算法與數學

人類發明計算機，最初就是用來計算的，代替人來進行復雜煩瑣和耗時的運算。

為了讓計算機能夠明白人想要什么、具備什么條件，就需要按照一定的規則為計算機提供計算的參數。漸漸地，人們發現很多問題都能抽象為數學問題讓計算機通過運算來解決。例如，人們需要計算機在屏幕上顯示出文字，就需要計算出這些文字的點陣信息；需要在屏幕上顯示一幅畫，就需要計算每個像素點的顏色信息，以及如何用三原色來組合得到；需要在屏幕上顯示動態變化的畫面，就需要計算每個像素點的顏色變化，以及如何更節省地處理沒有變化的像素；需要顯示三維圖形，就需要計算和生成用來構成曲面的三角形……

可以說，所有的信息處理，對計算機而言都是運算，無論是文字處理還是圖像處理，無論是視頻動畫還是交互操作，無論是視聽娛樂還是數據分析，一切的一切，所有的人機交互過程，都是計算。

在信息世界中，一切皆是計算。所以，計算機的算力尤其重要，它從根本上決定了信息處理的速度和效率，因而人們對計算能力和速度的追求也就永無止境，計算機的運算能力在摩爾定律的推動下不斷迭代更新。然而，解決問題的最終效率，還取決于解決問題的方法，也就是算法。算法是解決某類問題的統一范式，代表著用系統的方法描述解決問題的策略機制。算法的好壞，無疑會影響計算的結果，尤其是在大量數據的處理方面，先進的算法可以節省大量的資源，這是一個不斷優化的過程。而有沒有相關的算法實現，更是決定了有沒有可能解決某一個問題。

于是，用計算機解決現實問題，就成為算法的本質任務。而算法是基于數學和邏輯的，沒有數學，也就沒有算法。邏輯也可看作是哲學層面的數學。數學理論的發展和突破，常常能直接應用在最新的算法之中。

我們從最簡單的排序問題開始，實現排序的算法很多，如選擇排序、冒泡排序等；然后再看查找問題，相應的算法有順序查找、折半查找等；接下來再看動態規劃和線性回歸，算法正漸漸成為為程序而生的算法，需要依賴程序結構和數據結構了。回到當前計算機發展的巔峰——人工智能，其涉及的算法已經非常復雜，隨機森林、蒙特卡洛等眾多的算法來自概率論、統計學、逼近論、凸分析等各方面的研究成果，并且圍繞人工智能的核心機器學習來推進。這時候的算法，幾乎就是數學，數學是算法賴以形成的基礎。

以當前熱議中的ChatGPT為例，作為基于Transformer架構的生成式預訓練語言模型，ChatGTP可以生成高質量的自然語言文本。ChatGTP主要是針對生成任務進行了優化，它似乎能“聽懂”自然語言中對數學函數的描述，不僅能生成一般的知識性回答，還能生成專業論文甚至程序代碼。谷歌工程主管Matt Welsh表示，ChatGPT和GitHub Copilot預示著編程終結的開始，生成式AI將在3年內終結編程。而ChatGPT驚艷表現背后的數學原理，正是基于“逆向概率”的貝葉斯公式。表面上看來，貝葉斯方法建立在主觀經驗判斷基礎上，根據客觀事實不斷修正來分析事物本質，似乎與經典統計學相悖，但是其算法威力卻是驚人的。在我們認識事物不全面的情況下，貝葉斯方法是一種非常理性且科學的方法，而這正好適合聊天機器人的進化過程，也使得它超凡脫俗般地快速成長。

在信息世界中，算法決定著命運。而數學，則決定并引導了算法。