逆向思維探究不等式組中字母取值

邱煥芬

一、已知不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)，確定字母取值范圍

例1 （2022·四川·達(dá)州）關(guān)于x的不等式組[-x+a<2，3x-12≤x+1]恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是 ．

解析：解第1個(gè)不等式得x > a - 2，解第2個(gè)不等式得x ≤ 3，

[∴]原不等式組的解集為a - 2? <? x ≤ 3.

[∵]恰有3個(gè)整數(shù)解，所以只能是3，2，1，[∴]0 ≤ a - 2? <? 1，[∴]2 ≤ a? <? 3.

二、根據(jù)不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)，探究字母的最大值

例2 （2022·湖南·邵陽(yáng)）關(guān)于x的不等式組[-13x>23-x，12x-1<12（a-2）]有且只有三個(gè)整數(shù)解，則a的最大值是（ ）．

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

解析：由第1個(gè)不等式得x > 1，由第2個(gè)不等式得x? <? a，解得1 <? x? <? a．

[∵]不等式組有且僅有三個(gè)整數(shù)解，即2，3，4，[∴]4? <? a ≤ 5，

[∴]a的最大值是5. 故選C．

三、已知不等式組負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，確定字母取值范圍

例3 若關(guān)于x的一元一次不等式組[x-a>0，2x-3<1]有2個(gè)負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍是 ．

解析：解第1個(gè)不等式得x > a，解第2個(gè)不等式得x < 2，

∵原不等式組有2個(gè)負(fù)整數(shù)解，從x < 2可以判斷2個(gè)負(fù)整數(shù)解只能是-1， -2. 觀察數(shù)軸可以直觀看出-3 ≤ a < -2. 故應(yīng)填-3 ≤ a < -2.

反思：確定a的范圍我們可以借助數(shù)軸，采用特殊值法：比如本題當(dāng)a = -2時(shí)，由于解集為x > a，就排除了-2這個(gè)負(fù)整數(shù)解，因此a < -2，當(dāng)a = -3時(shí)，由于解集為x > a，恰巧有2個(gè)負(fù)整數(shù)解-1，-2，所以a的取值范圍為-3 ≤ a < -2．

四、已知不等式組的解集，求待定字母取值或范圍

例4 （2022·黑龍江）若關(guān)于x的一元一次不等式組[2x-1<3，x-a<0]的解集為x < 2，則a的取值范圍是 ．

解析：將原不等式組整理得[x<2，x<a，]因?yàn)椴坏仁浇M的解集為x < 2，根據(jù)“同小取小”可知a的取值范圍為a ≥ 2. 故應(yīng)填a ≥ 2．

五、已知不等式組無(wú)解，求字母的取值范圍

例5 （2022·內(nèi)蒙古）關(guān)于x的不等式組[5-3x≥-1，a-x<0]無(wú)解，則a的取值范圍是 ．

解析：由第1個(gè)不等式得x ≤ 2，由第2個(gè)不等式得x > a，

[∵]不等式組無(wú)解，[∴]a ≥ 2. 故應(yīng)填a ≥ 2．

反思：解決本題容易忽視當(dāng)a = 2時(shí)兩個(gè)不等式的解集仍然無(wú)公共部分，因此當(dāng)不等式組無(wú)解時(shí)，a ≥ 2.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：4分鐘

不等式組[x-13-12x<-1，4（x-1）≤2（x-a）]有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（ ）.

A. -6 ≤ a < -5? ? B. -6 < a ≤ -5? ? ? C. -6 < a < -5? ? D. -6 ≤ a ≤ -5

（答案見本頁(yè)）

（作者單位：山東省濱州實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

答案速遞

第25頁(yè)：取AB的中點(diǎn)M，連接FM，DM，證明過(guò)程略. （2）3[3]

第28頁(yè)：1. ∠A = 90° 2. D

第33頁(yè)：B