巧用直線的斜率公式解三類題

張淼

若 A（x1，y1）、B（x2，y2），則直線AB的斜率為 k = y2 - y1 x2 - x1 ， 該式即為直線的斜率公式.直線的斜率公式的應用比 較廣泛，不僅可以用于求直線的斜率和傾斜角，還可 以用于求圓錐曲線中點弦的方程、證明分式不等式、 求分式函數的最值.下面結合實例來進行探討.

一、求圓錐曲線中點弦的方程

圓錐曲線中點弦是指直線與圓錐曲線相交于兩點時，過這兩點所在弦的中點的直線.求圓錐曲線中點弦的方程，需先將兩個交點的坐標分別代入圓錐曲線的方程并作差；再根據中點坐標公式將差式化簡，得到只含有兩點的縱坐標之差、橫坐標之差的式子，這樣便可直接根據直線的斜率公式求得中點弦的斜率和方程.運用直線的斜率公式求圓錐曲線中點弦的方程，能有效地簡化運算，大大提升解題的正確率.

例1.

解：

我們將兩交點的坐標分別代入拋物線和圓的方 程中，并作差，便可得到關于兩點橫縱坐標之和、差的 關系式，再結合中點的坐標公式和直線的斜率公式， 即可化未知為已知，順利求得弦的方程.

二、證明分式不等式

有些分式不等式的結構較為特殊，單憑觀察或計 算并不能證明不等式，此時可以將分子、分母視為兩 點橫縱坐標之差的關系式，將分式看作某條直線的斜 率，通過比較直線斜率的大小來證明不等式.

例2

證明：

通過觀察，可以發現所要證明的式子與直線斜率 的公式相似，于是構造出直線，運用斜率和傾斜角之 間的關系來證明不等式.證明分……