怎樣用坐標(biāo)法求曲線的軌跡方程

呂繼君

我們知道，曲線與方程的關(guān)系為：曲線上任意一 點的坐標(biāo)都滿足曲線的方程，以方程的解為坐標(biāo)的點 都在曲線上.用坐標(biāo)法求曲線的軌跡方程，只需將數(shù)形 結(jié)合起來，將曲線問題轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)的問題，求滿 足曲線上任意一點坐標(biāo)的方程.下面結(jié)合實例來進(jìn)行 探討.

一、用坐標(biāo)法求曲線的普通方程

用坐標(biāo)法求曲線的普通方程的一般步驟為：（1）建立合適的平面直角坐標(biāo)系；（2）設(shè)出動點的坐標(biāo)，并建立等量關(guān)系；（3）將點的坐標(biāo)代入等量關(guān)系式中，并將其化為最簡方程；（4）檢驗所得的方程，并將不符合條件的點去除.解題的關(guān)鍵是找到滿足動點的等量關(guān)系.

例1.

解：

由于無法判斷出圓心 P 的軌跡，不能用待定系數(shù)法求方程，只能用坐標(biāo)法，根據(jù)關(guān)于點 P 的等量關(guān)系PA =PD =r ，建立關(guān)于動點坐標(biāo)（x，y）的方程，即可求得曲線的普通方程.

例2.

解：

由于曲線 C1 的方程是參數(shù)方程，所以可以嘗試用 坐標(biāo)法求曲線 C2 的軌跡方程.先設(shè)出P、M點的坐標(biāo)； 然后根據(jù)點 P 和點 M 的關(guān)系：OP = 2 ?OM ，列出關(guān)于 動點P的坐標(biāo)的方程，化簡該方程即可解題.

二、用坐標(biāo)法求曲線的極坐標(biāo)方程

用坐標(biāo)法求曲線的極坐標(biāo)方程，可以先求出其軌 跡的普通方程，然后再將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程，但這 樣做的計算量較大.我們還可以嘗試，先建立極坐標(biāo)系， 即以某一點為極點，其中一條直線為極軸；然后將各個 點用極坐標(biāo)表示出來，并求得動點的極坐標(biāo)或方程.

例3

解：

P 的極坐標(biāo)為 （ρ，θ） ，其中涉及了長度和角度，通 常都要構(gòu)……