巧思維切入，妙視角拓展

劉偉華

摘 要：數學解題與研究是一個深層次的數學教學與學習過程，也是積累知識與經驗、掌握技巧與方法的重要場所.本文通過一道強基計劃的向量綜合問題的展示，結合不同數學思維的應用，剖析解題的方法技巧，深入拓展與研究，凸顯數學本質與內涵，引領并指導解題研究與復習備考.

關鍵詞：向量；思維；視角；拓展；投影

平面向量集“形”“數”于一體，既有“形”的結構特征，又有“數”的基本屬性，是溝通幾何與代數的一種非常有效的工具.因而，平面向量的綜合應用問題成為各級各類考試中的基本題型，形式多樣，變化多端，同時問題的切入思維多變，解題的技巧方法眾多，成為數學試卷中的一道特殊的“風景線”，倍受各方關注.

1?問題呈現

該問題以三個單位向量為場景創設問題，借助其中兩個向量的數量積為定值（此時可以確定該兩個向量的夾角），由此確定兩“定點”與一“動點”，結合動點的運動變化情況，進而解決涉及平面向量的數量積的代數式的最值問題.

而在具體解決問題時，可以從平面向量的“形”的結構特征與“數”的基本屬性等不同思維切入，通過“形”中的平面幾何知識、投影定義等，以及“數”中的坐標運算、數量積基本性質等技巧方法來分析與應用，實現問題的突破.

2?問題破解

2.1?幾何思維

方法1：（投影法1）

解后反思：根據平面向量自身“形”的結構特征，通過向量投影的定義加以直觀處理，經常是解決平面向量數量積的最值中比較特殊的一種技巧方法.這里方法1和方法2分別借助局部與整體的平面向量投影思維來處理，思維視角不同，解題思維一致，殊途同歸.局部視角要進行必要的變形與轉化，整體視角要求圖形更加復雜，各有利弊.

方法3：（數量積定義法）

解后反思：根據題設場景，結合向量的模與向量的夾角等的確定，構建合適的平面直角坐標系，利用坐標運算來分析與處理平面向量問題，是平面向量自身“數”的基本屬性的一個重要體現.而代數思維處理平面向量中的最值問題時，往往離不開函數與方程、三角函數、不等式等相關知識的應用.

2.3?不等式思維

方法5：（數量積性質法）

3?變式拓展

3.1?類比拓展

結合以上問題的解題思路與技巧方法，保留題設條件與所求解的向量數量積的表達式，通過對問題提問方式的合理類比，改變不同的視角，得到對應的變式問題.

以上三個變式問題的解題思路與技巧方法可以直接參考原問題的解題過程，這里不多加以展開與敘述.

3.2?深入拓展

結合以上問題的解題思路與技巧方法，保留題設條件，通過改變所求結果中的向量數量積的表達式，進而解決相應的最值問題.

4?教學啟示

波利亞曾說過：“掌握數學就是意味著善于解題.”而在日常的數學習題教學過程中，還要引導學生樹立正確的解題意識，讓學生認識到解對一道數學習題僅僅是解題的初始階段，看透一個問題的真諦和把握數學習題的本質才是解題的追求，對典型例習題合理有效地深入挖掘其內涵與實質，進行巧妙變式與拓展，提升自身良好的數學品質，提升自身數學核心素養.