中點(diǎn)加中點(diǎn) 構(gòu)造中位線

吳瓊

大連市第十九中學(xué)王洪宇老師的直播課《三角形中位線的構(gòu)造》選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺(tái)“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科周末名師公益課堂”，旨在貫徹落實(shí)國(guó)家“雙減”政策，幫助廣大師生自主學(xué)習(xí)和個(gè)性化提升。

觀摩了王洪宇老師的直播課，我深受啟發(fā). 三角形的中位線定理在幾何證明、線段求值、角度分析等方面應(yīng)用廣泛. 在一些幾何圖形中，有時(shí)雖有中點(diǎn)卻無(wú)三角形的中位線，這時(shí)就要深入挖掘隱含條件，適當(dāng)添加輔助線，以便構(gòu)造中位線求解.

模型構(gòu)建

例 如圖1，在△ABC中，AB = AC，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連接BE，DE，∠ADE = ∠AED，點(diǎn)F，G，H分別為BE，DE，BC的中點(diǎn). 求證：FG = FH.

解析：∵∠ADE = ∠AED，∴AD = AE.

∵AB = AC，∴AB - AD = AC - AE，即BD = CE.

∵點(diǎn)F，G，H分別為BE，DE，BC的中點(diǎn)，

∴FG，F(xiàn)H分別是△EDB，△BCE的中位線，

∴FG =? [12]BD，F(xiàn)H = [12]CE，∴FG = FH.

反思：遇中點(diǎn)找中點(diǎn)，構(gòu)建中位線. 取兩個(gè)三角形中一條公共邊的中點(diǎn)，可將兩個(gè)分散的中點(diǎn)構(gòu)建成兩個(gè)有聯(lián)系的三角形的中位線，再利用中位線的平行和相等關(guān)系，解決要證的問(wèn)題.

變式：改變模型中兩條相等線段的位置，產(chǎn)生圖形變式. 如圖2， AB = CD ，F(xiàn)，E，P分別為BD，AC，BC的中點(diǎn)，可得PE = PF.

模型應(yīng)用

如圖3，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點(diǎn)O，AB = CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接EF，分別交DC，AB于點(diǎn)M，N，判斷△OMN的形狀，并說(shuō)明理由.

解析：如圖4，取BD的中點(diǎn)P，連接PE，PF，

∵點(diǎn)E，F(xiàn)，P分別是BC，AD，BD的中點(diǎn)，

∴PE[?]CD，PE = [12]CD，PF[?]AB，PF = [12]AB，

∴∠PEF = ∠OMN，∠PFE = ∠ONM.

∵AB = CD，∴PF = PE，∴∠PEF = ∠PFE，

∴∠OMN = ∠ONM，∴OM = ON，

∴△OMN是等腰三角形.

變式演練

如圖5，在△ABC中，AC > AB，點(diǎn)D在AC上，AB = CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若∠EFC = 60°，連接GD，判斷△AGD的形狀，并說(shuō)明理由.

解析：如圖6，連接BD，取BD的中點(diǎn)H，連接HF，HE，

∵F是AD的中點(diǎn)，∴HF[?]AB，HF = [12]AB.

同理可得HE[?]CD，HE = [12]CD，∴∠EFC = ∠HEF.

∵AB = CD，∴HF = HE，∴∠1 = ∠HFE.

∵∠EFC = 60°，∴∠HEF = 60°，∴△HEF是等邊三角形，

∴∠HEF = ∠HFE = 60°，∴∠1 = ∠EFC = ∠AFG = 60°，∴△AGF是等邊三角形.

∵AF = FD，∴GF = FD，∴∠FGD = ∠FDG = 30°，∴∠AGD = 90°，

∴△AGD是直角三角形.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：5分鐘

如圖7，在△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CA至E，使AE = BC，連接BE，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，連接FD并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G. （1）求證：CD = CG；（2）若∠ACB = 60°，BC = 6，求FD的長(zhǎng). （答案見第33頁(yè)）

（作者單位：大連市第三十七中學(xué)）