不等式牽手一次函數演繹經典

孫靜

經典1 圖象分布與不等式

例1 （2022·天津）若一次函數[y=x+b]（b是常數）的圖象經過第一、二、三象限，則b的值可以是 （寫出一個即可）.

解析：根據一次函數經過第一、二、三象限，判定[b>0]，由解集確定特殊解.

答案可有無數個，如填2.

經典2 圖象的增減性與不等式的解集

例2 （2022·江蘇·揚州）如圖1，函數y = kx + b（k < 0）的圖象經過點[P]，則關于[x]的不等式[kx+b>3]的解集為 .

解析：因為圖象分布在第二、第一、第四象限，所以y隨x的增大而減小.當x = -1時，y = 3. 由[kx+b>3]，得[x<-1]，故kx? +? b > 3的解集是[x<-1].

經典3 根據交點，確定字母的取值范圍

例3 （2022·四川·德陽）如圖2，已知點A（-2，3），B（2，1），直線[y=kx+k]經過點P（-2，3）. 試探究：直線與線段[AB]有交點時[k]的變化情況，猜想[k]的取值范圍是 .

解析：直線[y=kx+k]經過點A（-2，3）時，3 = -2k + k，解得[k=-3]，這是有交點的最大界點值；將直線繞點P順時針旋轉，經過點B（2，1）時結束，則1 = 2k + k，解得[k=13]，這是有交點的最小界點值. 直線[y=kx+k]經過點A時，逆時針旋轉k變小；經過點B時，順時針旋轉k變大. 因此，[k]的取值范圍是[k≥13]或[k≤-3]. 故答案為[k≥13]或[k≤-3].

經典4 根據交點，確定字母的取值范圍

例4 （2022·陜西）如圖3，是一個“函數求值機”的示意圖，其中y是x的函數. 下面表格中，是通過該“函數求值機”得到的幾組x與y的對應值.

根據以上信息，解答下列問題：（1）當輸入的x值為1時，輸出的y值為 ；（2）求k，b的值；（3）當輸出的y值為0時，求輸入的x值.

解析：（1）由于x = 1滿足x ≥ 1，則y = 8x = 8，故填8.

（2）當x < 1時，滿足y = kx + b，根據題意得[-2k+b=2，b=6，]解得[k=2，b=6.]

（3）令[y=0]，由[y=8x]，得[0=8x]，∴[x=0<1]. 不滿足條件x ≥ 1，舍去.

因為[k=2，b=6，]所以一次函數的解析式為[y=2x+6]. 令y = 0，得[0=2x+6]，解得[x=-3<1]. 符合程序設計流程，所以輸出的y值為0時，輸入的x值為[-3].

經典5 根據一次函數的增減性求最值

例5 某學校要購買甲、乙兩種消毒液. 若購買9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，則一共需要615元；若購買8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，則一共需要780元.

（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的價格分別是多少元？

（2）若該校計劃購買甲、乙兩種消毒液共30桶，其中購買甲消毒液a桶，且甲消毒液的數量至少比乙消毒液的數量多5桶，又不超過乙消毒液的數量的2倍. 怎樣購買，才能使總費用W最少？請求出最少費用.

解析：（1）設每桶甲消毒液的價格是a元，每桶乙消毒液的價格是b元，

根據題意得[9a+6b=615，8a+12b=780，]解得[a=45，b=35.]

每桶甲消毒液的價格是45元，每桶乙消毒液的價格是35元．

（2）購買甲消毒液a桶，則購買乙消毒液（30 - a）桶，根據題意得（30 - a） + 5 ≤ a ≤ 2（30 - a），解得17.5 ≤ a ≤ 20，而W = 45a + 35（30 - a） = 10a + 1050，∵10 > 0，∴W隨a的增大而增大，∴當a = 18時，W取得最小值，最小值為10 × 18 + 1050 = 1230，此時30 - 18 = 12，則當購買甲消毒液18桶、乙消毒液12桶時，所需總費用最少，最少費用是1230元.

（作者單位：江蘇省鹽城市新洋初級中學）