靈活應用平行四邊形的性質與判定

劉丹丹

沈陽市博才初級中學邵愛平老師的直播課《平行四邊形性質與判定綜合應用》選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實國家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學習和個性化提升。

邵愛平老師的直播課，從知識梳理、典型例題、變式訓練、中考鏈接四個方面展開，幫助同學們結合圖形理解、總結平行四邊形的性質及判定方法，引導同學們多角度思考，發現最優方法. 平行四邊形是初中數學“圖形與幾何”領域的重要圖形之一. 它既是平行線、全等三角形等知識的后續應用，又是進一步理解特殊平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的必要基礎，為研究兩條直線平行、線段相等及角相等提供了新的方法和依據.

典例探究

例 如圖1，在?ABCD中，以AB，CD為邊在?ABCD外側作等邊三角形AEB和等邊三角形CFD.求證：四邊形EBFD是平行四邊形.

學法指導1：從邊的角度證明平行四邊形，兼顧邊的數量和位置關系，根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”求證結論.

證法1：如圖2，連接ED，BF，BD，BD與EF交于點O，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB = CD，AB[?]CD，∴∠ABD = ∠CDB.

∵△AEB，△CFD均為等邊三角形，

∴BE = AB = CD = DF，∠EBA = ∠CDF = 60°，

∴∠ABD + ∠EBA = ∠CDB + ∠CDF，即∠EBO = ∠FDO，

∴BE[?]DF.

∵BE[?]DF，BE = DF，∴四邊形EBFD是平行四邊形.

學法指導2：從邊的角度證明平行四邊形，如果只考慮邊的數量關系，需要根據“兩組對邊分別相等”求證結論.

證法2：如圖3，設AB，CD與EF分別交于點G，H，連接ED，BF，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB[?]CD，AB = CD，∴∠AGH = ∠CHG.

∵∠BGE = ∠AGH，∠DHF = ∠CHG，

∴∠BGE = ∠DHF.

∵△AEB，△CFD均為等邊三角形，

∴BE = AB = CD = DF，∠EBA = ∠CDF = 60°.

∵∠BEG = 180° - ∠EBA - ∠BGE，∠DFH = 180° - ∠CDF - ∠DHF，

∴∠BEG = ∠DFH，∴BE[?]DF.

∵BE = DF，∴四邊形EBFD是平行四邊形.

學法指導3：從邊的角度證明平行四邊形，如果只考慮邊的位置關系，需要根據“兩組對邊分別平行”來證明.

證法3：連接DE，BF，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD = BC，AD[?]BC，∠BAD = ∠BCD.

∵△AEB，△CFD均為等邊三角形，

∴BE = AE = AB = CD = CF = DF，∠EAB = ∠DCF = 60°.

∵∠EAD = 360° - ∠EAB - ∠BAD，∠FCB = 360° - ∠DCF - ∠BCD，

∴∠EAD = ∠FCB.

∵AE = CF，AD = BC，∴△ADE ≌ △CBF，∴DE = BF.

∵BE = DF，DE = BF，∴四邊形EBFD是平行四邊形.

學法指導4：從特殊線的角度證明平行四邊形，需要根據“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明.

思考：你能類比上面的推理思路和過程，得到其他證法嗎？你認為哪種證明思路更簡捷？

分層作業

難度系數：★★★ 解題時間：4分鐘

四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，點E，F在AC上，且AE = CF，求證：四邊形DEBF為平行四邊形.（請同學們從多角度思考，答案略）

〔作者單位：遼寧省實驗中學（初中部）〕