把握解析式分離本質(zhì) 突破含參不等關(guān)系問題

文/廣州大學數(shù)學與信息科學學院 朱凱良 盧建川

含參不等式“恒成立”問題是高中數(shù)學的教學難點之一，該類問題的解決由于涉及函數(shù)、方程、不等式及幾何圖形等多方面知識，還涉及轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類與整合等思想方法，歷來是各類考試命題的熱點。關(guān)于此類問題，最典型的解決方法有判別式法、數(shù)形結(jié)合法、分離參數(shù)法等。這個階段的學生學習數(shù)學的障礙之一就是解題方法太過靈活，難以捉摸，況且這些方法中除了數(shù)形結(jié)合法，其他都只是停留在“數(shù)”的層面，這樣淺嘗輒止的學習使得學生無法從根本上理解此類問題的解法本質(zhì)。由此，本文提出“解析式分離法”以突破此類含參不等關(guān)系問題。該法旨在通過圖像的輔助，在“形”的層面上加以明晰，使學生從“數(shù)”和“形”兩方面深刻體會數(shù)學嚴謹?shù)倪壿嬓院透拍钪g的內(nèi)在聯(lián)系，從根本上形成此類問題的解題思路。

一、解法本質(zhì)的揭示

一個含有參數(shù)的函數(shù)如y=f（x，a）（a為參數(shù)），我們稱其為動態(tài)函數(shù)，相應(yīng)的不帶參數(shù)的函數(shù)如y=f（x），我們稱其為靜態(tài)函數(shù)。以下先通過一道二次函數(shù)恒成立問題揭示其解法本質(zhì)：

例1已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+1，當x∈R時，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

“解析式分離法”的解題邏輯：先對原函數(shù)進行分離簡化，拆分為一個動態(tài)函數(shù)和一個靜態(tài)函數(shù)，再對分離后的兩個函數(shù)進行圖像比較，從而根據(jù)動態(tài)函數(shù)的變化情況，求出參數(shù)的范圍。其中關(guān)鍵是分離方式的選擇，筆者總結(jié)為三種分離模式：1.如果函數(shù)本身就是熟知的、可以直接畫出函數(shù)圖像的初等函數(shù)，則將其分離為y=f（x，a）與y=R的形式；2.如果函數(shù)本身可以通過恒等變形拆分為兩個初等函數(shù)的和或差，則將其分離為y=p（x，a）與y=q（x）的形式；3.如果函數(shù)本身比較復(fù)雜，可以選擇通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，則將其分離為y=a與y=h（x）的形式。

二、含參不等關(guān)系問題求解分析

例2（2018年高考全國Ⅰ卷·理）

已知f（x）=|x+1|-|ax-1|，當x∈（0，1）時不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍。

原解概要：當x∈（0，1）時，原問題等價于求當x∈（0，1）時，使|ax-1|＜1恒成立的實數(shù)a的取值范圍的求解。對a展開分類討論得a≤0時|ax-1|≥1不成立，a＞0時|ax-1|＜1的解集為，所以≥1，故實數(shù)a的取值范圍是（0，2]。

另解：首先確立動態(tài)函數(shù)：y=|ax-1|和靜態(tài)函數(shù)：y=1。注意到x∈（0，1）并對a進行分類討論：

（1）當a≤0時，ax≤0，則|ax-1|≥1，原不等式不成立；

（2）當a＞0時，借助圖像進行分析。①當時，動態(tài)函數(shù)滿足在x∈（0，1）時小于1.②當時，動態(tài)函數(shù)滿足在時小于1，當時，動態(tài)函數(shù)單調(diào)遞增，則存在一個臨界位置（可取），即與直線x=1的交點（1，1）。綜上，即當x=1時，需滿足ax-1≤1，求得實數(shù)a的取值范圍是（0，2]。

三、總結(jié)與反思

“解析式分離法”作為一種通解通法，可以規(guī)避因解法選擇帶來的困難。“解析式分離法”適用面廣泛，且通過抽象與形象思維的結(jié)合，從“數(shù)”與“形”兩個角度進行直觀表征，有助于學生形成“數(shù)形結(jié)合”的思想，從而更加清晰直觀地領(lǐng)會“恒成立”這個數(shù)學概念。“解析式分離法”雖然不是所有問題的最優(yōu)解，但是它可以引導(dǎo)學生以一種整體性的角度理解不同解法之間的共性，從“數(shù)”和“形”兩個角度深度把握此類問題的數(shù)學本質(zhì)，從而突破含參不等關(guān)系問題。