數(shù)學(xué)史上的留白與創(chuàng)新

汪曉勤 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

“創(chuàng)新意識(shí)”是義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),是今日數(shù)學(xué)教育研究的重要課題．美國(guó)數(shù)學(xué)家舒爾茨(A.Schultze,1861—?)在《中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)》(1939)中已經(jīng)提到創(chuàng)新的重要性:“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果應(yīng)該是能力的發(fā)展,而非事實(shí)的獲取．一個(gè)人知道很多數(shù)學(xué)事實(shí),并非就是一位好的數(shù)學(xué)家,只有能夠明智地應(yīng)用這些事實(shí)、能夠發(fā)現(xiàn)全新的事實(shí)以及能夠重構(gòu)已經(jīng)遺忘的事實(shí)的人,才是好的數(shù)學(xué)家．”[1]著名物理學(xué)家愛因斯坦(A.Einstein,1879—1955)則強(qiáng)調(diào),學(xué)校教育“應(yīng)當(dāng)始終將發(fā)展獨(dú)立思考和獨(dú)立判斷的能力放在首位,獲得專業(yè)知識(shí)很次要”[2]．今天,人工智能(如ChatGPT)的應(yīng)用必將對(duì)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響,事實(shí)性的數(shù)學(xué)知識(shí)離開課堂也很容易獲取,而創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)更重要的目標(biāo)．

在這樣的背景下,“留白創(chuàng)造式”教學(xué)成了需要人們深入探索的一種教學(xué)方式．這種教學(xué)方式提倡以學(xué)生為中心,通過留白活動(dòng),給予學(xué)生足夠的思維空間和探究機(jī)會(huì),讓他們經(jīng)歷知識(shí)創(chuàng)獲的過程,進(jìn)而達(dá)成創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的目標(biāo)．為了夯實(shí)留白創(chuàng)造式教學(xué)的理論基礎(chǔ),我們既需要借助數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的指導(dǎo),也需要尋求中國(guó)傳統(tǒng)教育思想的支撐,還需要從數(shù)學(xué)歷史中尋找思想的啟迪．

“留白”一詞源于中國(guó)古代繪畫理論,將該術(shù)語(yǔ)用于數(shù)學(xué)教學(xué),其特定內(nèi)涵有待于深入探討．本文擬通過數(shù)學(xué)史上的若干典型案例的考察,提煉出“留白創(chuàng)造式”教學(xué)中的“留白”類型,為未來的相關(guān)理論研究和實(shí)踐探索提供參考．

2 論證之白

我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著、成書于東漢的《九章算術(shù)》是一部問題集,書中呈現(xiàn)了問題、答案以及解法,但絲毫不提那些解法是如何得來的,也就是說,作者并不交代“所以然”的問題,因而為后世數(shù)學(xué)家留下了研究空間．

劉徽利用無窮分割求和的方法對(duì)公式進(jìn)行了推導(dǎo)．將長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c的長(zhǎng)方體(圖1)沿對(duì)角面剖開,得到兩個(gè)塹堵(底面為直角三角形的直三棱柱),將一個(gè)塹堵沿對(duì)角面剖開,得到一個(gè)陽(yáng)馬(涂以黑色)和一個(gè)鱉臑(涂以紅色),如 圖2所示．

圖1 圖2

分別過塹堵底面長(zhǎng)、寬和高的中點(diǎn)作平行或垂直于底面的平面,將黑色陽(yáng)馬分割成1個(gè)小長(zhǎng)方體、2個(gè)小塹堵和2個(gè)小陽(yáng)馬,將紅色鱉臑分割成2個(gè)小塹堵和2個(gè)小鱉臑,如圖3所示．先考慮黑色小立方體、黑色和紅色小塹堵(圖4),分別將同類小塹堵組合成小長(zhǎng)方體,共得到3個(gè)小長(zhǎng)方體(圖5)．這3個(gè)小長(zhǎng)方體中,黑色和紅色部分的體積之比為2∶1．

圖3 圖4

圖5

再考慮剩下的2個(gè)黑色小陽(yáng)馬和2個(gè)紅色小鱉臑,共組成2個(gè)小塹堵(圖6),每個(gè)小塹堵的構(gòu)造與原來的大塹堵完全一樣．分別對(duì)這兩個(gè)小塹堵實(shí)施同樣的分割和重組,所得的6個(gè)小長(zhǎng)方體中,黑色和紅色部分的體積之比為2∶1．

圖6

《九章算術(shù)》作者的留白,引發(fā)了劉徽超越時(shí)代的論證．我們將這種為命題的證明、公式的推導(dǎo)等所留出的思維空間稱為“論證之白”．

3 發(fā)現(xiàn)之白

這就表明,漢代數(shù)學(xué)家的球體積公式是不正確的,利用該公式所得結(jié)果大于球體積的真實(shí)值,即使是取圓周率為3,結(jié)果仍然偏大．

牟合方蓋為球體積問題的解決開辟了道路,但是,牟合方蓋的體積太難算了．劉徽的思路是:先算出立方體內(nèi)牟合方蓋之外的“碎片”的體積,從立方體體積中減去這些“碎片”的體積,即得牟合方蓋的體積．考慮立方體的八分之一部分,其中含有牟合方蓋的八分之一部分以及另外三塊碎片,如圖8所示．

圖8 立方體八分之一部分的構(gòu)成

求三塊“碎片”體積的嘗試以失敗告終．劉徽不無遺憾地說:“欲陋形措意,懼失正理．敢不闕疑,以俟能言者．”

圖9 外棋與倒立陽(yáng)馬

正是劉徽的留白,引發(fā)了祖暅的發(fā)現(xiàn)．導(dǎo)致新知發(fā)現(xiàn)的思維是數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的因素之一[4],我們將為這種思維所留的空間稱為“發(fā)現(xiàn)之白”．

4 方法之白

在命題的證明或問題的求解上,一代代數(shù)學(xué)家從未停止過探索的腳步．面對(duì)過去的數(shù)學(xué)家所給出的某個(gè)命題的某種證明或某個(gè)問題的某種解法,追求真善美、富有好奇心和創(chuàng)新精神的數(shù)學(xué)家常常會(huì)問:還有更好的方法嗎?這就是為什么同一個(gè)數(shù)學(xué)命題在歷史上往往會(huì)有多種不同的證明．

歐幾里得在《幾何原本》中利用勾股定理(命題I.47)證明了鈍角三角形和銳角三角形情形的余弦定理幾何形式(命題II.12和II.13),17世紀(jì)荷蘭數(shù)學(xué)家格雷戈里(Gregory of Saint-Vincent,1584—1667)思考了如下問題[5]:可否像歐幾里得證明勾股定理那樣,用面積的方法來證明這兩個(gè)命題呢?如圖10,在銳角三角形ABC三邊上,分別作正方形ACEF,BCHG,AMNB,過頂點(diǎn)A,B,C分別作對(duì)邊的垂線,垂足為I,K,D,交相應(yīng)的正方形的另一邊于點(diǎn)J,L,P．以全等三角形為媒介,可以證明長(zhǎng)方形AIJF,BKLG的面積分別等于長(zhǎng)方形AMPD,DPNB的面積．又以全等三角形為媒介,可以證明長(zhǎng)方形JICE和HCKL面積相等,于是有c2=a2+b2-2a×CI,或c2=a2+b2-2b×CK,注意到CI=bcosC,CK=acosC,分別代入上面的等式,即得今天人們耳熟能詳?shù)娜切问降挠嘞叶ɡ斫Y(jié)論．

圖10 銳角三角形情形的余弦定理的面積證法 圖11 鈍角三角形情形的余弦定理的面積證法

如圖11,同理可證鈍角三角形中的結(jié)論c2=a2+b2+2a×CI或c2=a2+b2+2b×CK．注意到CI=bcos(π-C),CK=acos(π-C),即得三角形式的余弦定理結(jié)論．

對(duì)于《幾何原本》中的大量命題,如三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形性質(zhì)定理、邊邊邊定理、 勾股定理、黃金分割的 作圖、圓內(nèi)接正五邊形的作圖、線面垂直判定定理等等,后世數(shù)學(xué)家都有新的證明．可見,這部數(shù)學(xué)圣經(jīng)為后世數(shù)學(xué)家留下了廣闊的思維空間．“創(chuàng)造數(shù)學(xué)問題全新解法的能力”也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的因素之一[4],我們將為 突破舊法、創(chuàng)造新法所留下的思維空間稱為“方法之白”．

5 問題之白

沒有問題,就沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)問題的寶庫(kù),這個(gè)寶庫(kù)是一代又一代數(shù)學(xué)家在漫長(zhǎng)的過程中不斷積累起來的．任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題都可以成為人們?cè)O(shè)計(jì)新問題的出發(fā)點(diǎn)．

1617年,荷蘭數(shù)學(xué)家斯內(nèi)爾(W.Snell,1580—1626)解決了以下測(cè)量問題:如圖12所示,已知三點(diǎn)A,B,C兩兩之間的距離,從觀測(cè)點(diǎn)P處可以觀測(cè)到點(diǎn)A,B,C,測(cè)得∠APB和∠APC的大小(分別記為α和β),求PA,PB,PC的長(zhǎng)度．1692年,法國(guó)數(shù)學(xué)家波特諾(L.Pothenot,1650—1732)將上述問題改成求點(diǎn)P的位置問題,后人因此將“已知三點(diǎn)兩兩之間的距離以及觀測(cè)所得兩個(gè)視角,求觀測(cè)點(diǎn)位置和觀測(cè)點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離”統(tǒng)稱為“斯內(nèi)爾-波特諾問題”(有時(shí)也被稱為“地圖問題”)．

圖12 斯內(nèi)爾-波特諾問題1 圖13 斯內(nèi)爾-波特諾問題2

1671年,英國(guó)數(shù)學(xué)家柯林斯(J.Collins,1624—1683)再次對(duì)該問題進(jìn)行了討論[6]．柯林斯按照觀測(cè)點(diǎn)P和三個(gè)已知點(diǎn)A,B,C的不同位置,將問題分成六類,除了斯內(nèi)爾所考慮的圖12所示的情形,另外五種情形如圖13～17所示．

圖14 斯內(nèi)爾-波特諾問題3 圖15 斯內(nèi)爾-波特諾問題4

圖16 斯內(nèi)爾-波特諾問題5 圖17 斯內(nèi)爾-波特諾問題6

1845年,美國(guó)數(shù)學(xué)家肖菲爾德(N.Scholfeld)在其《高等幾何學(xué)與三角學(xué)》中在斯內(nèi)爾-波特諾問題的基礎(chǔ)上,又提出新的問題[7]:

·如圖18所示,已知三點(diǎn)A,B,C兩兩之間的距離,從點(diǎn)P可以觀測(cè)到點(diǎn)B,A,Q,但不能觀測(cè)到點(diǎn)C;從點(diǎn)Q可以觀測(cè)到點(diǎn)C,A,P,但不能觀測(cè)到點(diǎn)B．測(cè)得∠APB,∠APQ,∠AQC,∠AQP的大小,求PA,PB,PQ,QC,QA．

圖18 斯內(nèi)爾-波特諾問題的推廣1 圖19 斯內(nèi)爾-波特諾問題的推廣2

·如圖19所示,已知四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度以及各角的大小,從點(diǎn)P可以觀測(cè)到點(diǎn)A,C,Q,但不能觀測(cè)到點(diǎn)B,D;從點(diǎn)Q可以觀測(cè)到點(diǎn)D,B,P,但不能觀測(cè)到點(diǎn)C,A．測(cè)得∠APC,∠CPQ,∠DQB,∠BQP的大小,求PA,PC,PQ,QD,QB．

這里,柯林斯和肖菲爾德在斯內(nèi)爾測(cè)量問題的基礎(chǔ)上,采用條件操作策略(即改變?cè)瓎栴}的條件而保留其所求目標(biāo))提出新問題．問題提出是培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的有效途徑之一[4],我們將為提出新問題而留出的思維空間稱為“問題之白”．

6 結(jié)語(yǔ)

以上我們看到,從數(shù)學(xué)史上的典型案例中至少可以總結(jié)出“留白”的四類形式——論證之白、發(fā)現(xiàn)之白、方法之白和問題之白．可以斷言,數(shù)學(xué)的歷史就是留白與創(chuàng)新的歷史:前人的失敗是后人成功的階梯,前人的思想是后人發(fā)現(xiàn)的鑰匙,前人的結(jié)果是后人論證的目標(biāo),前人的方法是后人創(chuàng)新的源頭,前人的問題是后人探索的起點(diǎn)．總之,正是有了前人的留白,才有了后人的創(chuàng)新,留白是創(chuàng)新的必要條件．

數(shù)學(xué)史上的留白與創(chuàng)新為留白創(chuàng)造式教學(xué)提供了思想啟迪．

首先,在教學(xué)中,要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力,教師在教學(xué)中需要留白,教師的留白是學(xué)生創(chuàng)新的必要條件,因此,我們有必要倡導(dǎo)留白創(chuàng)造式教學(xué)．

其次,在教學(xué)中,教師可以設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)奶骄咳蝿?wù),留出發(fā)現(xiàn)之白,引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)獲新知;留出論證之白,促使學(xué)生探尋因果;留出方法之白,助力學(xué)生另辟蹊徑;留出問題之白,培養(yǎng)學(xué)生提問能力．

再次,數(shù)學(xué)史本身也為留白創(chuàng)造式教學(xué)提供了取之不盡、用之不竭的問題和方法,是留白創(chuàng)造式教學(xué)設(shè)計(jì)、實(shí)施和評(píng)價(jià)的思想源泉．