探究型教學在高中數學課堂的實施路徑

周恒江

當前新課程改革正在不斷推進中，高中數學也在不斷進行教學方式的改革和創新。其中，探究型教學作為一種先進的教學方法，注重學生的主動性和探究性，有利于培養學生的創新思維和實踐能力。本文以蘇教版高中數學必修第二冊第11章“解三角形”中的“余弦定理”為例，詳細闡述了探究型教學的實施步驟。

一、教材分析

“解三角形”是高中數學的重要教學內容，重點講解如何運用正弦定理和余弦定理解三角形問題，以及判斷三角形的解。

二、學情分析

學習本章之前，學生已經研究過有關三角形、三角函數和解直角三角形等相關的基礎知識。在學生之前知識的儲備之上，“余弦定理”這一節主要是研究三角形中各個邊長與各個角之間的數量關系，讓學生學會利用這些關系解決生活中的相關問題。

三、教學目標

在教學目標中，注意設置課程目標及學科素養目標，并詳細把握教學內容的重點、難點、易錯點，便于在教學中更有針對性地安排教學內容。

四、教學過程

（一）新課導入

教師可以通過情境案例導入，選擇學生都很感興趣的熱點問題，吸引學生的注意，引發學生的思考。教師以中國海監船驅逐國外探油船的例子作為導入案例，通過多媒體進行展示。（見圖1）

（二）課程講解

為了使學生更好地理解和掌握余弦定理的概念，教師可以設計具有針對性的探究問題。這些問題的設計應該緊密結合教學的重點和難點，并且引導學生逐步深入探究。

1.通過提問引發學生探究

如教師可以向學生提問：

如果△ABC的三邊長分別為a、b、c，且已知a、b和∠C，如何使用余弦定理來求c？

教師需要注意問題的相互關聯和鋪墊，以確保學生能夠掌握所學知識。通過探究問題的引導，學生可以更加積極地參與到探究活動中，提高他們的邏輯推理能力和分析、解決問題的能力。在學生探究的基礎上，引入教學的核心內容。（見表2）

在講解了詳細的知識點之后，教師可以在課堂中繼續提問，引發學生的探究學習。例如，教師可以向學生提問：余弦定理可以用來解釋生活中的什么問題？

這時，學生可以基于對相關知識點的理解以及在生活中的觀察，發表自己的觀點。

學生1：在工程測量中，可以利用余弦定理來計算兩個物體之間的距離，或者計算建筑物的高度。

學生2：飛行員可以使用余弦定理來計算飛機從一個點到另一個點的最短路徑，通過計算兩個地點之間的距離和方位角確定行駛方向和距離。

學生3：在機器人定位中，人們可以利用余弦定理來計算機器人的位置和行進方向，以實現自主導航和避障。

當學生表達了自己對余弦定理的理解之后，教師可以給予點評及總結，讓學生思考哪些同學的觀點正確，哪些同學的觀點有創意。教師提問和學生回答的形式，可以引導學生邊思考邊分析、總結，提升數學探究能力。

2.進行實際應用，促進鞏固提高

在完成基礎教學后，為了提升學生的探究能力，教師可設計實際應用問題。這些問題既與現實生活緊密相關，又可深度挖掘課堂知識。通過引導學生分組討論，教師提供適當的指導與幫助，鼓勵學生深入思考問題本質，并勇于提出個人見解。最后，組織學生進行成果展示與交流，分享各自的探究過程與結果，并進行評價與總結。通過這一系列活動，學生的探究能力將得到全面提升。

在本課的教學中，教師可以根據學生的實際情況設計一些具有挑戰性的問題。例如，將導入部分的案例再次展示，讓全班通過探究一起找到解題的方法和答案。首先，安排一定的時間（如5分鐘）讓學生嘗試將導入案例的文字用數學圖形和數學符號進行表達，然后利用余弦定理的知識點嘗試進行解答。接下來，教師在黑板或多媒體課件上進行展示。（見圖2）

根據題意可知AB距離為s海里，BC距離為m海里，已知A到C的時速是v海里/小時，要想求得由A到C的時間，教師可以引導學生：怎樣求從A到C的時間，還缺什么條件？

學生在解題中進行思考，知道速度要求時間，需要知道從A到C的距離，也就是根據題目已知條件求出AC的長度。這時教師可以進一步引導：如何求出AC的長度？

學生會自然而然地想到利用剛學到的余弦定理來計算AC的長度。教師可以讓學生先自己嘗試解題，然后再進行示范，集中進行講解。

3.通過舉一反三教學，強化探究過程

在余弦定理與勾股定理關系研究環節，教師可以采用舉一反三的方法，逐步引導學生進行探究，自己尋找答案。例如，思考1：

根據勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，

則c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC ①

試驗證①式對等邊三角形是否成立。你有什么猜想？

教師拋出問題，學生經過探究后嘗試解答，根據解答的結果得出結論。

當a＝b＝c時，∠C＝60°，

a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，

即①式仍成立，據此猜想，對一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC。

接著，教師再將余弦定理與勾股定理進行對比，引導學生分析兩者之間的聯系和區別。教師可提出思考題2，繼續加強探究性教學。

勾股定理和余弦定理有何聯系與區別？

對于學生來說，想要弄清楚這個問題，就需要將勾股定理的主要內容和余弦定理的主要內容放在一起進行分析和思考，這對學生的探究能力有較高的要求。有的學生通過角的大小進行分析，有的學生從定理公式的表達進行分析，這都可以促進他們更好地吸收、掌握內容。

在學生自主思考了幾分鐘之后，教師可以在黑板或者多媒體課件上進一步引導：

在△ABC中，

c2＝a2＋b2？圳∠C為? ? ；

c2>a2＋b2？圳∠C為? ? ；

c2

學生通過計算，可以分別得到直角、鈍角和銳角的答案。在此基礎上，教師總結：余弦定理和勾股定理都反映了三角形三邊之間的平方關系，其中，余弦定理反映了任意三角形中三邊平方間的關系，勾股定理反映了直角三角形中三邊平方間的關系，是余弦定理的特例。

通過舉一反三，讓學生通過自己的探究獲得問題的答案，比直接告訴學生答案效果更好。

4.在作業中設置梯度，鼓勵學生主動探究

除了教學環節可以展開探究以外，在作業環節，教師也可以鼓勵學生進行探究，讓學生養成思考問題、總結規律的好習慣。在學習完“余弦定理”后，教師可設計不同類型的作業，讓學生在完成作業的過程中展開思考和探究，進而發現解題規律。

練習題1：

在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求∠A，∠B，∠C的度數。

練習題2：

在△ABC中，若（a－c·cosB）·b＝（b－c·cosA）·a，判斷△ABC的形狀。

針對上述不同類型的題目，學生可以通過自己的思考和探索，發現題目類型的不同以及解題的方法和規律，從而進行總結。教師在學生思考和探索的基礎上，總結規律并進行展示（見表3）。

學生將自己的總結與教師給出的規律進行對比，有助于更好地檢測自己是否掌握學習內容，是否根據自己的探究發現解題的規律。

五、教學反思

在“余弦定理”教學中，情境創設和問題引導起到了關鍵作用。通過創設情境，抽象的數學概念變得生動有趣，激發了學生的探究熱情和學習積極性。這不僅能夠幫助學生更好地理解這些概念，還促使他們在實際應用中鞏固所學知識。

本節課設計的探究問題緊密圍繞教學目標，具有層次性、關聯性，可引導學生逐步深入探究。這些問題不僅幫助學生鞏固了所學知識，還培養了他們的邏輯思維和問題解決能力。通過解決問題，學生不再被動地接受知識，而成為主動的探究者。這種轉變對于培養學生的數學思維和解決問題的能力至關重要。

通過情境創設和問題引導，學生能夠更深入地理解余弦定理的概念和其中的邏輯關系。他們不再僅停留在表面的記憶和理解，而是能夠在實際應用中靈活運用這些概念。這種理解力的提升將為學生未來的數學學習和解決實際問題奠定堅實的基礎。

總之，探究型教學在高中數學課堂中發揮了重要的作用。它不僅提高了學生的學習效果，還培養了他們的數學思維和解決問題的能力。在未來，我們應繼續探索和實踐探究型教學，為學生提供更豐富、更有深度的學習體驗。

（作者單位：靖江市斜橋中學）

編輯：張俐麗