形式與本質：兩步計算的混合運算表示什么

宋新霞 （山東省諸城市實驗小學）

在我們身邊發生的各種生活現象、自然現象、社會現象，在表示各種現象的過程中，數學知識就產生了。從這個角度上看，某些數學知識是數學研究、數學表達的結果。指導小學生學習這些數學知識，要讓他們看到表達什么，并讓他們模擬知識探究的過程，這對于準確地理解知識非常重要。

昨天，聽了三年級一位老師講兩步計算的混合運算練習課，很受啟發。做計算題時，老師要求學生先讀算式，并反復強調：“把主干讀出來。”老師說的“主干”指什么呢？是算式中表示重點運算、易錯步驟的關鍵字詞。比如算式（86-32）÷9，讀作：86與32的差除以9，“差”是主干，要重讀；算式8×（34+23）讀作：8乘34與23的和，“和”是主干，要重讀。讀題時，讓學生使用重音，把運算步驟讀出來，就是把運算的邏輯讀出來，把算式表達的意義讀出來。我覺得，這種方法對于孩子分析和理解題意很有用。但是，我認為，就以上兩個算式來說，“差”“和”所表示的并不是運算的“主干”，這個算式的運算“主干”是“除以”和“乘”。

弄清兩步混合運算式的主干，要從其本質（即意義）來分析。孩子們已經知道，（86-32）÷9被叫作混合運算。那么，混合運算式（86-32）÷9與8×（34+23）表示的意義是什么呢？我覺得，要弄明白這個問題，必須要讓孩子明確，這兩個算式作為一個結果，最初要表示什么、最終要求什么。在研究這部分知識的情境問題時孩子們就知道了，（86-32）÷9這樣的算式是用來表示平均分的，8×（34+23）是用來表示幾個相同加數的累加的。那么，（86-32）÷9這個含有減法和除法的混合算式，在本質上就仍然是除法，而不是減法；8×（34+23）這個含有加法和乘法的混合算式，本質上仍然是乘法，而不是加法。算式的計算步驟也很好地對應了這一本質，（86-32）÷9的最后一步是除法，8×（34+23）的最后一步是乘法，說明最終求的是平均分、相同加數的累加。

從構成來看，兩步計算混合算式跟一步計算乘除法所含有的要素相同，（86-32）÷9也是由被除數、除號、除數組成的，8×（34+23）也是由因數、乘號、因數組成的。區別在于書寫形式有不一樣之處，一步計算除法和乘法的每個部分都是數或符號，而兩步計算混合運算有一個部分是算式。這種區別恰恰表明了兩步計算混合運算的本質是表示一個需要兩步完成的任務。所以，兩步計算的混合運算，本質仍然是加、減、乘、除運算，只不過，它的兩個加數、兩個因數、被減數、減數、被除數、除數中有一個或兩個是用算式表示的，這個算式表示需要完成的第一步任務，在計算時，要先把用算式表示的那個加數、因數、被減數、減數、被除數或除數計算出來，為了能夠把這個用算式表示的部分先算出來，有時需要用到一個特殊的符號：（ ）。

根據以上分析，孩子們就會知道，兩步計算混合運算的主體運算，是由它最初要表示的意義決定的，從計算的過程來看則體現在它的最后一步運算上。

因為（86-32）÷9的主干運算是除法、8×（34+23）的主干運算是乘法，孩子一定要把觀察的重點放在除號和乘號上，據此判斷這是個除法算式、乘法算式，表示最終完成的任務是平均分或累加，讀題的時候，把“除以”和“乘”重讀；然后再觀察被除數、除數、兩個因數中哪一個是算式，判斷這是首先要完成的任務，要把這個算式的運算符號重讀。

總之，兩步計算的混合運算，其本質仍然是加、減、乘、除運算，表示最終要完成的任務，與一步加減乘除運算的區別是算式中有一部分或兩部分是一個算式，表示在完成最終的任務之前，先要完成這個任務。混合，表示的是其書寫形式；先算非主干運算，再算主干運算的運算順序，表示做事的先后順序；一個任務，需要用兩步完成，則是算式的本質。