深度學習下的等比數列概念教學

［摘? 要］ 文章以深度學習為理念，設計等比數列概念教學，注重學生的自主探究、交流表達、合作討論、動手操作，促進知識的深度加工與知識網絡的構建，重視學生的主體地位，提高學生的課堂參與度，從而落實數學學科核心素養的培養.

［關鍵詞］ 深度學習；等比數列；概念教學

等比數列是“數列”一章的重要內容之一，學生之前學過等差數列，掌握了研究數列模型的內容和方法. 學生可以類比等差數列的研究過程自主探究等比數列，但等差數列對學生學習等比數列具有一定的負遷移作用. 因此，理解等比數列的概念成了探究的起始點. 數學概念的產生自有其歷史性和必要性，具有重要的教育價值. 概念是性質和定理等的出發點和推導依據，學生只有明白概念形成的來龍去脈，理解概念出現的條件，使用時才能有的放矢，才會用數學的眼光去看待、發現、提出問題，從而提高思維水平和創造能力.

教學設計思想

1. 設計理念

深度學習，是信息化時代對人類學習的必然要求，是學習者能動地參與教學的總稱［1］，是學習者在記憶、理解的基礎上積極主動的批判性學習，能對知識進行批判理解、主動聯系、整合信息、完善結構、遷移應用等. 深度學習以“學”為中心，讓學生在知識和經驗的最近發展區去理解、分析已有知識，對所學知識進行深度加工，通過探究、合作和評價獲得新知識［2］.

深度學習是相對于淺層學習而言的. 深度學習的三個具體特征表現在：

第一，從整體視角了解知識結構，從信息整合的角度達到對數學對象的真正理解，包括學生的發散思維、研究判斷、學習反思等認知活動. 相對而言，淺層學習只是無聯系、碎片化地接受知識，數學概念也僵化在機械背誦或暫時記憶的層面.

第二，對知識進行多元構建，并強調遷移運用. 深度學習強調對數學知識框架的構建，促進學生探尋知識背后的思想方法，從而幫助學生觸摸數學的本質. 相反，淺層學習忽視知識網絡的構建，一味運用“套路”解題.

第三，重視數學與現實的聯系，在真實情境中挖掘材料、深度加工，培養學生終身學習的習慣. 深度學習區別于淺層學習的一個重要特征在于深度學習是學生主動接受和思考的過程，而淺層學習是學生被動接受和思考的過程［3］.

2. 設計背景

由于教學觀念、教學進度和現實因素，傳統教學模式往往忽略概念教學中的引入和理解探究環節，將時間和精力更多地放在解題環節. 導致的結果是大部分學生對于定義、公式、定理的記憶效率低下，在實際解題時不知從何下手.

首先，高中數學具有高度抽象、符號化的特點，所以學生對數學概念的真正掌握存在困難. 其次，傳統的教學模式直接下定義，導致學生無法準確理解概念，只能在一知半解的情況下去解題，無法真正發展數學思維.

因此，恰當合理地引入概念，幫助學生更好地發散思維、理解概念，使學生明確概念的本質，是數學概念教學的重點，對學生的數學學習有重要作用.

教學目標

教學目標是教學活動的出發點，是通過教學期望達到的結果. 為了促進學生的深度學習，教學目標的設計應以知識點為載體，將知識、技能、過程、方法等目標通過具體行為落實到學生核心素養的培養中［4］.

（1）在數量關系的視角下發現問題、提出問題，并用數列進行刻畫，提高數學抽象和數學建模能力.

（2）依據等差數列的研究內容和方法，經歷聯想、類比等過程，探索等比數列概念的形成，并注意兩者的區別.

（3）在舉例中辨析等比數列的概念，建立等比數列的概念結構.

（4）運用定義判斷或證明等比數列，體會符號語言的重要性，培養邏輯推理素養.

（5）經歷數學抽象和自主探究的過程，提高探究能力，領悟類比、從特殊到一般的數學思想方法.

教材分析

1. 知識結構

本課內容是蘇教版選擇性必修第一冊第4章“數列”的4.3節“等比數列”的第一課時“等比數列的概念”.

等比數列在現實生活中有廣泛應用，是用來刻畫一類離散現象的重要數學模型. 教材在內容設計上也是從實際情境出發，類比等差數列引出等比數列的定義，通過舉例、運算、證明等活動探究等比數列的特點和證明方法，讓學生體會等比數列學習的合理性和必要性，理解等比數列的概念，并能學以致用.

2. 教學重難點分析

教學重點：等比數列的定義，從中推導出等比數列的特征.

教學難點：應用等比數列的定義證明等比數列，證明過程中強調等比數列每一項不為0.

教學過程

1. 知識回顧，溫故知新

教師：在開始新課前我們先來回顧一下之前所學的等差數列.

問題1：等差數列是怎樣定義的？

問題2：等差數列用符號語言是如何表示的？

問題3：我們是怎樣判斷或證明等差數列的？

根據學生的回答，構建關于等差數列概念的思維導圖，如圖1所示.

設計意圖 弗賴登塔爾認為，數學是充滿聯系的，不要教孤立的片段，應該教聯系的材料. 在復習的過程中，回顧等差數列的研究內容和研究方法，促進學生用聯系等差數列的觀點去觀察和思考問題，通過思維導圖全面回顧、梳理總結，為學習和理解等比數列的概念提供知識準備.

2. 創設情境，抽象特征

活動1：讓每一位學生都用一張A4紙不斷對折，在對折的過程中觀察并思考，哪些量發生了變化？有怎樣的變化規律？以四人為一組，交流討論其發現.

學生發現：紙的厚度在增加，每對折一次厚度變為之前的2倍；紙的面積在減少，每對折一次面積變為之前的.

筆者播放視頻，讓學生了解一張紙對折50次的厚度，激發學生的學習興趣.

思考1：視頻中的折紙厚度問題即折紙層數問題，你能從中得到怎樣的數列？

問題4：請大家寫一寫折紙層數所構成的數列.

問題5：將A4紙的面積視為“1”，請大家寫一寫折紙面積所構成的數列.

設計意圖 深度學習強調學生為主體，以學為中心，因此應更多地安排學生參與課堂教學活動. 利用折紙活動，讓學生通過動手操作，發現與提出問題、分析與解決問題，充分給予學生自主探究、合作討論，完成學習任務的機會.

學生通過自主探究、合作討論，得到了兩個數列：1，2，4，8，16，32，…；1，….

思考2：與等差數列相比，你們所得的這兩個數列有什么共同的特征？

學生：從第二項起，每一項與前一項的比是一個常數，第一個數列的比值是2，第二個數列的比值是.

教師：具備這樣特征的數列，稱它為等比數列.

設計意圖 類比可以幫助學生充分發散思維，利用已有的等差數列的學習經驗，自然地引出新概念——等比數列，讓學生親歷探究發現的過程，體會類比的作用，從而潛移默化地滲透學法指導，為等比數列的研究學習提供導向作用.

3. 形成概念，探究新知

探究1：類比等差數列的定義，給出等比數列的定義.

筆者根據學生回答，對等比數列的定義進行規范表述：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示.

問題6：對于等比數列，要使后一項與前一項的比值有意義，對等比數列中的項有何限制？公比q要滿足怎樣的條件？

學生：等比數列的每一項都不為0，公比q也不為0.

探究2：等比數列的定義用符號語言表示.

設計意圖 通過討論探究，充分調動學生的學習積極性. 學生類比等差數列的定義，嘗試得出等比數列的定義，在思考的過程中使新概念成為學生邏輯推理后自然生成的結果，從而突破了本節課的難點. 因此，在概念的引入和辨析過程中，要重視學生的主體地位，給予學生足夠的思考時間和表達機會.

練習1：判斷下列數列是否為等比數列.

（2）0，1，2，4，8；

（3）1，1，1，1，1；

（4）1，2，1，2，1.

師生交流判斷結果：（1）學生判斷其是首項為1，公比為－的等比數列，但只根據定義驗證了前三項，在此筆者向學生強調定義中的“每一項”，并總結判斷“是”等比數列的方法：從第二項起，每一項與前一項的比是同一個常數.

（2）學生根據等比數列的每一項都不為0，判斷其不是等比數列. 總結：等比數列的特征為每一項都不為0；在判斷或證明等比數列前，應判斷是否有項為0.

（3）學生判斷其是首項為1，公比為1的等比數列. 筆者向學生提問：“常數列是等比數列”這個說法是否正確？學生舉出反例數列：0，0，0，0，0. 筆者引導學生思考得出結論：非零常數列是等比數列.

活動2：根據不同的公比（公比為正整數、分數、負數），你能再舉出一些等比數列的例子嗎？

學生通過舉例發現，寫等比數列時需要確定其首項、公比和項數，這加深了他們對等比數列的基本量的理解.

小結1 （1）等比數列的特點：①從第二項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數；②等比數列的每一項都不為0，公比也不為0；③非零常數列既是等差數列，又是等比數列.

（2）判斷數列｛an｝是否為等比數列的常規方法：判斷（n∈N*）是否為一個不是0的常數.

設計意圖 通過對四個具體數列的判斷，讓學生理解等比數列的特征和判斷方法，深化理解等比數列的概念；讓學生體會概念的重要作用，并通過舉例理解等比數列的基本量. 通過學生回答展現學生的思維過程，筆者在了解學生學情的基礎上有針對性地進行點撥和分析，并在學生得出相關結論和方法后，利用追問的方式啟發學生思考，找到舊知與新知的聯系，加深學生對概念內涵的理解. 最后歸納總結，做好筆記，促進學生構建知識網絡，養成良好的數學學習習慣.

練習2：求下列等比數列中的未知項.

（1）a，2，8，其中a=______；

（2）2，m，8，其中m=______；

設計意圖 挑戰性問題是指對學生認知具有挑戰性的問題，這類問題往往是自然生成的一般化問題或是由逆向思維引發的問題. 設計練習2是為了評估學生是否掌握了等比數列的定義和基本量，由此提高學生對等比數列定義的應用水平.

設計意圖 根據定義法證明等比數列的兩種形式設計練習題，讓學生回顧探究過程，內化思想方法；促進學生深度思維，提高學生發現問題、提出問題和解決問題的能力；評估學生運用定義解決問題的能力以及邏輯推理的嚴密性. 最后由筆者點評學生的答案并展示規范的解題過程，強調數學推理證明的嚴謹與科學.

4. 知識梳理，方法總結

教師：通過本節課的學習，你收獲了哪些知識和方法？

根據學生的回答，構建關于等比數列概念的思維導圖，如圖2所示.

設計意圖 課堂總結利用思維導圖的形式，促進學生及時梳理歸納本節課學習的知識內容，并與等差數列的思維導圖形成對比，發現相似的研究結構和區別的內容，從而深化類比思想方法. 利用課堂總結引導學生主動聯系、整合信息、完善結構、遷移應用，從而促進學生高階思維的發展.

教后反思

首先，本節課充分體現了學生的主體地位，通過動手操作、表達展示、合作討論等方式提高了學生的課堂參與度，讓學生的大腦動了起來，讓課堂活躍了起來. 其次，本節課與傳統課相比雖然知識內容少了一些，但是通過自主探究、類比遷移、應用鞏固、總結歸納等環節加深了學生對等比數列概念的理解和對類比思想方法的體會，為接下來等比數列的通項公式、性質、前n項和公式等的學習打下了基礎，真正達到了深度學習的目的.

通過教學實踐發現，學生在深度理解等比數列的概念后，可以自主推導等比數列的通項公式及其性質. 概念教學慢一點，讓學生真正理解概念，之后的學習才會又快又好. 對于概念教學，相比于教學進度，我們更應該關注教學深度，倡導深度學習，這樣才能真正提高教學效率.

結論

深度學習不僅是一種學習方式，也是一種教學理念. 學習是學生在已有知識和經驗的基礎上，通過記憶、聯想、應用，與新知識建立起關系，從而擴大知識網絡，構建知識和思維模型的過程. 好的教師除了教給學生知識和技能外，更重要的是教給學生研究問題的方法和解決問題的能力. 概念蘊含核心知識和思想，因此概念具有深層探究的價值. 總之，深度學習下的概念教學應重視學生的主體地位，重視思維過程，注重學生的自主探究、交流表達、合作討論、動手操作，提高學生的課堂參與度，促進知識的深度加工與知識網絡的構建，從而落實數學學科核心素養的培養.

參考文獻：

［1］ 鐘啟泉. 深度學習：課堂轉型的標識［J］. 全球教育展望，2021，50（01）：14-33.

［2］ 劉紅晶. SPOC助學群組促進學員深度學習的研究［D］. 四川師范大學，2017.

［3］ 任偉芳.深度學習理念下的教學設計模型創新構建——以人教A版“等比數列”的教學為例［J］. 中學數學教學參考，2022（01）：21-25.

［4］ 柴有茂. 核心素養引領下的“等比數列”教學設計［J］. 當代教育與文化，2018，10（03）：85-88.

作者簡介：薛蕾（1996—），碩士研究生，從事高中數學教學工作.