點(diǎn)(x,y)都在橢圓上”這句話看似顯然,實(shí)則很深?yuàn)W．要說明下面三點(diǎn):一是什么叫“點(diǎn)(x,y)都在橢圓上”?學(xué)生對(duì)它的意義還不清楚.二是為什么“點(diǎn)(x,y)都在橢圓上”?學(xué)生對(duì)它的過程不清楚.三是為什么要說明“點(diǎn)(x,y)都在橢圓上”,學(xué)生對(duì)它的本質(zhì)不清楚．

如果學(xué)生明白了上述三個(gè)為什么,那么對(duì)解析幾何的本質(zhì)“幾何問題代數(shù)化”就有了更加深刻的認(rèn)識(shí)．“點(diǎn)(x,y)都在橢圓上”的意義是“滿足方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在橢圓上”,其過程需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明,這是曲線與方程定義所決定的．

因此,對(duì)這一細(xì)節(jié)處理如下:

通過這一過程,不但完善了課本中的結(jié)論,而且將結(jié)論融于這些細(xì)節(jié)之中,從而啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,使學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去看問題、用數(shù)學(xué)的思維去思考問題,啟發(fā)了學(xué)生的思維,也為后續(xù)曲線與方程的定義打下了基礎(chǔ)．

2.5 本課小結(jié)

知識(shí)層面:(1)橢圓定義;(2)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

思想方法和素養(yǎng)層面:(1)幾何問題代數(shù)化的思想方法;(2)猜想、驗(yàn)證、證明等研究問題的一般方法步驟．

正如數(shù)學(xué)家陳省身所言:“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物,首先要能夠思考起來,用自已的見解和別人的見解交換,才會(huì)有很好的效果．”數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最有價(jià)值的行為．

2.6 課后作業(yè)

作業(yè):普通高中數(shù)學(xué)教科書·選擇性必修第一冊(cè)(蘇教版2021)第79頁練習(xí)1～5．

3 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)所有行為中最有價(jià)值的行為,在教學(xué)中若離開了數(shù)學(xué)思考,只有題型模仿、類型強(qiáng)化、技能操練,也只能是教學(xué)中的無效或低效行為．有思考才會(huì)有問題,才會(huì)有探究,才會(huì)有反思,才能深入理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).因此,課堂上要讓學(xué)生能夠思考起來,用自已的見解和別人的見解交換,才會(huì)有很好的效果．

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)解讀》中指出:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)本質(zhì)上反映的是數(shù)學(xué)的思維品質(zhì),基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)立足于學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)而成為“思維之樹常青”的課堂,因而,“啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考”就成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵[2]．這要求一線教師立足于高中數(shù)學(xué)課堂主陣地,做課堂教學(xué)中的有心人,在每一個(gè)時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知,在每一個(gè)細(xì)節(jié)留心學(xué)生的想法,把啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考落到實(shí)處,讓學(xué)生的思維之花盛開于數(shù)學(xué)課堂上,從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)．