EODAS彈道導彈預警能力仿真研究

王 亮，童忠誠，吳 俊

(國防科技大學 電子對抗學院， 合肥 230037)

1 引言

光電分布式孔徑系統(electro-optical distributed aperture system，EODAS)是F-35戰機的重要任務系統，具備彈道導彈預警能力[1-3]。美軍于2010年11月完成對800英里外亞軌道衛星發射過程的探測、識別、跟蹤，2018年完成對“民兵”洲際戰略導彈的預警，探測距離達到1 600 km[4-6]。美軍已經將F-35戰機納入其導彈預警體系中，對我導彈突防帶來新的威脅。

國內的研究主要集中在制空作戰、對地攻擊中EODAS的作戰能力[7-8]，對其導彈預警能力鮮有報道。因此開展EODAS對彈道導彈的預警能力研究，為提出針對性的對抗措施提供依據，對提高彈道導彈突防能力具有重要意義。

2 彈道導彈動力學模型

2.1 助推加速度

以某單級固體發動機彈道導彈為對象來建立其動力學模型。設彈頭質量為WPay，燃料質量為WFu和燃料艙質量為WCan，助推段燃料質量的減少率為常量，助推時間為tBurn，助推器比推力為Isp，則t時刻助推段推力加速度大小為：

(1)

2.2 氣動阻力加速度

氣動阻力加速度的方向與彈道導彈速度方向相反，它的大小為[9]：

(2)

式中：v(t)為導彈在t時刻的速度大小；h(t)為導彈在t時刻的水平高度；β為彈道系數；ρ(h)為空氣密度，它是高度h的函數。

ρ(h)=ρ0e-kh

(3)

式中：k為常數。

2.3 運動方程

在地面坐標系中建立彈道導彈質心移動方程[10]：

(4)

式中，導彈在自由飛行段時aT(t)取0，當導彈位于大氣層外時aD(t)取0。

3 彈道仿真算例與分析

根據上述模型進行了彈道仿真，結果如圖1—圖3所示。仿真時WPay取2 800 kg、WFu取10 000 kg、WCan取2 200 kg、Isp取300、tBurn取65 s,β取6 116，導彈高仰角發射。

圖1 射程隨飛行時間變化曲線

圖2 飛行高度隨飛行時間變化曲線

由圖1中可知，該導彈飛行時間為517 s，射程800 km。由圖2可知，導彈最大飛行高度為280 km，在發動機關機時高度為58 792 m，高度為85 000 m時飛行了78 s。

從圖3中可以看到，在發動機關機時速度達到7.89Ma，在擊中目標時速度達到最大，為8.46Ma。

圖3 飛行速度隨飛行時間變化曲線

4 紅外輻射模型

導彈的紅外輻射包括尾焰紅外輻射、尾噴管口紅外輻射和氣動加熱的蒙皮紅外輻射。在助推段EODAS探測不到尾噴管口，因此下面不討論。在自由飛行段導彈的紅外輻射只考慮彈頭蒙皮的紅外輻射。

4.1 尾焰紅外輻射模型

尾焰可分為穩定區和混合區，如圖4所示[11]。穩定區內溫度恒定。穩定區向外直至尾焰邊界為混合區，溫度逐漸下降。設尾噴口直徑為DP，混合區尾焰最寬處直徑為Dw，穩定區的長為L1，尾噴口到混合區最寬處的長度為L2。可將穩定區看為長軸為L1，短軸為DP/2的半個長軸橢圓體，混合區看為長軸為L2+L0，短軸為Dw/2的長軸橢圓體。圖4中L0為：

(5)

圖4 尾焰紅外輻射模型

4.1.1尾焰溫度

1) 穩定區溫度

穩定區溫度為尾焰在尾噴口處的溫度。尾焰在尾噴口處的溫度與尾噴口的溫度有關，計算公式為[12]：

(6)

式中：T2為尾焰在尾噴口處溫度；T1為尾噴口溫度；P2為膨脹后的氣體壓力；P1為尾噴口內的氣體壓力；γ為氣體的定壓熱容量和定容熱容量之比。

2) 混合區溫度

將混合區劃分成若干個離心率相同的長軸橢圓體，如圖5中的a1、a2…an。設a1、a2…an表面積分別為S1、S2…Sn，且認為橢圓體表面上溫度相同，分別為T1、T2…Tn。a1、a2…an都不是完整的長軸橢圓體，需補充完整，如圖中點狀虛線所示。對于a1、a2…an，補全部分不完全一樣，但其表面積相差不多。

圖5 尾焰混合區紅外輻射模型

設第n個長軸橢圓體表面距噴口的最遠距離為ln，則其短軸Dn和表面積Sn為：

(7)

補全部分的表面積S′為：

(8)

穩定區的表面積A0為：

(9)

設a1與穩定區的溫差為ΔT，an與an-1的溫差為ΔTn，則有：

(10)

式中:Tn為第n個長軸橢圓體表面溫度。

4.1.2尾焰輻射面積

穩定區在視線方向上的投影面積為：

(11)

第n個長軸橢圓體在視線方向上的投影面積An為：

(12)

式中:θ為視線和輻射面法線的夾角。

4.1.3尾焰輻射亮度

尾焰可以認為是具有一定發射率的灰體，因此穩定區或第n個長軸橢圓體輻射面的光譜輻射亮度可表示為：

(13)

式中：ε為尾焰的發射率；M(λ,Tn)為普朗克定律。

4.2 蒙皮紅外輻射模型

4.2.1蒙皮溫度

1) 大氣層內

在大氣層內蒙皮的溫度可用下式計算[13]：

Ts=Ta(1+0.164V2)

(14)

式中:Ts為蒙皮溫度；Ta為周圍大氣的溫度；V為目標飛行的速度。但當蒙皮溫度達到一定程度后，導彈的燒蝕層開始燒蝕，則蒙皮的溫度為[14]：

Ts=Th+k·(T0(1+0.164V2)-Th)

(15)

式中：Th為燒蝕層開始燒蝕的溫度，k與燒蝕層的材料和燒蝕速度有關的系數。

2) 大氣層外

在大氣層外，導彈與周圍環境存在熱交換，包括自身輻射、太陽輻照和地面輻照等。一般來說在大氣層外，導彈蒙皮溫度隨飛行時間逐漸下降直至熱平衡。對于全日照彈道，蒙皮溫度可由式(16)計算[15]。

式(16)中,ta和Ta分別為導彈飛出大氣層時的時間和蒙皮溫度，t1至t7對應蒙皮溫度分布下降為1 273.15、1 173.15、1 073.15、973.15、873.15、773.15、673.15 K時的時間。需要指出的是(16)式是根據蒙皮在大氣層外熱傳導偏微分方程計算數據擬合的結果。

(16)

4.2.2蒙皮輻射面積

1) 燃料艙蒙皮輻射面積

設燃料艙長為LF，導彈直徑為D，則燃料艙蒙皮在視線方向上的投影面積AF為：

AF=LF·Dcosθ

(17)

當導彈拋棄燃料艙AF取0。

2) 彈頭蒙皮輻射面積

設彈頭為錐體，彈頭長為LB，則彈頭蒙皮在視線方向上的投影面積AB為：

(18)

蒙皮一般被認為是具有一定發射率的灰體，因此可由式(13)、(17)和(18)計算蒙皮的光譜輻射亮度，其中式(16)ε取蒙皮的發射率。

5 紅外輻射仿真算例與分析

根據上述模型進行了導彈紅外輻射仿真，結果如圖6—圖9所示。仿真時DP取0.8 m、Dw取2.8 m、L1取6 m、L2取18 m、T1取958 K、γ取1.3、P2/P1取0.5、Th取1 473 K、k取0.1。D取1.2 m、LF取13 m、LB取6 m、尾焰的ε取0.85。蒙皮的ε取0.65。

5.1 尾焰紅外輻射亮度

由圖6可知，混合區沿軸向溫度逐漸下降。另外尾焰紅外輻射只在助推段存在，且紅外輻射亮度變化不大，如圖7所示。

圖6 混合區軸向溫度分布曲線

圖7 尾焰紅外輻射亮度隨飛行時間變化曲線

5.2 蒙皮紅外輻射亮度

5.2.1蒙皮溫度

在整個飛行過程中，蒙皮溫度如圖8所示。

圖8 蒙皮溫度隨飛行時間變化曲線

由圖8可知：

1) 在助推段，導彈處于大氣層內，隨著速度的增加，蒙皮的溫度急劇增加，在65 s時速度和溫度達到最大值。在該過程中，當蒙皮溫度達到1 473 K后(飛行時間44 s)，由于燒蝕層燒蝕帶走部分熱量，溫度上升速度與之前相比有所減緩。

2) 在自由飛行段初始階段，飛行時間在65～78 s，導彈仍處在大氣層內，由于空氣阻力使導彈速度減小，再加上燒蝕層燒蝕，導彈溫度下降較快。78 s后，由于蒙皮溫度很高，導彈自身輻射帶走的熱量遠超過太陽輻照增加的熱量，蒙皮溫度仍保持快速下降趨勢。但隨著蒙皮與環境溫差的減小，下降速度越來越慢。

3) 當進入自由飛行段，由于彈頭速度很大，氣動加熱使蒙皮溫度發生躍升。

5.2.2蒙皮紅外輻射亮度

蒙皮的紅外輻射亮度與蒙皮的溫度和蒙皮的輻射面積相關，其變化趨勢與溫度變化相似。由圖9可知紅外輻射亮度在飛行時間65 s時有一個階梯式下降，其原因是在助推段結束時，導彈拋棄了燃料艙蒙皮面積減小的緣故。

圖9 蒙皮紅外輻射亮度隨飛行時間變化曲線

比較圖7和圖9可知在助推段初段，由于導彈速度較小，氣動加熱的蒙皮紅外輻射也小，尾焰紅外輻射占據主要地位，但隨著速度增大，蒙皮紅外輻射也迅速增大，蒙皮的紅外輻射會超過尾焰的紅外輻射。

5.3 導彈紅外輻射亮度

由圖7和圖9可知，在助推段大部分時間內蒙皮紅外輻射比尾焰紅外輻射高1個數量級，因此導彈的紅外輻射亮度與蒙皮的紅外輻射亮度很相似，如圖10所示。

圖10 導彈紅外輻射亮度隨飛行時間變化曲線

6 EODAS導彈預警模型

6.1 紅外系統探測模型

紅外系統探測目標的SNR由下式求得[16-17]：

(19)

式中：J(λ)為目標光譜輻射亮度；τ(λ)為大氣透過率；A0為紅外系統光學窗口的面積；τ0為紅外光學系統窗口至探測器間的光譜透過率；D*為探測器歸一化的探測度；Ad為探測器的面積；Δf為等效噪聲帶寬；R為目標到紅外系統的距離。

6.2 紅外大氣傳輸模型

不考慮氣象條件(雨、雪)的衰減，紅外輻射大氣透過率為：

τ(λ)=τ1(λ)·τ2(λ)·τ3(λ)·τ4(λ)

(20)

τ1(λ)、τ2(λ)、τ3(λ)和τ4(λ)分別為H2O吸收、CO2分子吸收、O3分子吸收和大氣中分子、氣溶膠、微粒的散射的大氣光譜透過率[18-20]。

6.2.1水汽的吸收

水汽的含量隨海拔高度和氣象條件的變化比較明顯，水汽的含量采用可降水分φ表示：

φ=0·D·Hr

(21)

式中：D為水平傳輸距離；Hr為相對濕度；φ0表示在一定溫度下，空氣相對濕度為100%時每千米(海平面水平路程)大氣中可降水分，已知溫度時可通過查表得到。求出φ后就可以根據光譜透過率表得到海平面不同水蒸氣含量對應的大氣平均透過率。

考慮大氣傳輸分為水平傳輸和傾斜傳輸2種情況，式(21)修正為：

(22)

式中：φe為修正后的可降水分；α為常數；H為水平傳輸高度；H1為探測系統高度；H2為目標高度；θ為天頂角。

6.2.2CO2的吸收

CO2在大氣中的含量相對穩定，由CO2造成的輻射衰減可認為與氣象條件無關，則CO2的吸收采用等效傳輸距離來表示。

(23)

式中：De為修正后的等效距離，β為常數。CO2的大氣平均透過率可以根據光譜透過率表查出。

6.2.3O3的吸收

臭氧在3～5 μm和8～14 μm波段內主要有4.75 μm和9.6 μm吸收帶。在低空由于臭氧濃度很低通常可忽略其吸收。隨著高度的增加，在5～10 km處開始慢慢增加，而后增加較快，在10～30 km處含量達到最大值。再往上濃度又重新減小，到40～50 km含量幾乎為0[21]。可見從海平面到O3濃度最大值的處，O3吸收的衰減作用與水汽和CO2相反。從濃度最大值處到大氣層外，O3吸收的衰減作用與水汽和CO2相同。

在水平面上臭氧的濃度約為億分之三，所以在海平面16 km的水平路程上，才勉強探測到臭氧9.6 μm的吸收帶。因此需用MODTRAN軟件計算O3濃度最大值的處的光譜透過率，再根據Elterman模型，構建類似式(23)的公式來計算等效傳輸距離。

(24)

式中:γ為常數;H0為O3濃度最大時的高度。由于觀察條件的不同測得的臭氧含量隨高度的分布也是不一致的，因此γ的值要根據臭氧高度分布曲線來計算。

6.2.4大氣的散射

大氣的散射衰減采用氣象能見度來描述。

(25)

式中:μ(λ)為大氣散射系數;Vm為大氣能見度;q為修正因子。

(26)

則大氣散射造成的透過率為：

τ4(λ)=e-μ(λ)·D

(27)

6.3 大氣中的傳輸距離

設紅外輻射從O點開始傳輸，傳輸距離為S，O點距地面為h1，大氣中間層頂距地面為h2，如圖11所示。圖中S大于h2-h1。由圖11可知,此時傳輸方向從OA變化至90°時，有部分傳輸路徑在大氣中間層外。由于大氣中間層頂外大氣濃度特別稀薄，對紅外輻射的衰減可以忽略。因此紅外輻射在大氣中的傳輸距離為：

(28)

式中:θ為天頂角。

圖11 紅外輻射傳輸方向圖

7 導彈預警算例與分析

7.1 光學窗口上的紅外輻射功率密度

設EODAS載機位于導彈落點上方10 000 m處，根據紅外輻射大氣傳輸模型得到EODAS光學窗口上的紅外輻射功率密度如圖12所示。計算時地面溫度取300 K，濕度為20%，大氣能見度為15 km。

圖12 光學窗口上的紅外輻射功率密度 隨飛行時間變化曲線

可見EODAS光學窗口上的紅外輻射功率密度隨著導彈與EODAS距離的縮短基本上保持著持續增加的態勢。由圖12可知：

1) 在助推段彈道導彈的紅外輻射雖然很強，但由于其距EODAS載機很遠，再加上紅外輻射完全在大氣層中傳輸，大氣吸收特別強，導致EODAS光學窗口上的紅外輻射功率密度仍然很小。

2) 在自由飛行段初始段，飛行時間為65～100 s時，導彈的紅外輻射雖比助推段小，但仍然較強，同樣由于距EODAS載機相對較遠和主要在大氣層中傳輸，EODAS光學窗口上紅外輻射功能密度雖有所增加但仍然很小。

3) 在自由飛行段后半段，雖然導彈的紅外輻射已經變小，但此時距EODAS載機相對較近且在大氣層中傳輸距離較短，EODAS光學窗口上的紅外輻射功率密度卻能急劇上升。

4) 在再入段，由于彈頭的紅外輻射很強、距EODAS載機很近和在大氣層中傳輸距離很短，EODAS光學窗口上的紅外輻射功率密度發生躍升變化。

7.2 EODAS輸出的信噪比

由EODAS紅外探測模型，得到其輸出的信噪比(SNR)如圖13所示。計算時A0取0.2 m，D*取6×1012cm·Hz1/2·W-1，τ0取0.9，Ad取25 μm×25 μm，Δf取700。

由圖13可知，如果EODAS探測閾值SNR取3.78(5.8 dB)[22]，此時彈道導彈距EODAS載機水平距離約為342 km，彈道導彈飛行了310 s，EODAS可提供預警時間為207 s。

圖13 EODAS信噪比隨飛行時間變化曲線

顯然當EODAS前伸部署時會增加預警時間，為此計算了不同前伸距離時EODAS的預警時間，如圖14所示。

圖14 預警時間隨前伸部署距離變化曲線

由圖14可知，當前伸距離小于400 km時，預警時間隨著前伸距離的增加基本呈線性增加。前伸部署距離在400～500 km變化時，預警時間雖隨著距離的增加有所增加，但增加的速度很慢。當前伸距離在500 km附近時，預警時間會再現躍升式的增加。前伸距離大于503.5 km后，預警時間不再增加。因此可將EODAS載機前伸部署400 km，預警時間可達470 s，基本實現了導彈的全程預警。

8 結論

本文中根據射流流場理論建立了一種導彈尾焰紅外輻射的橢圓體模型，并根據Elterman臭氧分布模型在紅外輻射大氣傳輸模型中增加了臭氧吸收衰減。在此基礎上，利用固體彈道導彈動力學模型仿真了EODAS彈道導彈預警過程。研究表明EODAS具備很強的彈道導彈預警能力，給戰術彈道導彈突防帶來了新的挑戰。因此在面對F-35構建的導彈預警體系時，一方面需要發展新的電子對抗手段，削弱EODAS導彈預警能力，另一方面在制空和防空作戰中，通過奪取制空權，迫使F-35戰機后撤，從而提高彈道導彈的突防概率。