巧妙設置問題，翻轉數學課堂

張麗娜

本節課選自湖南教育出版社2019年版數學必修第一冊第四章“冪函數、指數函數和對數函數”第二節“指數函數”中的第二課時“指數函數的圖象與性質”，是在學生學習了冪函數和指數函數概念的基礎上，進一步學習與研究指數函數的圖象和性質。

一、教學目標

1.學生能用描點法或借助信息技術畫出具體指數函數的圖象，也能通過代數運算畫出有關聯的指數函數圖象（利用代數運算，研究指數函數的對稱性，根據函數的對稱性畫圖）。

2.學生結合圖象，探索并理解指數函數的性質，能利用性質解決簡單的問題。

3.學生通過對指數函數的學習和研究，進一步培養特殊到一般、數形結合、分類討論的數學思想，以及感受用函數解決問題的思想。

二、教學重難點

教學重點：指數函數的圖象與性質及其初步應用。

教學難點：用函數圖象和指數運算的方法研究指數函數（性質）。

三、教學過程

導入：上節課，我們通過實際問題的解決概括出了指數函數的概念。回顧前面冪函數的學習過程，我們基本上了解了基本初等函數的研究路徑，這節課我們將研究指數函數的圖象和性質，并進行初步的應用。

（設計意圖：明確本節課的主題，為學生學習新內容做鋪墊。）

環節一：創設情境，提出問題

設計說明：復習所學知識，提出問題進而引入新知識。

問題1：指數函數的概念是什么？

提示：一般，函數y=ax（a>0且a≠1）叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R。

（設計意圖：再次回顧和明確指數函數的概念，為后續研究做好鋪墊。）

問題2：回顧我們學習過的冪函數，學習和研究一個函數的基本路徑是什么？我們要研究指數函數的哪些性質？怎樣開展研究？

提示：根據前面的學習，我們了解到基本初等函數的研究路徑為：實例（背景）→函數的定義（概念）→圖象（描點法+信息技術）→性質（定義域、值域、單調性、奇偶性等）→應用（解決實際問題）。我們要研究指數函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點，函數圖象的位置、變化趨勢等。研究的方法是先畫指數函數的圖象，然后觀察圖象，歸納概括性質。

（設計意圖：明確本節課的研究內容和研究方法，讓學習有了方向和目標。）

問題3：如何畫出函數圖象？

提示：描點法（列表、描點、連線）。

（設計意圖：復習函數作圖的基本方法和步驟，方便學生后續畫出具體指數函數的圖象。本節課會再次展示用信息技術畫圖以及利用函數的對稱性畫圖。）

設計說明：以上3個問題的設置，幫學生回憶已學過的知識與技巧方法，為進一步的教學與學習做鋪墊。

環節二：畫出圖象，研究性質

設計說明：提出新問題，合理引導學生基于舊知識的基礎來拓展新知識。

問題4：y=2x是指數函數嗎？其底數是多少？請畫出其圖象。

提示：見對應表格和圖象。（略）

（設計意圖：通過一個簡單的指數函數的作圖，學生能夠初步了解指數函數的圖象，為后續畫圖和研究做好準備。）

問題5：顯然一個函數不具代表性，我們還需要畫出更多的具體指數函數的圖象來進行觀察。請用同樣的方法，在同一直角坐標系中畫出函數y=（）x的圖象。

提示：見對應表格和圖象。（略）

問題6：請對指數函數y=2x和y=（）x的圖象進行比較，它們有什么關系？能否利用指數函數y=2x的圖象畫出函數y=（）x的圖象？

提示：函數y=2x與函數y=（）x的圖象關于y軸對稱，因此可以由其中一個函數的圖象畫出另外一個函數的圖象。

問題7：除了通過圖象觀察之外，你能利用解析式，從代數的角度解釋上面的對稱關系嗎？（可以考慮點坐標之間的關系）

提示：通過以上問題4與問題5的表格，很容易得到：兩個函數上的點，當橫坐標互為相反數時，縱坐標相同。因此，通過代數運算，我們可以得到想要的結論。當然，也可以通過點的對稱性加以分析，這里可以直接通過邏輯推理來實現。

問題8：上面的問題及其結論具有一般性嗎？

提示：很顯然，通過上面的代數運算，我們只需要把上個提示中的具體底數“2”換成一般底數“a”（a>0且a≠1），就可以得到：底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱。

（設計意圖：利用兩個函數圖象的關系，讓學生從圖象和代數運算兩個方面去分析它們之間的關系，培養了學生的邏輯推理能力，同時培養學生從具體到一般、具體到抽象的研究能力。）

設計說明：從一個特殊函數的圖象到另一個特殊函數，并通過特殊函數之間的關系加以過渡引導，吻合學生思維歷程與學習過程。

問題9：請在同一個坐標系中做出y=3x，y=4x，y=（）x，y=（）x的圖象。你是怎樣做的？

提示：學生用描點法作出y=3x，y=4x的圖象，然后利用問題8的結論做出y=（）x，y=（）x的圖象。

（設計意圖：鞏固前面所得到的結論。）

問題10：我們已經畫出了六個指數函數的圖象了，現在借助信息技術，老師畫出更多的指數函數的圖象，請同學們觀察這些圖象來研究它們的性質，看看它們到底有哪些共性。

提示：用信息技術畫出更多的指數函數的圖象。根據圖象分析：指數函數y=ax（a>0且a≠1）的圖象按底數a的取值，可分為01兩種類型，因而，指數函數的性質也可以分為01兩種情況進行研究。

一般，指數函數的圖象和性質如表1所示。

（設計意圖：類比冪函數的性質研究，“以形助數”再“以數助形”，引導學生分類討論、有序觀察、歸納概括，培養學生的直觀想象素養，提高學生的理性思維能力。）

設計說明：由特殊到一般，吻合辯證唯物主義思想，也是我們學習過程中的一種重要思維方式。

環節三：例題講解，練習鞏固

例1.（教材第108頁例4）比較下列各組中兩個數的大小。

（1）3.51.5，3.51.3；

（2）0.3－3.5，0.3－2.3

（3）1.20.5，0.51.2

問題11：回顧冪函數的類似問題，我們是怎樣進行比較的？

提示：求解依據是函數單調性的定義。具體方法是構造函數，根據函數單調性比較大小，或者用“中間值”的方法進行比較。

設計說明：合理類比已經學過的知識，為新知識的應用提供更加寬廣的空間。

練習1：比較下列各組中兩個數的大小。

（1）1.72.5，1.73

（2）0.31.5，0.31.3

（3）0.70.8，0.80.7

（設計意圖：例1利用指數函數的單調性比較兩個數的大小，進而讓學生熟悉指數函數的性質，幫助他們形成用函數觀點解決問題的意識。練習1的設置，讓學生進一步鞏固了指數函數的單調性，特別是對同冪函數進行辨析理解。）

例2.（教材第109頁例5）已知指數函數f（x）=ax的圖象經過點（2，7），求f（－6）和f（3）。

練習2：已知指數函數f（x）=ax的圖象經過點（3，），求f（－2）和f（4）。

（設計意圖：依托指數函數的解析式來分析與求解，并基于對應的解析式求解，進一步求解函數值。）

例3.（教材第109頁例6）一種放射性物質不斷衰變為其他物質，每經過1年剩余的量是原來的84%，畫出這種物質的剩余量隨時間變化的圖象，并從圖象上觀察大約要經過多少年，剩余量是原來的50%。

環節四：歸納小結，鞏固提升

設計說明：合理總結，系統小結，使課堂教學重點更加突出，難點得以明確，思維得以拓展，能力得以提升。

問題12：回顧所學內容并回答問題。

（1）通過本節課對指數函數圖象和性質的研究，我們必須明白學習和研究一個函數的基本途徑、研究內容、研究方法分別是什么。

（2）本節課在畫指數函數圖象時，運用了哪些畫圖方法？

（3）本節課的學習過程中，我們學會了哪些數學思想和方法？

提示：（1）學習和研究一個函數的基本途徑是：實例（背景）→函數的定義（概念）→圖象（描點法+信息技術）→性質（定義域、值域、單調性、奇偶性等）→應用（解決實際問題）。

研究內容：定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點、函數圖象的位置、變化趨勢等。

研究方法：先畫指數函數的圖象，然后觀察圖象，最后歸納概括性質。

（2）描點法作圖、利用信息技術畫圖、通過代數計算利用對稱性畫圖。

（3）本節課我們學會了由特殊到一般、數形結合、分類討論等數學思想和方法。

（設計意圖：通過課堂小結，讓學生對本節課學習的內容不僅從知識層面進行了回顧鞏固，還同時從數學思想方法層面進行提升，這有利于學生更好地構建知識結構，更全面地培養學生的數學素養。）

四、教學總結

指數函數是學生在學習了一般函數的概念與性質，特別是學習了冪函數的研究方法之后，利用類比思想，再次深入學習的一類具體函數，最后利用這些函數構建的函數模型來解決現實生活中的實際問題，從而讓學生進一步掌握函數的研究方法及分析方法，并學會用函數的觀點去研究問題、思考問題、分析問題和解決問題。總之，指數函數是進一步培養學生的數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養，進一步優化學生認知結構的重要知識載體。

（作者單位：甘肅省景泰縣第一中學）

編輯：張俐麗