城市路網交通擁堵傳播模型分析

黃艷國，劉紅軍，張升升

(江西理工大學電氣工程與自動化學院，江西 贛州 341000)

1 引言

隨著汽車保有量的持續增長，大大超過了同期城市交通網絡和交通設施的發展速度，道路交通資源供需矛盾不斷加劇，城區道路的擁堵狀況愈來愈嚴重，這已成為影響居民生活品質、阻礙城市發展的突出問題之一。交通狀態演變是一個復雜的動態過程，研究交通擁堵傳播，對擁堵的形成原因和形成過程以及緩解道路擁堵具有非常重要的理論意義[1][2]。目前針對交通擁堵的現狀，改善城市交通道路的交通擁堵問題，國內外學者開展了許多相關研究[3]。早期的有交通波理論，以流體力學為基本原理，將車流密度的變化類比成水波的波動，分析交通波的傳播速度和方向，尋求交通流參數與車輛排隊長度之間的關系，闡述車流的變化過程[4]。Cats[5]提出了一種動態隨機交通分配模型，通過提高運力效益的方法對路網的可靠性和車流擁擠的演化過程進行了動態建模。Sajjad[6]等提出了一種基于機器學習的技術，根據從路網中大量高速公路環路檢測器獲得的數據對交通流基本圖進行分類和校準，描述了擁堵在時間和空間上的傳播和消散模式。JiangZhibin[7]提出了一種基于SIR傳染病模型的擁堵傳播模型，通過擁堵-易感-恢復的狀態變化過程來描述擁堵傳播過程。文獻[8]利用復雜網絡分析交通擁堵的動力學傳播特征，建立了交通擁堵病毒傳播模型。文獻[10]-[11]使用模擬數據從一個校準和驗證的中觀動態交通流模型，并驗證了模型在交通擁堵方面的應用。文獻[12]通過對擁堵蔓延速度的影響因素進行量化分析，建立時變的擁堵蔓延速度模型，該模型能夠描述交通事件下擁堵蔓延的特征。

在現有研究成果中，城市交通通常為復雜的空間相關性和時間相關性，具有人類行為驅動性和傳播性的特征，類似于傳染病在人群中的傳播或言論在社會網絡中的傳播。隨著移動傳感器的發展，路網交通數據有了可靠的來源，這進一步可以實時和宏觀地估計道路交通狀況。本文通過交通擁堵SIR模型來模擬城市路網中的擁堵擴散，通過實時監視路網并觀察擁堵路段的數量，模擬出最小化擁堵的總持續時間以及最小化恢復時間，這可為交通管理和控制策略提供一定支持。

2 擁堵特性分析

2.1 交通擁堵特征及成因分析

城市路網交通是隨著車流變化而動態變化的過程，它包括行人活動、車流波動、道路結構變化之間的相互作用。交通狀態一般分為暢通和擁堵，在暢通和擁堵之間存在閾值，閾值可以是車流速度、車流量、車流密度等可量化的交通流指標來表示。在不同的道路結構、不同的時間段、不同的天氣狀況其交通擁堵產生原因、嚴重程度存在明顯差異。交通路網中擁堵狀態的產生與交通網絡的內因和外因有關，外因包括天氣、突發狀況等，內因包括路網結構、道路通行能力和出行需求等。擁堵狀態的傳播媒介為路段間運行的車流，主要集中在交叉口處。城市交通擁堵傳播特征包括[13]：①交通控制策略、出行環境等多個復雜因素對交通路網的影響。②擁堵一般發生在路段口，因此擁堵傳播與交叉口在路網中的拓撲結構、出行需求相關，路段通行能力越大，擁堵消散越快。③車流是城市交通路網擁堵傳播的媒介。利用車輛實際速度與道路最大速度比值來定義擁堵強度，當擁堵強度大于道路的閾值時，則路段就會產生擁堵。路網中的隊列溢出對路段容量很敏感，路段容量在欠飽合和過飽合的條件下難以保持穩定，擁堵還會在恢復過程中表現出碎片化，從而導致更大的空間異質性[14]。

2.2 基于傳染病傳播思想的交通擁堵特性分析

傳染病有三種典型的個體：易感染者S，與感病者接觸后易受到感染；已感染者I，可以傳播給S類個體；移出者R，被隔離或因病愈而具有免疫力的個體，既非易感染者S也非已感染者I[15]。同時也有兩個傳播過程，首先是易感個體與感染個體接觸后發生感染，若沒有通過及時隔離和治療，感染者會繼續傳播給接觸的人，然后若每個感染個體被隔離和控制，將會變成移除狀態，這個狀態的個體將不會再次感染上病毒，也不會再去感染其它個體[16]。在傳播過程中，感染者作為傳播源，攜帶者受到病毒的感染，也會變成傳播者。傳染病的傳播過程如圖1所示，圖中圓形表示個體，箭頭指向表示傳播方向。

圖1 傳染病的傳播過程

根據傳染病的傳播過程，來分析城市道路擁堵的傳播過程。城市路網結構由路段交叉口和路段組成，因此采用路段來分析交通擁堵傳播過程。為了能更好的表示交通擁堵的傳播，首先構造交通擁堵信息傳播的路段，如圖2所示。若L0路段處發生交通擁堵，下游路段L5、L6、L7會變得暢通，當后續車輛陸續到達該處時，會將該處的擁堵狀態以傳遞的形式傳播到L1路段，鄰近路段L3和L4也會造成一定程度的擁堵。若擁堵持續，則L2也會加入擁堵狀態，擁堵會通過道路傳播到上游路段，同時，由于道路本身的通行能力機制作用和交通管理人員的共同作用，下游路段擁堵會逐漸消散，而且上游路段擁堵蔓延會繼續向后傳播，若交通擁堵一直持續，則最終會由點到線，甚至到面的傳播。鄰近的非擁堵路段在擁堵路段發生時，可能受其影響，被“感染”成擁堵路段。也可能會因擁堵源慢慢消散或者交通控制策略，使得上游擁堵得到緩解變成非擁堵路段。這種現象與傳染病的傳播具有一定的相似性，都具有漸變過程和人工干預特性。對于漸變性，路段成為擁堵路段前，具有易感和免疫特點。對于人工干預性，醫療水平可以控制傳染病的傳播，交通控制也能減緩擁堵。因此傳染病與交通擁堵有類似的傳播規律，可借鑒傳染病模型來研究交通擁堵的傳播規律。本文根據研究需要，選用交通流速度、排隊長度、行程時間等數據，并對數據處理得到可作分析需要的數據結構。

圖2 擁堵傳播道路結構

3 基于SIR的交通擁堵傳播模型

3.1 SIR模型

SIR 模型中節點狀態分為易感染態(S)、感染態(I)和治愈態(R)。治愈態節點是由感染態轉化到正常狀態的節點，將不再受感染節點的影響。易感染態節點被感染后將會以β的概率轉換為感染態節點，而感染節點會以概率μ恢復為治愈節點，三種狀態之間的轉化過程如圖3所示。

圖3 SIR模型狀態轉化過程

假設在t時刻，s(t)為易感態的個體占比，i(t)為感染態的個體占比，r(t)為治愈態的個體占比，則傳染病SIR模型的動力學方程如(1)所示，在傳染病SIR模型中，感染初期時，感染態個體的數量與時間成正比，但隨著時間的延長，由于模型中有治愈態的節點，因此會有部分節點被治愈并且不會再次被感染。當傳播持續時，整個傳播范圍內可能只存在易感態和治愈態兩種節點。

(1)

3.2 交通擁堵傳播模型

由于SIR模型的拓展能力和運算效率較高，可以較快的發現擁堵的傳播規律，因此可以構建交通擁堵傳播模型，并呈現路網中交通擁堵隨著時間和空間變化而進行擴散、消散甚至轉移的過程，擁堵的消散可以看作是擁堵傳播的逆過程。在提出的路網理論框架中，節點表示交叉路口，路段表示任意兩個交叉口之間的道路。對于路網中的每個路段，都有隨時間變化的速度vi(t)，將路段上的最大限速表示為vimax(t)，定義

(2)

中λi(t)是路段實際速度vi(t)與路段最大速度vimax(t)的比值，使用閾值ρ將每個路段分為處于擁堵si(t)=1和自由流狀態si(t)=0狀態，其中ρ是代表不同擁堵級別的預先確定的閾值。

(3)

在道路平均混合的假設下，使用微分方程(ODE)系統描述擁堵傳播的動態過程，模型的動力學方程如下所示：

(4)

(5)

(6)

其中c(t)為路網中擁堵道路的占比，f(t)是自由流道路占比，r(t)是恢復的道路占比，k表示擁堵節點處與其相鄰接觸的路段數。假設在道路上的車輛數保持動態平衡，所以c(t)+f(t)+r(t)=1。此外，R0=kβ/μ對應于傳染病模型中“基本傳染數”。一般與擁堵周期，傳播方向，路段車輛的接觸頻率有關，R0越高，擁堵在整個路網中傳播的速度越快，如果R0≤1，則擁堵不會在路網中傳播。若已知R0，建立的模型可用于預測擁堵何時達到高峰以及恢復需要多長時間，這可用以優化各種流量管理和控制策略。

3.2 參數分析

根據上面建立的交通擁堵傳播動力學方程可以看出，需要通過參數分析確定參數的范圍。如果參數估計的過低會導致規律的無效性，估計過高會導致規律的單一性，因此參數的估計尤其重要。為了估計所提出模型的參數，使用帶有模式搜索算法的普通最小二乘(OLS)方法，進行參數估計，如式(7)所示。將公式化為一個最小化問題，找到最小化模型均方根誤差的參數值。

(7)

其中L為誤差和，為使能較準確地估計參數，應使L盡可能小，yi為第i組因變量，xi為第i組自變量，w為系數變量，利用每組交通數據進行參數估計。對于不同的路網結構基本傳染數R0一般是不相同的。例如不同的道路等級和道路的容納量其傳染數不同，在早晚高峰時期以及平峰時期，車流具有不同的變化規律，所以每個時段內的擁堵恢復概率也不相同，這要根據具體的道路和周圍路網結構來進行計算。

4 仿真驗證與分析

4.1 路網數據獲取

依據交通平臺對路網結構進行獲取，從整體出發，按照不同權重進行計算，例如在某一路段上行駛的車輛越多，那么整體路網中所占的權重就越大，對所有道路進行加權，然后依據出行市民對交通狀況的反饋，對大量數據進行聚類分析，將擁堵數據轉換成具體的交通指數[17]。優勢在于信息豐富、數據量大以及數據具有很強的動態性。在高德地圖交通平臺上選取不同城區為分析對象，交通數據選取2021年1月某日特定時間上下班高峰期的數據，包含杭州市不同城區擁堵指數和速度如表1所示。為了數據的準確性，在智慧交通數據平臺上獲取杭州市的相同時段數據和相同類型數據同時分析，模擬路網流量擁堵的傳播動態過程。擁堵指數為實際行程時間與暢通行程時間的比值，擁堵指數越大代表擁堵程度越高。

針對不同城區，選取蕭山區里的北塘河公路作為研究對象，北塘河公路從長山一號橋到中新橋，東向西走向，從東向西的交叉路依次是建設一路、通惠北路、寧稅路和寧東路?，F根據研究需要，對路網及周邊結構進行獲取，由于路網結構圖太大，這里只截取部分如圖4所示。

圖4 北塘河公路道路路網

4.2 仿真分析

在道路結構路網中，從擁堵道路的數量是增加或減少，可以直觀的看出擁堵是在傳播還是在消散。因此SIR模型作為一種三態模型，符合現實交通情況，對北塘河公路由西向東的車流流向方向，選取鄰近的50條支路來構成一個路網，若選取的支路數越多就越符合真實的擁堵傳播，由于道路數較多，這里就不列舉出來了。以選取的工作日為基礎，以北塘河公路和寧稅路的交叉口為中點，如上圖4所示，圖中直線為北塘河公路，箭頭位置為交叉口。在上下班的高峰期時，以某個時間點根據車流的速度變化根據式(2，3)計算道路λi(t)值，根據道路的閾值來判斷道路是否為擁堵，當擁堵開始時，用交通擁堵模型來計算出擁堵的道路占比和恢復道路占比，如圖5所示。

圖5 路網擁堵和恢復曲線

針對北塘河公路路網結構，由于每個交叉口都有三條出口，所以節點分布平均值k=3，對于較大的ρ值，不同路網之間的R0差異會增大，這主要是由于ρ較大時擁堵的定義模糊。因此隨著ρ的增加，路網之間的差異會影響所研究路網中已恢復流和自由流路段的比例，這與理論SIR模型的情形一致。當分別將北塘河公路路網中周日和工作日進行對比時，根據從基于仿真的動態交通模型和已識別的擁堵道路獲得的交通數據，路網中擁堵路段c(t)的比例變化，如圖6和圖7所示。顯示了上午高峰時段6：00-10：00的出行需求曲線數據，依據實際交通數據與基于仿真的數據之間的比較，不同ρ值下c(t)隨時間演變，其后數小時為恢復期。

圖6 路網模型數據和周末數據比較

圖7 路網模型數據和工作日數據比較

盡管所選不同日期的出行需求模式存在差異，但通過數據分析，估計R0值在ρ=0.2-0.3時相差甚微，而在ρ=0.3-0.4時僅略有變化，這表明可以以R0為基礎的基本傳染數來研究擁堵演化過程，這也與路網交通的傳播動力學規律一致，使用較小的ρ值可以更好地與較大的ρ值相比。例如當使用ρ=0.2時，路段中擁堵路段的比例在模擬的第一個小時內幾乎沒有擁堵，路網中路段尚未形成擁堵。但是當使用ρ=0.9時，路網中將近20%的路段開始形成擁堵，其中路網的擁堵傳播曲線如圖8所示。

圖8 不同ρ值下的i-s曲線

當ρ增大時，擁堵傳播和消散均呈指數下降，在排隊理論中，隊列的大小取決于到達和離開曲線之間的差異，而不是單個到達和離開速率。隨著時間的推移，從t=0附近的低值開始，然后逐漸增加，直到在大多數路段到達峰值時才達到t=200min，然后逐漸減小，直到t=400min，如圖9所示。

圖9 給定ρ值下的c(t)曲線

與交通流理論和運動波理論相一致，在模擬數據中的差異表明了交通擁堵遵循非隨機的空間擴展模式。不同的需求對擁堵傳播和消散動態存在影響，對于負載為1小時并隨后恢復數小時的同一路網，進行了多次仿真，通過減少或增加需求，同時保持交通運行模式相同。然后用模型進行求解。當需求增加時，同一路網的擁堵路段比例也會增加，恢復擁堵則需要更長的時間。路網中的交通擁堵情況受到1小時高峰需求的影響，隨后是從t=60min開始的恢復期，路網中擁堵路段的比例隨時間演變，c(t)根據需求曲線在t=75min時達到其峰值。當任何給定ρ的需求增加時，路網擁堵的范圍將變大并且恢復需要更長的時間。在現實世界中很難預知出行需求，智能手機客服端在一定程度上會獲取一段時間內的出行需求，并與路網中的擁堵傳播和消散建立關系。在宏觀層面，當路段從擁堵中恢復時，它會直到下一個高峰期才會再次變得擁堵。

5 結論

交通擁堵傳播規律性研究，是制定交通管理、控制和誘導措施的重要基礎。基于擁堵傳播SIR模型，對擁堵過程進行了分析，以實際交通網絡為研究對象，結合相關交通數據，通過模型對交通擁堵的傳播過程以及交通擁堵的特征進行了相關研究，擁堵傳播為一種擴散現象，并隨著出行需求的增加擁堵程度愈嚴重，根據交通數據特征信息，對于不同地區，由于城市路網的拓撲結構和出行需求不同，其擁堵傳播和消散的時間也是不同的。從實際和模擬兩方面表明，可以通過模型來分析城市交通擁堵的傳播和消散過程，驗證了模型的有效性，對相關交通擁堵演化模式研究有一定的參考價值。若引入考慮多個周期的其它交通狀態，增加后續交通數據量可以更深入研究擁堵的恢復過程。