圓軌道有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律

趙 琴

(北京控制與電子技術(shù)研究所，北京100038)

1 引言

地球靜止軌道上運(yùn)行的衛(wèi)星，由于相對地面上的任何一個(gè)觀測者靜止，因此給地面觀測帶來諸多便利。另外，高軌應(yīng)急任務(wù)，應(yīng)急發(fā)射一顆服務(wù)飛行器對出現(xiàn)故障的航天器進(jìn)行救援服務(wù)等任務(wù)，需要將服務(wù)飛行器發(fā)射進(jìn)入GEO軌道指定目標(biāo)點(diǎn)附近定點(diǎn)[1]。絕大多數(shù)的應(yīng)用衛(wèi)星都是近圓軌道的衛(wèi)星，運(yùn)載火箭送衛(wèi)星入軌時(shí)的誤差(初始誤差)越小給衛(wèi)星軌道控制帶來的難度越低、燃料消耗越少。研究近圓軌道所用的動(dòng)力學(xué)模型可以按照圓軌道近似，形式簡單[2]。直接定點(diǎn)入軌是指運(yùn)載火箭克服各種干擾，直接將飛行器一次性送入預(yù)定軌道。直接將飛行器一次性送入預(yù)定軌道，具有特別重要的意義，比如空間應(yīng)急救援、空間快速軌道運(yùn)輸?shù)取＿M(jìn)而，研究近圓軌道減小初始位置和速度誤差問題可以轉(zhuǎn)化為研究減小圓軌道入軌時(shí)的初始位置和速度誤差問題。因此，研究減小圓軌道入軌時(shí)的初始位置和速度誤差具有重要的意義。

通常運(yùn)載器采用閉路制導(dǎo)方法將飛行器送入期望的飛行軌道[3]。由于閉路制導(dǎo)方法是根據(jù)目標(biāo)點(diǎn)位置進(jìn)行導(dǎo)引的，在動(dòng)力沒有約束的情況下理論上最終能夠到達(dá)期望的目標(biāo)點(diǎn)，然而，速度矢量只能在期望的速度矢量附近，并不能完全與期望的速度矢量一致，并且由于姿態(tài)控制誤差、推力誤差、發(fā)動(dòng)機(jī)安裝誤差等的存在，將飛行器送入期望的軌道時(shí)必然存在初始位置誤差和初始速度誤差。因此，運(yùn)載器將飛行器送入期望軌道后，仍需要繼續(xù)進(jìn)行軌道修正，使得飛行器進(jìn)入期望的軌道。

有限時(shí)間控制方法由于其快速的收斂性及其良好的抗干擾性能和魯棒性得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。目前，有限時(shí)間穩(wěn)定性在航天領(lǐng)域得到了廣泛地應(yīng)用。有限時(shí)間穩(wěn)定指系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)以任意初始狀態(tài)收斂到平衡狀態(tài)。由于滑動(dòng)模態(tài)對干擾等具有不變性，并且控制算法較簡單，因此滑模變結(jié)構(gòu)控制廣泛應(yīng)用于航天領(lǐng)域[4]，[5]。對于干擾，傳統(tǒng)滑模控制收斂特性取決于趨近律的選取，由于沒有對時(shí)間的約束，往往不能滿足對系統(tǒng)快速收斂的需求。因此，結(jié)合有限時(shí)間穩(wěn)定性原理和滑模控制理論，來改善系統(tǒng)的收斂速度，以滿足系統(tǒng)對快速收斂的需求。

簡單地利用離心力和推力平衡重力的方法，能夠使得飛行器保持在一定的飛行高度，但由于入軌時(shí)的初始位置和速度誤差的存在，并且該方法無法修正圓軌道入軌時(shí)的初始位置和速度誤差，最終飛行軌道并不是期望的飛行軌道。本文將在考慮圓軌道入軌時(shí)的初始位置和速度誤差修正的基礎(chǔ)上并進(jìn)行高精度導(dǎo)引，既修正初始位置和速度誤差，又能進(jìn)行高精度導(dǎo)引。本文基于有限時(shí)間穩(wěn)定原理結(jié)合滑模控制理論，針對減小圓軌道入軌時(shí)的初始位置和速度誤差問題，提出一種圓軌道有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律。首先，利用有限時(shí)間收斂理論對其收斂特性進(jìn)行了分析，并給出了收斂時(shí)間下界。最后，通過數(shù)學(xué)仿真，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律的有效性。

2 問題提出

圖1 運(yùn)載火箭發(fā)射衛(wèi)星飛行軌道示意圖

發(fā)射靜止衛(wèi)星一般采用軌道轉(zhuǎn)移的方法。有兩種類型：一種是星箭分離后，衛(wèi)星進(jìn)入近地點(diǎn)為幾百公里的、遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步高度左右的大橢圓軌道，稱為轉(zhuǎn)移軌道。轉(zhuǎn)移軌道傾角一般不為零。接下來由星上發(fā)動(dòng)機(jī)和姿態(tài)軌道控制分系統(tǒng)完成進(jìn)入靜止軌道的任務(wù)。另一種類型是航天飛機(jī)或大型運(yùn)載火箭將衛(wèi)星和一級火箭送入停泊軌道[6]。停泊軌道可能是幾百公里的圓軌道，也可能是近地點(diǎn)幾百公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)一千多公里的橢圓軌道。在停泊軌道上近地點(diǎn)發(fā)動(dòng)機(jī)工作，將衛(wèi)星送入轉(zhuǎn)移軌道。接下來的過程和第一種類似。考慮到星上控制系統(tǒng)推力器還需要將軌道圓化，在航天器飛行入軌時(shí)，盡量減小初始位置和速度誤差，從而減輕后續(xù)軌道機(jī)動(dòng)和控制的壓力。

通常運(yùn)載器采用閉路制導(dǎo)方法，將飛行器運(yùn)送到空間特定區(qū)域并使之達(dá)到期望的速度矢量。閉路制導(dǎo)原理框圖如下圖所示。

圖2 閉路制導(dǎo)導(dǎo)引飛行原理框圖

采用閉路制導(dǎo)方法導(dǎo)引航天器進(jìn)入圓軌道飛行，進(jìn)入軌期望軌道時(shí)，往往會(huì)有初始位置誤差和速度誤差。并且，圓軌道要求飛行過程中有保持向徑大小的需求，工程實(shí)踐中通常利用離心力和推力平衡重力，從而保持圓軌道高度。但是，航天器進(jìn)入圓軌道存在的位置和速度偏差，使得使用上述方法僅僅是保持向徑大小在初始值附近，甚至由于初始速度偏差的作用，隨著飛行時(shí)間拉長軌道會(huì)越來越偏離期望的飛行軌道。本文給出一種圓軌道有限時(shí)間收斂導(dǎo)引方法，有效減小入軌時(shí)的位置偏差和速度偏差。

2.1 運(yùn)載器運(yùn)送飛行器進(jìn)入軌道

參考文獻(xiàn)[7]中的大氣層外的閉路制導(dǎo)方法，運(yùn)載器運(yùn)送飛行器進(jìn)入軌道采用該種閉路制導(dǎo)方法。

首先，根據(jù)當(dāng)前點(diǎn)C運(yùn)載器質(zhì)心對應(yīng)的地心矢徑rL、當(dāng)前點(diǎn)C運(yùn)載器質(zhì)心對應(yīng)的地心緯度φL、當(dāng)前點(diǎn)運(yùn)載器質(zhì)心C到目標(biāo)點(diǎn)T的絕對經(jīng)差λTC、發(fā)射點(diǎn)到當(dāng)前運(yùn)載器質(zhì)心的絕對經(jīng)差λOL、發(fā)射點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的絕對經(jīng)差λOT、目標(biāo)點(diǎn)的地心矢徑rT、目標(biāo)點(diǎn)對應(yīng)的地心緯度φT，迭代計(jì)算以下公式：

βj=acos{sinφLsinφT+cosφMcosφTcos

[λOT-λOL+Ω(t+tfj)]}

ξTj=βj+ξLj

(1)

重復(fù)以上迭代過程，直到當(dāng)j=N時(shí)，滿足迭代終止條件|pj+1-pj|<Δp，其中Δp為根據(jù)實(shí)際情況選取的迭代終止判斷值。

為了防止迭代發(fā)散，設(shè)置最大迭代次數(shù)為J。當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)停止迭代。

迭代結(jié)束后，取β=βN，p=pN，θH=θHN，用下面的公式計(jì)算需要速度VR

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

運(yùn)載器發(fā)動(dòng)機(jī)推力沿著待增速度矢量的方向，持續(xù)工作，最終能夠?qū)w行器運(yùn)送到期望的目標(biāo)點(diǎn)。因此，需將運(yùn)載器姿態(tài)調(diào)到指向待增速度矢量的方向，運(yùn)載器發(fā)動(dòng)機(jī)推力就會(huì)沿著待增速度矢量的方向推進(jìn)。因而，俯仰姿態(tài)角指令φC、偏航姿態(tài)角指令ψC可以按照下面的公式計(jì)算

(7)

(8)

滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角指令γC直接取為0即可，即

γC=0

(9)

按照如上姿態(tài)角指令控制運(yùn)載器姿態(tài)，即可實(shí)現(xiàn)期望的導(dǎo)引，將運(yùn)載器導(dǎo)引到期望的位置點(diǎn)。

2.2 飛行器入軌后的動(dòng)力學(xué)建模

航天器圓軌道飛行過程中入軌時(shí)，往往會(huì)有初始位置和速度誤差，并且圓軌道要求飛行過程中有保持向徑大小的需求，通常利用離心力和推力平衡重力，從而保持圓軌道高度。但是，航天器進(jìn)入圓軌道往往存在偏差，運(yùn)載器運(yùn)送飛行器進(jìn)入期望飛行軌道，采用閉路制導(dǎo)方法僅僅能保證向徑大小在期望值附近。因此需要對圓軌道位置和速度誤差進(jìn)行修正，考慮圓軌道的特點(diǎn)對圓軌道進(jìn)行下面的動(dòng)力學(xué)建模。

航天器圓軌道飛行過程中軌道徑向滿足方程[8]

(10)

其中，r為向徑模量，vH為航天器水平方向的速度大小，μE為地球引力常數(shù)，u為控制量。

選取狀態(tài)變量

(11)

系統(tǒng)對應(yīng)的狀態(tài)空間方程可以用下面的公式表示

(12)

結(jié)合式(10)和式(12)得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

(13)

圓軌道導(dǎo)引目標(biāo)為使得

x1→0，x2→0

(14)

也就是說圓軌道的導(dǎo)引目標(biāo)為使得向徑大小為期望的向徑大小，向徑變化率為0。

3 有限時(shí)間穩(wěn)定定義及相關(guān)引理

下面給出有限時(shí)間穩(wěn)定定義相關(guān)引理。

定理 1：考慮系統(tǒng)

(15)

其中f：U0×R→Rn在U0×R上連續(xù)，而U0是原點(diǎn)x=0有限時(shí)間收斂是指對任意初始時(shí)刻t0給定的初始狀態(tài)x(t0)=x0∈U，存在一個(gè)依賴于x0的停息時(shí)間T≥0使得方程(5)以x0為初始狀態(tài)的解有定義x(t)=φ(t，t0，x0)有定義，并且

(16)

及當(dāng)t∈[t0，T(x0)]時(shí)，φ(t，t0，x0)∈U/{0}。此系統(tǒng)的平衡點(diǎn)有限時(shí)間穩(wěn)定，指Lyapunov穩(wěn)定和在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域里有限時(shí)間收斂[9]。

引理 1：考慮非線性系統(tǒng)(15)，假定存在一個(gè)定義在原點(diǎn)的鄰域?Rn上的C1光滑函數(shù)V(x，t)，并且存在實(shí)數(shù)α>0和0<λ<1，使得V(x，t)在上正定和半負(fù)定，則系統(tǒng)的原點(diǎn)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

證明： 見參考文獻(xiàn)[9]。

3.1 圓軌道有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

選取滑模面

(17)

其中γ>0、p=1。

定理 2：對于系統(tǒng)(13)和選定的滑模動(dòng)態(tài)(17)，選取導(dǎo)引律

(18)

其中，β>0、γ>0、p=1。

證明：

選擇Lyapunov穩(wěn)定函數(shù)

V=S2

(19)

由(13)、(17)、(18)得到

(20)

該Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

(21)

選取控制

(22)

得到

(23)

由于p=1，并且又有式(23)成立，因而系統(tǒng)(13)在控制律(18)的作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。

4 仿真驗(yàn)證

圖3 徑向速度變化

運(yùn)載器將飛行器運(yùn)送到期望的飛行軌道，由于導(dǎo)引方法及姿態(tài)控制偏差、發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏差，考慮圓軌道初始位置和速度偏差問題。針該問題分別采用兩種導(dǎo)引方法進(jìn)行六自由度數(shù)學(xué)仿真，控制周期5ms，運(yùn)載器運(yùn)動(dòng)模型仿真周期1ms，對比利用離心力、推力平衡重力方法(簡記為原方法)和圓軌道有限時(shí)間導(dǎo)引律(簡記為新方法)兩種方法對圓軌道向徑和向徑變化率的導(dǎo)引效果。仿真中采用圓軌道有限時(shí)間導(dǎo)引律的相關(guān)參數(shù)選取如下：β=2、γ=5、p=1。

在航天器圓軌道入軌時(shí)，存在60m誤差的情況下，采用離心力和推力平衡重力的方法，向徑大小隨著飛行時(shí)間拉長越來越偏離期望值；采用Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)的圓軌道有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律導(dǎo)引，向徑偏差很快收斂到0附近，并且穩(wěn)定在0附近，可以看到向徑變化率基本在0附近，從而保證了向徑偏差穩(wěn)定在0附近。

圖4 速度傾角變化

圖5 向徑誤差變化

圖6 向徑變化率

5 結(jié)論

運(yùn)載器將飛行器送入期望的飛行軌道，但是由于發(fā)動(dòng)機(jī)推力誤差的存在、姿態(tài)控制帶來的偏差等，入軌時(shí)存在初始位置和速度偏差，因而入軌后飛行器需要對位置和速度誤差繼續(xù)進(jìn)行修正，以到達(dá)期望的飛行軌道。本文針對圓軌道入軌時(shí)的初始位置和速度誤差修正問題和高精度導(dǎo)引問題，通過利用Lyapunov函數(shù)給出一種圓軌道有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律，該方法可以對圓軌道入軌時(shí)的初始位置和速度誤差進(jìn)行修正并實(shí)現(xiàn)高精度導(dǎo)引。文中給出的仿真實(shí)例，通過與傳統(tǒng)方法對比說明了該方法能夠有效消除初始位置和速度誤差，能夠有效實(shí)現(xiàn)高精度導(dǎo)引。