多維探究：基于深度學習的初中數學課堂教學

浙江省杭州市富陽區東洲中學 陸煒平 浙江省杭州市富陽區郁達夫中學 陳建國

當課堂還沉浸在“填鴨式”教育，即“教師講講講，學生練練練”時，“雙減”政策強勢出臺，使得這種教育的“最后一根稻草”終于承受不住了.在雙減背景下，教師不得布置過重的作業，學生也沒有機會在課后尋找培訓機構重新補習.如何提高課堂教學質量迫在眉睫！

“深度學習”就是指在教師的引領下，學生能圍繞具有挑戰性的問題，全身心積極參與其中，并體驗成功，最終獲得發展的一個有意義的學習過程.在這個過程中，學生掌握科學的核心知識，把握學科的本質及思想方法，形成既具有獨立性、批判性、創造性又有合作精神、基礎扎實的優秀的學習者，成為未來社會實踐的主人.

數學是一門鍛煉個人思維能力，邏輯性、探究性很強的學科.作為數學教師，要在平時的教學中多引導學生進行課堂探究，讓學生主動參與到發現問題、尋找答案的過程中，從而培養學生探究興趣，最終解決問題.本文中將以不同的課型教學為例展開具體闡述.

1 概念探究，培養學生的溯源能力

《義務教育數學課程標準》指出課程內容要符合學生的認知規律，它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和其中蘊含的數學思想方法.所以，即使是概念課也不僅要讓學生知道概念的內容，更要讓學生思考概念形成的過程，追本溯源，才能始得真意.

1.1 概念教學課堂的探究設計

以浙教版七年級下冊第一章的第2課時“同位角、內錯角、同旁內角”為例，一般課堂中教師會直接提出同位角、內錯角和同旁內角的概念，然后設計大量的鞏固練習對概念進行辨析.這種教法使得學生只能被動地接受和記住同位角、內錯角、同旁內角的概念.因此對概念進行探究很有必要，在探究的過程中讓學生也當一回數學家，體驗同位角、內錯角、同旁內角的形成過程.具體探究過程可以如下.

圖1

首先回顧兩條相交直線所產生的四個角(如圖1,以下簡稱“兩線四角”)的研究路徑:角的兩兩組合——分類——命名——研究數量關系——得出結論.

回顧兩線四角后，讓學生在兩線上增加一條線，學生會畫出共點(如圖2)和不共點(如圖3)的兩種情況，這時讓學生自己去發現圖2 是在圖1基礎上的深化，而圖3卻不只有對頂角和鄰補角，其他角可能也有研究價值.為了方便表達，我們將圖3稱為“三線八角”，那“三線八角”又該如何研究呢？此時，學生會很自然地類比“兩線四角”的研究過程去研究“三線八角”.此時，放手讓學生們自己去探究，學生會從以下方向去探究：

(1)將角進行兩兩組合，可以組成多少對角？

(2)利用角的位置關系，將角怎么分類？

(3)分類后的角該如何命名？

(4)角的數量關系該怎么研究呢？

圖2

圖3

在探究第(1)個問題時，教師可以引導學生探究不共頂點的一對角，那么學生比較容易得到：將不共頂點的八個角兩兩組合，可以產生16對角.

第(2)個問題是利用角的位置關系，將角進行分類.此時需要對每一個角所在的位置進行統一規定，那么該如何規定呢？這就需要學生去探究，只要標準一致，怎么規定都沒有關系.此刻的學生正像一位數學家那樣在探索一個未知的領域，并且這個領域好像并沒有那樣的遙不可及.給學生以充足的時間去合作探究，教師指導有困難的學習小組.在課堂上，教師能驚喜地發現學生的分類：

方法1：引用方位角，如∠1和∠5為東北角.

方法2：類似方位角，如∠1和∠5為右上角.

方法3：引用界限角，如∠1和∠5為同側同位角.

…………

分類后，名稱就呼之欲出了，但是這個權利一定要先交給學生，讓學生真正體驗一把當數學家的成就感.當然很多學生對部分組合的角，如∠1和∠5的角，已經命名好，就叫東北角(右上角)，也未嘗不可.教師要做的事情是引導學生將所有的角進行命名，此時我們可借助巨人(教材)的力量，為了統一稱呼，規定將形如∠1和∠5的角稱同位角， 形如∠3和∠5的角稱內錯角，形如∠4和∠5的角稱同旁內角.教師也要帶領學生去探索更廣闊的知識領域，讓學生模仿命名剩余的角.只要教師指明方向，學生的想象是無窮的，例如∠1和∠6會命名為異旁異部角，∠1和∠7為外錯角，∠1和∠8為同旁外角……

1.2 探究概念，追本溯源

我們花了大量的時間對16對角的位置關系進行分類，首先是為了讓學生追本溯源，理解數學研究的一般過程是類似的，即研究“三線八角”可以模仿“兩線四角”的過程.同時學生對本節課之后的研究內容——角的數量關系，也有了研究方向.最后還解決了部分學生的疑惑：同位角、內錯角、同旁內角這三類角命名的由來，以及除了這三類角，剩余的幾對角又到底是什么角.通過對角的命名，學生獲得了成功的喜悅，體驗了學習數學的樂趣，激發了對數學探究的熱情.

2 定理探究，培養學生的質疑能力

數學定理是無需質疑的真命題.因此學生對于定理往往是全然接受，完全不會去挖掘定理中蘊含的秘密.殊不知，定理的產生本身就絕非一帆風順，也是數學家像偵探一樣經歷多次嘗試、冒險、質疑，驗證，最后通過不斷地打磨、精簡得到的.

2.1 定理教學的課堂探究設計

以浙教版八年級上冊第2.8課時“直角三角形全等的判定”為例,在該課時中,用“HL”來證明兩個直角三角形全等．但是“HL”和之前我們否定過的“SSA”有著類似的條件, 這又是怎么一回事呢？這樣的引導,勢必會激發學生去質疑、探究．

在設計該課時，教師可以先引導學生回顧利用“SSA”不能證明兩個三角形全等時所采用的反例：如圖4，AC=AC1，AB=AB，∠B=∠B，但△ABC不全等于△ABC1.接著借助幾何畫板，發現在構造圖4時，是因為能構造出AC和AC1兩條相等的線段，如果拖動點C向右移動，發現AC和AC1兩條線段重合(如圖5)時，圖形就唯一了，SSA也就自然成立了，此時△ABC恰好為直角三角形.接著學生必定會讓老師繼續將點C向右移(如圖6)，發現AC1在△ABC的外部，內部AC唯一了，即SSA也成立.采用幾何畫板演示不僅能讓學生直觀地發現圖形的變化過程，更能發現問題所在，現只要將圖4和圖6進行對比，就能發現只要滿足AC>AB即可.

圖4

圖5

圖6

于是問題就轉化為：

如圖7，在△ABC和△A′B′C′中，AC=A′C′，AB=A′B′，∠B=∠B′，AC>AB.求證：△ABC≌△A′B′C′.

圖7

要證△ABC≌△A′B′C′，只要證BC=B′C′即可.假設BC≠B′C′，且BC>B′C′.這樣，在邊BC上就有一點C1，使BC1=B′C′，所以△ABC1≌△A′B′C′，故AC1=A′C′.由題設AC=A′C′，可得AC1=AC，故∠C=∠AC1C.又因為在△ABC1中，∠AC1C>∠B，從而∠C>∠B，由此AB>AC，這與題設中的AC>AB矛盾，故BC≠B′C′不成立，因此BC=B′C′成立[1].

2.2 探究定理，質疑辨惑

引導學生將上述結論的符號語言轉化為文字語言，即“兩邊及其中大邊的對角對應相等的兩個三角形全等”這一定理，結合“HL”，發現“HL”的本質其實就是“兩邊及其中大邊的對角對應相等的兩個三角形全等”這一定理.

對于學生而言，對問題質疑正是激發他們去探索的動力，也是刺激他們去創造的源泉，教師一定要及時引導，不要錯過真正培養學生數學能力的機會.經常給學生親身研究和辨析定理背后秘密的機會，久而久之，勢必會將冰冷的數學變成火熱的思考.

3 變式探究，培養學生的貫通能力

我們說數學之所以會有如此強的邏輯順序，那是因為數學的學習是層層遞進的.新知識的出現不僅要求學生掌握其表面的特征，更要求學生去探索該知識衍生出來的新應用.變式教學能讓學生在新的應用中再創造出新的認知，從而不斷地獲取新知，真正確保新知的落地.

3.1 變式教學的課堂探究設計

以浙教版七年級下冊第三章第4課時“乘法公式(2)——完全平方公式”為例，該節課的難點是認識完全平方公式的結構特征并進行有效地運用.

完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2為標準形式，對標準形式的運用學生一般是沒有問題的，如“計算(a+1)2，(3+2m)2，(x+5y)2”等.作為教師，我們需要做的是通過設計簡單的變式練習，引導學生去探究練習背后的變與不變.如在“(a+1)2，(3+2m)2，(x+5y)2”的計算中，結合標準形式，我們可以先對條件的設置進行如下探究.

探究1：結合公式，練習中的“1”“3”是指公式中的哪一部分？你能將“1”“3”進行拓展嗎？能自己設計一些練習嗎？

探究2：練習中的“2m”“5y”又是指公式中的哪一部分？你能將“2m”“5y”進行拓展嗎？能自己設計一些練習嗎？

探究1說明標準形式中的a和b可以用數來表示，而目前學生學過的數可以拓展到正數和負數，有理數和無理數，學生可能會設計出如(a-1)2，或者(-3+m)2的式子.

接著挑選學生設計的題目，如，計算(a-1)2，(-3+2m)2，(-a-3b)2，引導學生思考如何進行有效計算，探究如下.

探究3：你能利用完全平方公式的標準形式對(a-1)2，(-3+2m)2，(-a-3b)2進行計算嗎？

探究4：結合計算的結果，關于解法，你發現了什么？

探究3中學生基本上會套用公式得出結果，部分學生會在處理結果時忽略化簡.此時教師可做適當引導和展示，如(a-1)2=[a+(-1)]2=a2+2a(-1)+(-1)2=a2-2a+1.

學生的結果如下：

(a-1)2=a2-2a+1；

(-3+2m)2=9-12m+4m2；

(-a-3b)2=a2+6ab+9b2.

得出結果后，教師再引導學生觀察條件和結果之間的符號關系進而來解決探究4，即兩數同號時中間項符號為“+”，兩數異號時，中間項符號為“-”，用符號語言表達為：

(a+b)2=(b+a)2=(-a-b)2=(-b-a)2=a2+2ab+b2；

(a-b)2=(b-a)2=(-a+b)2=(-b+a)2=a2-2ab+b2.

3.2 探究變式，融會貫通

通過對變式練習的初次探究，得出了兩數差的平方公式，學生發現兩數差的平方公式本質還是兩數和的平方公式，讓學生體會利用數學知識的本源對知識進行貫通是數學的橫向發展，即水平數學化.

通過對變式練習的深入探究后，發現乘法公式是在整式單元中學習的，而且學生對根式和分式的概念也不是很清晰，但通過對比，學生體會到整式的學習方法和策略可以為分式和根式的學習提供研究方向.因此，方法的使用是貫通的，這是數學知識的縱向發展，即垂直數學化[2].

巧妙地設計和利用變式，讓學生體會數學知識與方法之間是相通的，讓學生自己去經歷這個過程，真正地將知識方法融會貫通.

4 結語

在“雙減”背景下,學校課堂教學主陣地的地位越加凸顯．因此向課堂要質量是教師迫切需要解決的問題．“探究式”課堂能讓學生變“被動接受”為“主動探索”,從根本上去理解數學、再創數學,引領學生深度學習,從而提高課堂質量,確?！半p 減”有效落地.同時“探究式”課堂也能讓學生追本溯源、質疑解惑、融會貫通,真正地確保能力落地,促進學生終身發展．