基于擾動法的抗退化數字混沌系統研究

趙 耿，張森民，馬英杰

(北京電子科技學院，北京 100071)

1 引言

混沌具有十分豐富的動力學特性，近年來受到了國內外學者的廣泛研究，也在多個領域得到了應用。因為混沌的特性和密碼學的安全要求有許多相似點，如混沌具備初值條件敏感性、不可預測性、遍歷性等特點，與密碼學所要求的混亂性、擴散性和密鑰不可預測性相似，所以將混沌運用于密碼學具有十分廣闊的前景[1-2]。然而混沌系統一旦運用在計算機等有限精度的設備上時，會發生動力學性能的退化現象。原來具有的遍歷性、不可預測性均不復存在，取而代之的是系統的數據值只能取在有限范圍內，數據會進入周期循環軌道或不動點。這種退化行為導致基于混沌系統構建的密碼體制存在安全風險。所以數字混沌系統的退化行為是混沌密碼走向實際使用的一大障礙，也是亟需解決的問題之一[3-6]。

近些年針對數字混沌系統的退化問題，國內外主要有以下五種抗退化的方法[7-9]：①提高精度法，依靠提高計算機的精度會加大計算成本，并且退化現象依然存在；②級聯法：將兩個或兩個以上的混沌系統先后級聯在一起，上一系統的輸出作下一個系統的輸入；③切換法：切換使用多個混沌系統，也可切換單一混沌系統的不同初始狀態；④擾動法：構造擾動函數，對混沌系統迭代過程進行一定的干預控制；⑤誤差補償法：在數字混沌系統的每一次迭代中都引入一個誤差補償值，該值來自于系統本身。擾動法能有效地改善混沌系統在有限精度條件下動力學性能的退化問題，該方法的基本思想是，使用某些系統作擾動源，利用其生成的序列，來對數字混沌系統的迭代過程進行擾動。Liu等人[10]使用可變函數來替代狀態變量；Chen等人[11]提出了一種基于偽隨機序列的動態攝動-反饋混合控制方法；Lahcene Merah等人[12]提出了一種不需要外部發生器對混沌軌道進行擾動的的新擾動方法，具有自攝動機制；Jun等人[13]提出了一種在有限計算精度范圍內構造高維數字混沌系統的新方法；Cao等人[14]提出了一種基于帳篷映射Lyapunov指數的擾動方案；Liu等人[15]提出了一種同時擾動輸入和控制參數的方法。上述方法均使得混沌周期得以延長，取得了較好的抗退化效果。

擾動法的擾動源一般包含偽隨機序列、數字混沌系統和模擬混沌系統，利用偽隨機序列或數字混沌系統做擾動源，會導致擾動信號不均勻分布，從而使系統容易受到非線性預測技術攻擊。模擬混沌系統具有更復雜的相空間分布，許多學者將模擬-數字混合的方法用于解決數字混沌系統的動態退化問題[9，15]。擾動法的擾動對象一般有系統的參數、輸入和輸出，對數字系統的控制參數進行擾動能使軌道周期變長，但是不能使數據的非均勻分布得到有效改善，擾動其輸入或輸出可以使數據分布得更加均勻。因此，本文結合單獨擾動某一對象的優勢，首次提出對一維Chebyshev混沌系統的全部擾動對象進行擾動的方法，使Chebyshev映射表達式的每一個部分都被擾動源所影響。同時，利用模擬的三維Lorenz混沌系統生成三個擾動函數，用單一擾動源完成對三個對象的擾動。一定意義上，該方法通過擾動法構建了一個融合的混沌系統，不僅有效地延長了數字混沌系統的周期，使數據分布情況比模擬狀態更好；還大大提升了密鑰空間，具備運用到其它系統的通用性，可以說具有廣闊的研究前景。

2 退化問題及混沌映射分析

2.1 數字混沌系統的退化原因

模擬混沌系統具備良好的動力學特性，如初值敏感性、不可預測性和遍歷性等特點。在計算機等數字器件上實現混沌系統時，由于計算精度總是有限的，混沌系統的迭代值只能取到有限精度范圍，關于數字混沌系統的退化原因的數學描述如下

給定一個離散時間混沌系統的迭代方程

X(i+1)=F(X(i))

(1)

式中X(i)∈Ω?Rm是狀態向量。F：Ω→Rm是混沌系統的迭代函數。理論上，混沌系統的迭代值具有不可遍歷性，但是在P比特的有限精度設備上實現時，其所有的值都會被離散化，系統的數值軌道也會被限制在有限狀態集ΩL中

(2)

所以式(1)也將退化成如下數字混沌系統

X*(i+1)=F(X*(i))=BL°F(X*(i))

(3)

或

(4)

式中，BL：Ω→ΩL是量化函數，可看作每一次迭代前都對輸入值做了一次量化處理，并且在所有計算算法中有三種最常用的量化形式[15]：

1)floorL(x)=?x·2L」/2L，?x」表示不超過x的最大整數；

2)roundL(x)=round(x·2L)/2L，round(x)表示對x進行四舍五入取整；

3)ceilL(x)=「x·2L?/2L，「x?表示不小于x的最小整數，x是一個實數或向量。

2.2 混沌映射分析

本文所提方法是利用模擬Lorenz混沌映射來擾動一維數字Chebyshev映射，下面分別對兩個混沌映射進行分析。

2.1.2 Chebyshev混沌映射

Chebyshev混沌映射是目前較常用的混沌映射之一，輸出混沌序列狀態值的分布特性良好，而且狀態值之間的自相關性很低[14]，可選取作為受擾混沌系統。Chebyshev映射公式如下

X(i+1)=cos(β·cos-1X(i))

(5)

其中β為系統參數，X(i)和X(i+1)為第i次迭代的輸入和輸出值。β>2時系統呈現出混沌特性，圖1是系統參數為8，初值為0.25，迭代10000次的模擬Chebyshev混沌吸引子圖，模擬狀態下吸引子圖像類似于三角函數的波形，數值的取值范圍為[-1，1]。

圖1 Chebyshev混沌映射吸引子

Chebyshev映射的概率密度為

(6)

(7)

當Chebyshev映射產生無窮多狀態值時，其數學期望為0，表明在相空間分布上是穩定的平衡狀態，具有良好的性能[15]。

2.1.2 Lorenz混沌映射

Lorenz混沌系統的狀態方程為

(8)

在參數選取滿足條件σ=16，b=4，r=45.92時系統處于混沌狀態。

Lorenz系統原本是模擬的，但計算機無法處理模擬系統，所以需要將其進行離散化處理，如下采用Euler算法，取采樣時間T=0.002，得到方程如下

(9)

Lorenz系統的吸引子如圖2所示，x(i)的取值范圍為(-30，30)、y(i)的取值范圍為(-40，40.75)，z(i)的取值范圍為(0，72.14)，三個分量的取值范圍都很廣，因此可以用來用作擾動序列。

圖2 Lorenz混沌映射的吸引子

3 擾動策略

結合Chebyshev函數的特性和Lorenz函數的特性，提出擾動全部擾動對象的方法，擾動方案如圖3所示。

圖3 擾動方案流程圖

該方案的具體步驟為：

步驟1：先迭代Lorenz混沌映射，即對式(8)設置初值x(0)=1，y(0)=1，z(0)=1，系統參數設為σ=16，b=4，r=45.92，迭代1000次生成的三個混沌序列采樣，得到三個離散的混沌序列{x}，{y}，{z}。再對Chebyshev混沌映射，即式(5)也賦初值X(0)=0.25，系統參數β=8。

步驟2：構建擾動控制參數和輸入的表達式，具體方法為，將{x}序列用于構建擾動參數表達式，將{z}序列用于構建擾動輸入的表達式，擾動表達式如下所示

(10)

其中，Q(i)為擾動參數的變量，W(i)為擾動輸入的變量，mod(*，1)表示對括號內數值取模1運算。其中，擾動參數的變量Q(i)由改進前系統的輸入值X(i)與擾動序列{x}的值相加后模1處理，再加上常數值8得到；擾動輸入的變量W(i)只需要將輸入值X(i)與擾動序列{z}的值相加后模1處理。

接下來，再將準備好的擾動變量分別代入式(5)，用Q(i)替換參數β，W(i)替換輸入值X(i)。得到新的Chebyshev映射表達式

X(i+1)=cos[Q(i)arccos(W(i))]

(11)

步驟3：用{y}序列擾動Chebyshev函數的輸出，改進后系統完整的輸出表達式為

X′(i+1)=mod[X(i+1)+y(i)，-1]+

mod[X(i+1)+y(i)，1]

=mod[cos[W(i)arccos(Q(i))]+y(i)，-1]+

mod[cos[W(i)arccos(Q(i))]+y(i)，1]

(12)

利用上一步中的輸出值X(i+1)與擾動序列{y}的值相加，然后再分別對該值進行模1和-1的操作，最后將這兩個值相加得到擾動輸出的表達式。

步驟4：分析系統運用在計算機等有限精度設備上的情況，因為存在有限精度效應，所以每一步迭代都要考慮數據值的范圍。擾動表達式如式(13)，改進的Chebyshev映射表達式如式(14)，擾動輸出后系統表達式如式(15)

(13)

X(i+1)=BP{cos[W(i)arccos(Q(i))]}

(14)

X′(i+1)

=Bp[mod(X(i+1)+y(i)，-1)]

+BP[mod(X(i+1)+y(i)，1)]

=Bp{mod[Bp[cos[W(i)arccos(Q(i))]]+y(i)，-1]}

+Bp{mod[Bp[cos[W(i)arccos(Q(i))]]+y(i)，1]}

(15)

其中BP：Ω→ΩP是一個量化函數，如第2.1節所述，混沌系統的表達式可看作每一次迭代都對輸入值做了一次量化處理。因此，假設是P比特精度情況下，要在每一個混沌方程中引入量化函數。

此處三個分量{x}，{y}，{z}與擾動對象還可以任意進行組合，一共有6種排列組合方式，均能得到與本文類似的性能。因此，若系統應用在密碼學中，在不改變系統結構的情況下，還可以使系統的密鑰量得到擴展。

該方法融合了對系統參數的擾動、對系統輸入值的擾動和對系統輸出值的擾動，結合了以往單獨擾動某一對象所具備的優點。Chebyshev混沌映射的表達式的每一個部分都被Lorenz映射所影響，擾動源Lorenz映射無論初值還是分量的改變，都將使系統最終的輸出結果產生巨大改變。

4 性能對比與分析

4.1 抗退化效果

本節將分析改進系統在低有限精度情況下的抗退化效果，首先，設置系統的計算精度為8位，使表達式(5)和表達式(15)的初值和系統參數保持一致。然后，再對兩個系統迭代500次，分別記錄混沌軌跡圖。數字Chebyshev混沌系統的軌跡在迭代幾次后便退化為周期軌跡，如圖4；但使用本文改進的系統之后，短周期現象就消失了，軌跡圖在迭代500次以上仍然表現出雜亂無序的特征，如圖5。因此，本文改進的系統極大地延長了原系統的周期，抗退化效果十分明顯。

圖4 數字Chebyshev映射軌跡圖

圖5 本文改進系統的軌跡圖

4.2 初值敏感性

混沌系統具有的顯著特征之一便是初值敏感性，即對同一個混沌系統而言，兩個初始輸入值即使差別特別微小，在若干次迭代后，二者的軌跡也會變得完全不一樣。在這里，保持Lorenz映射的初值和系統參數不變，僅對Chebyshev映射的初值進行微小的改變，分別賦初值0.25和0.25000003。記錄下運動軌跡如圖6，大約在第10次迭代后，二者的軌跡變得完全不一樣，說明該混沌系統具備初值敏感性。

圖6 初值敏感性分析圖

4.3 近似熵

近似熵是用來衡量時間序列復雜度和穩定性的指標，近似熵的值越大，說明該序列越復雜，復雜程度也越穩定。圖7是對不同系統近似熵值進行的對比圖，橫軸表示計算精度，縱軸表示近似熵值。與改進前的系統對比，可以發現改進后的系統不僅大幅提高了數字Chebyshev系統的近似熵值，而且在低于24bit精度情況下也能維持在一個較高水平，因此，系統在精度較低的情況下依然具備實用性能。與近年來的擾動方法對比，本文改進系統的近似熵值幾乎都大于2，比文獻[10.14.15]中的近似熵值更高，說明本文改進方案生成的序列復雜程度更高。

圖7 近似熵對比分析圖

4.4 混沌吸引子

混沌吸引子是衡量混沌系統復雜度的指標之一，模擬混沌系統的吸引子呈連續性，數字混沌系統的吸引子呈點狀分布。數字混沌系統的吸引子分布得越隨機、越均勻，說明混雜效果越好。下面對不同系統迭代5000次的吸引子圖進行了對比，圖8(a)是模擬Chebyshev映射的吸引子圖；圖8(b)是在8bit精度情況下，數字Chebyshev映射的吸引子圖；圖8(c)是文獻[15]的吸引子圖；圖8(d)是本文提出的方法的吸引子圖。通過對比可以很明顯地看出，在低有限精度情況下，數字Chebyshev映射的吸引子僅分布在幾個固定的點上，文獻[15]的改進結果也有向四周聚集的情況，并不十分均勻，而本文的方案不僅大大改善了原始系統的吸引子的分布情況，還使其隨機地分布在數值空間內。隨著迭代次數的增加，吸引子依然具備均勻分布的特點，而且幾乎能分布所有數值點。

圖8 吸引子對比圖

4.5 頻率分布直方圖

圖9 頻率分布統計對比圖

頻率分布直方圖反映的是數值出現的頻率，統計結果越平均，則統計特性越好。下面在相同條件下對不同系統的頻率分布做了比較。圖9(a)是模擬Chebyshev映射輸出序列的頻率分布圖；圖9(b)是在8bit精度情況下數字Chebyshev映射的頻率分布圖；圖9(c)是文獻[15]方法改善后的頻率分布圖；圖9(d)是本文改進系統的頻率分布圖。通過對比，可以明顯看出低有限精度情況下的Chebyshev映射序列值只分布在個別數值上，其余值的頻率均為0；文獻[15]方法改善序列值的頻率分布在-1和1兩端出現的頻率值還比較大，而本文改進方案使所有值的出現頻率幾乎一致，比模擬狀態更加均勻。

4.6 自相關函數

自相關函數體現的是針對同一個序列，在一個時刻的值與另一時刻的值的相互關聯程度。圖10(a)是原始模擬系統的自相關圖；圖10(b)是8bit精度情況下數字Chebyshev映射的自相關圖；圖10(c)和(d)分別是文獻[15]的方法和本文方法的結果。可以發現低有限精度情況下的Chebyshev映射自相關性很強，輸出序列安全程度不高，而本文改進方案可以使數字Chebyshev混沌映射自相關性大幅降低，恢復其在模擬情況下的自相關特性。

圖10 自相關函數對比圖

5 總結

本文首次提出對數字Chebyshev混沌系統的全部擾動對象進行擾動的方法，使映射表達式的每一部分，包括控制參數、輸入和輸出，均與各自的擾動序列相關。同時，對改進系統的近似熵、吸引子和數據頻率分布等特性進行了對比分析，實驗結果表明，該方案能有效延緩數字Chebyshev混沌系統的退化，在低有限精度情況下不僅大大延長了周期，還使系統的動力學性能得到提高，在數值分布方面比模擬狀態下的性能更好。如果應用于密碼學中，該系統的三個擾動序列與擾動對象可以任意組合，能夠增大密鑰空間。此外，本文所提的擾動方案還具備三維混沌系統擾動一維數字混沌系統的通用性，使改進后的一維混沌系統具有較好的動力學特性，在低有限精度情況下依然適用，因此在混沌保密通信等領域具有潛在的應用價值。