基于內聚力模型的纖維復合材料細觀損傷模擬

紀懷旺，李增亮

(中國石油大學(華東)機電學院，山東 青島 266580)

1 引言

纖維增強復合材料因比模量高、比強度高、密度小等諸多優勢，在交通、建筑、航天等領域廣泛應用[1]。碳纖維作為常用纖維，具有強度高、重量輕、導熱快、耐疲勞的特點[2]；樹脂產量大、強度高、耐熱絕緣，是一種性能優異的非金屬基體材料[3]。碳纖維/樹脂綜合了兩種材料的優點，是一種有良好綜合性能的復合材料，被譽為21世紀最具生命力成型材料。

細觀力學是進行復合材料研究的一個重要手段。與宏觀分析相比，細觀分析不僅能簡化模型、節省計算資源，還能更精確的描述材料的損傷機理。代表性體積單元(RVE)是復合材料細觀尺度研究的重要工具[4]，其中幾何模型生成與邊界條件施加是兩個重要環節，常由專業軟件輔助完成，如Digimat、Fibersim等[5]。還有一種方法是有限元軟件二次開發，該法不僅能充分發揮有限元軟件的分析能力，而且靈活性更大。如文獻[6]用隨機序列吸附算法(RSA)生成了隨機顆粒模型；文獻[7]用背景網格對RSA進行改進，生成了不同直徑、高填充率隨機顆粒模型；基于ABAQUS開發的插件EasyPBC和Micromechanics Plugin能施加細觀分析的復雜邊界條件。

對RVE不同部分賦予不同的損傷屬性，便能對復合材料的細觀破壞行為進行分析。其中損傷屬性主要包括：纖維損傷、界面損傷和基體損傷，由于纖維拉伸強度遠大于界面和基體，所以在拉伸分析時常忽略纖維的損傷。文獻[8]用內聚力單元對單纖維橫向拉伸時的界面失效進行了研究，得到界面脫粘的變化規律；文獻[9]基于多顆粒隨機分布的炭黑/橡膠RVE研究了顆粒含量及團聚現象對界面損傷的影響；文獻[10]分別使用內聚力單元和單元刪除模擬界面損傷和基體損傷，研究了界面剛度、界面強度和界面斷裂能的影響；文獻[11]以砂/樹脂單胞為研究對象，使用內聚力行為和擴展有限元(XFEM)分別模擬了界面損傷和粘結橋損傷。

綜上所述，本文首先基于ABAQUS二次開發，通過編程實現了纖維復合材料細觀模型的快速生成，提高了建模效率。然后基于更能反映真實受力情況的纖維隨機分布的RVE，用內聚力模型(CZM)研究了界面損傷和基體損傷的破壞規律。其中，使用XFEM模擬基體損傷，由于該方法允許裂紋在網格中擴展，不需要像內聚力單元和單元刪除一樣通過精細的網格捕捉裂紋擴展路徑，故能顯著提高計算效率、節省計算時間。

2 RVE模型的建立

2.1 隨機模型生成

一般纖維在取向處理后，在基體中可看作徑向上均勻分布，并且與顆粒相比纖維長徑比很大，短纖維長徑比也在100～200間，故可將RVE簡化為二維平面應變模型。

圖1 隨機纖維二維代表性體積單元

由RSA實現纖維隨機分布可分為隨機數生成、約束條件和繪制纖維三步。首先定義初始化參數(纖維直徑d、纖維含量v和RVE邊長與纖維長徑比l/d)，然后利用Python中的random模塊隨機生成纖維圓心坐標。其中，坐標要滿足約束條件：纖維在邊界滿足周期性分布；為避免網格扭曲過大，纖維間距和纖維與邊界之間距離不能過小。

圓心坐標由程序循環生成，符合約束的存放到列表中，直到滿足設定的纖維含量或達到最大無效生成次數后跳出循環。最后由繪圖命令生成模型。

2.2 周期性邊界

周期性邊界條件(PBC)保證了分析部分與其在整體中分析時特性的一致，使分析結果準確可靠，因此應用廣泛[12]。該條件使用時應滿足變形協調和應力連續，其中應力連續在有限元法中自動滿足[13]，故只需由位移約束滿足變形協調。二維模型位移約束方程為

(1)

(2)

其中，uU、uD、uL、uR為矩形各邊除角點外任一點的位移；uUL、uUR、uDL、uDR為各角點位移。此邊界條件下，僅需在角點處施加位移載荷。軟件中編程時由Equation語句通過約束對應邊上的對應節點實現該邊界條件。

3 內聚力模型

內聚力是物質中分子或原子之間的相互作用力，這種作用關系能有效描述材料損傷與破壞。CZM由牽引分離定律(TSL)進行表達，常見的TSL形式有雙線性、線性、指數和梯形等[14]，如圖2。

圖2 不同形式的牽引分離定律

其中，t0為損傷起始應力；δ0為損傷起始位移；δ1為梯形模型實際損傷起始位移；δf為最大有效牽引位移；Gc為斷裂韌度(值為陰影面積)。

TSL由無損傷階段、損傷起始準則、損傷演化和失效準則構成，并可由內聚力單元和XFEM的實現。無損傷時，內聚力單元在不使用子程序時應力-應變僅能為線性，而XFEM此時由材料彈塑性本構控制，故其應力-應變曲線既能是線性，也能是非線性。

損傷起始準則由應力或應變表示，本文基體用最大主應力準則，界面用最大名義應力準則。損傷演化則由損傷因子D控制，其值在0～1間，0為無損傷，1為完全失效。演化方程[15]為

(3)

(4)

(5)

其中，δm為當前有效位移，G0為損傷演化前的斷裂韌度。

失效準則與損傷演化對應，由位移或能量確定。其中位移法需給定δf，能量法需給定Gc。當破壞形式比較復雜時，還需要定義混合模式。對于能量法常用混合模式有BK準則、Powerlaw準則等。其中，BK準則應用廣泛、簡單可靠，其表達式為：

(6)

4 擴展有限元

材料的不連續行為包括強不連續和弱不連續[16]。其中，強不連續指位移場不連續，如裂紋；弱不連續指應變場不連續，如夾雜、孔洞。

4.1 單位分解法

單位分解法(PUM)是XFEM的重要理論基礎，該方法實現了由局部精確近似達到整體精確近似。由PUM得對任意給定函數ψ(x)，在其求解域內都可表示為：

(7)

其中，I為求解域中交叉子域ΩI的編號；NI(x)為子域形函數，僅在對應子域內非零，且在整個求解域內滿足單位分解條件

(8)

4.2 水平集法

水平集法(LSM)是用于判斷界面位置和追蹤界面移動的數值技術。該方法由水平集函數實現，不連續界面通過零水平集表示，界面兩端的水平集函數符號相反。對于任意一個裂紋Γc(t)?R2由兩個水平集函數才能準確進行追蹤定位：

Γc(t)={x∈R2：φ(x，t)=0andγ(x，t)≤0}

(9)

其中，φ(x，t)為裂紋水平集函數；γ(x，t)為波前函數。裂紋的LSM具體表示方法如圖3。

圖3 裂紋的水平集函數表示方法

4.2 擴充函數構造

基于PUM和LSM，對傳統有限元形函數擴充得到擴充形函數，從而得XFEM的位移逼近方程一般形式

u(x)=ucon+udis

(10)

其中，ucon為連續部分位移場；udis為不連續部分位移場，兩者表達式分別為

(11)

(12)

(13)

5 數值模擬及分析

5.1 數值模型建立

為提高計算效率并保證模型精確性，l/d取4，d取0.02mm，生成纖維含量為29.5%的RVE。劃分網格時，基體和纖維采用CPE4單元，界面插入零厚度COH2D4單元。單元劃分完后為其賦予材料屬性，其中基體為環氧樹脂，拉伸破壞時為近似脆性[18]。因此，無損傷階段采用線彈性本構，損傷起始后采用圖2(b)的線性模型。基體材料參數見表1：

表1 環氧樹脂基體的材料參數[11]

纖維作為增強相，模量和強度遠高于基體，對整體性能起到重要影響作用。本文采用纖維材料為T300，分析時作為線彈性材料，其彈性模量為13.8GPa、泊松比為0.2[19]。界面強度是一個重要指標，本文在僅界面損傷和界面、基體同時損傷兩種條件下，通過改變界面強度大小分析其對材料性能的影響。其中，法向強度取樹脂基體強度的60%，80%，100%，切向強度取法向強度1.5倍，其余參數見表2。

表2 粘結界面材料參數[20]

賦予材料后施加PBC，再添加位移載荷：

(14)

其中，u為位移載荷。圖4為最終模型。

圖4 數值模型

5.2 界面損傷

僅界面損傷時，受到橫向拉伸載荷后，界面法線方向與位移載荷方向所夾銳角最小處最先失效，隨位移載荷增加，失效界面逐漸向垂直于位移載荷法線方向擴展。界面將基體與纖維粘合，當復合材料發生變形時，力由基體通過界面作用在纖維上，因此界面有傳遞力的作用。相同載荷條件下，傳遞到纖維的作用力越大，表明纖維承受載荷越高，對基體增強效果就越好。因此，纖維的應力變化能準確反映界面損傷的變化情況。圖5為僅有界面失效時纖維橫向平均應力-位移曲線，可得界面強度為60%的最大平均應力為15MPa，80%時為19MPa，100%時為23MPa。

圖5 不同界面強度下纖維平均應力

5.3 界面/基體損傷

考慮基體損傷時，XFEM可以捕捉到基體中的裂紋萌生、擴展如圖6，以及基體破壞與界面的相互作用，如圖7中的a處為基體裂紋引起的界面損傷。

圖6 界面/基體損傷 圖7 裂紋引起界面損傷

可得，基體中裂紋遇到纖維后引起界面損傷，這種“損傷轉移”將基體裂紋轉換為界面損傷，從而有效抑制了裂紋在基體中的“生長”。

圖8 相同位移不同界面強度下基體平均應力

圖8為不同界面強度時兩種不同條件下樹脂基體平均應力，僅考慮界面損傷時基體平均應力分別為13.6MPa、15.8MPa和18.1MPa，而同時考慮基體損傷時平均應力為13.1MPa、14.6MPa和15.7MPa。對比發現，無論何種損傷行為樹脂基體平均應力與界面強度均為正比關系，而同時考慮界面和基體損傷時，基體平均應力明顯下降，并且隨著界面強度的增加平均應力差值明顯擴大。為表明基體損傷對RVE整體性能的影響，圖9、圖10分別給出界面損傷和界面/基體損傷時RVE平均應力變化曲線：

圖9 界面損傷

圖10 界面/基體損傷

RVE的應力-位移曲線可分為a-b-c三階段。a位于小范圍位移載荷內，此時模型平均應力與位移載荷呈線性增大關系。當位移載荷超過某值(約為0.00022mm)后到達b階段，此時界面損傷起主要作用，不同界面強度的應力曲線開始出現分支，且界面強度越大應力值越高。當位移載荷增加到約0.00042mm時應力曲線到達c階段，此時無基體損傷應力曲線呈現緩滿上升趨勢，而有基體損傷的應力曲線在呈緩慢下降趨勢，由于兩者僅基體損傷這一變量不同，所以可得下降是由基體損傷引起的。

6 結論

1)結合RSA和PBC，由二次開發實現纖維復合材料快速建模，極大簡化建模流程。

2)僅考慮界面損傷時，纖維平均應力表明界面強度越大，受橫向拉伸時纖維所受力就越大，纖維增強效果就越好。因此界面強度對纖維增強作用的發揮具有重要意義。

3)考慮界面/基體損傷時，XFEM準確捕捉到基體裂紋：萌生于位移載荷方向上相鄰較近的纖維之間；擴展方向與位移載荷方向垂直；裂紋由于引發界面損傷而停止擴展，且界面強度越大對裂紋的抑制作用越好。

4)橫向拉伸時，僅有界面損傷的RVE平均應力呈先快速上升后緩慢上升的趨勢，而考慮界面/基體損傷的RVE平均應力為先快速上升后緩慢下的降趨勢。表明當位移載荷超過某臨界值后僅使用界面損傷模型是不準確的。這對纖維復合材料實際破壞行為的研究具有重要指導意義。