靈活運用構造函數法，提升證明不等式的效率

吳謙

構造函數法是解答高中數學問題的一種常用方法，即通過構造函數，將問題轉化為函數的最值或單調性問題來求解.構造函數法常用于求參數的取值范圍、證明不等式、比較函數式的大小等.本文主要談一談運用構造函數法證明不等式的三種思路，供大家參考.

一、通過作差構造函數

有些不等式左右兩邊的式子中含有多個單項式， 此時可將不等式左右兩邊的式子移項，通過作差，來構 造出函數，如將 f （x） > g（x） 化為 h（x） = f （x） - g（x） > 0 ， 將 f （x） < g（x） 化為 h（x） = f （x） - g（x） < 0 .求得函數 h（x） 在定義域內的最值，并使函數 h（x） 的最值恒大于（小 于）0，即可證明不等式成立.

例1.

證明：

目標不等式左右兩邊的式子較為復雜，于是將左 右兩邊的式子作差，構造出新函數 F（x） ；然后利用導 函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性， 求得函數 F（x） 在 x > 0 時的最小值，證明 F（x） > 0 ，即 可證明不等式.通過作差構造出函數，就可以將問題轉 化為函數最值問題，即可通過轉換解題的思路，順利 證明不等式.

例2

證明：

首先將要證明的不等式進行移項、作差，使所有 項都位于不等號的左邊；然后將變形后不等式左邊的 式子構造成函數式，探討在 x > 0 時函數的單調性以 及值域，即可證明不等式成立.

二、通過換元構造函數

有些不等式的結構較為復雜，其中含有根式、絕 對值、指數冪、對數式等，此時為了簡化不等式，需將 不等式中的某一部分式子進行換元，從而構造出新函 數.運用該思路證明不等式，需仔細分析已知條件和不 等式的結構特點，選取合適的代數式進行換元.同時， 在換元的過程中，要注意新舊元取值范圍的等價性.

例3