例談證明不等式的三種常用方法

周維成

不等式證明問題的考查方式很多，常與函數(shù)、導數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)、向量等知識相結合，其解法各不相同，常見的有比較法、放縮法、綜合法、反證法等.在證明不等式時，若能選用合適的方法，就能起到事半功倍的效果.本文主要介紹證明不等式的三種常用方法.

一、比較法

比較法是證明不等式的基本方法， 主要包括作差比較法和作商比較法.運用比較法證明不等式，需將不等式左右兩邊的式子作差或作商，然后將所得的差與0比較，所得的商與1比較.一般地，若不等式兩側的式子是多個單項式的和或差，常用作差比較法；若不等式兩側的式子是乘積形式或冪指數(shù)式，常用作商比較法.

觀察這個不等式，可發(fā)現(xiàn)該不等式是一個與自然數(shù) n 有關的數(shù)列不等式，于是先根據(jù)2n ≥ n + k> n ，得到 ≤ < ，分別令n=1，2，3，…，n；然后將這些式子累加，根據(jù)不等式的可加性，通過放縮證明不等式.

證明不等式問題，需要仔細分析題目中所給的已知條件和所要證明的結論，細心思考，甄別其中的差異，針對不同的問題找到適合的方法，熟練掌握并靈活運用比較法、分析法、放縮法等，來提高解題的效率.

（作者單位：安徽省廬江第二中學）