“零點定界,特殊值定域”求解含絕對值的不等式

東莞市第五高級中學(523287) 揭烽

“零點定界,特殊值定域”求解含絕對值的不等式

東莞市第五高級中學(523287) 揭烽

解含絕對值的不等式是高中數學的重點、難點,也是歷年各地高考的重要考點.本人結合自己的教學經驗,就含絕對值的不等式的解法作了一些思考,總結出用“零點定界,特殊值定域”來求解不等式的方法,希望能幫助更多的學生掌握不等式的解法.

零點 界 含絕對值的不等式

一、問題的提出

在高中數學的教學過程中,本人發現部分學生在解含絕對值的不等式時經常出現錯誤,他們知道“分區間討論法”,但絕對值內的式子取本身還是取相反數讓他們暈頭轉向,倘若要他們用“圖像法”畫出函數圖像解題或者利用“絕對值的幾何意義”來求解就更難了.究其原因是這些學生的數學基礎比較薄弱,不等式的邏輯關系稍微復雜些就容易讓他們產生混亂,因此本人希望找到一個讓學生更容易掌握的方法求解含絕對值的不等式.解決線性規劃問題時畫可行域的口訣“線定界,點定域”給了我一個靈感,為何不教學生“零點定界,特殊值定域”求解含絕對值的不等式呢?

二、問題的思考

為什么可以用“零點定界,特殊值定域”求解含絕對值的不等式呢?在必修1學函數與方程的關系時,我們得出結論：“方程f(x)=0有實數根??函數y=f(x)的圖像與x軸有交點??函數y=f(x)有零點”.所以,當y=f(x)的圖像是連續不斷的一條曲線時,零點附近一定區域內的點具有相同的不等關系,我們就可以用特殊值試出該區域內的點所具有的不等關系.

“零點定界,特殊值定域”的方法有著與“分區間討論法”和“圖像法”相通的地方,也蘊藏著分類討論的思想,但它也有不同之處,例如這里所說的“零點”與“分區間討論法”中的分界點不同,它是整個不等式對應函數的零點,而不是指單個絕對值式子的零點.

用“零點定界,特殊值定域”求解含絕對值的不等式的步驟可分為三步：(1)求零點;(2)代特殊值;(3)選取區域.對于數學基礎薄弱的學生來說只需按步驟做題就行,可操作性強,是一種容易掌握的方法.

三、“零點定界,特殊值定域”方法的應用

(一)用“零點定界,特殊值定域”解|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式

例1 解不等式|3x-1|≤2

解析本題屬于容易題.用“零點定界,特殊值定域”求解,步驟如下：

(1)求零點：求出|3x-1|=2的兩根,即分別解方程

(2)代特殊值：

圖1

如圖,兩個根將數軸分成3個區域,我們分別在各個區域找特殊值代入原不等式看是否成立,例如：在區域①處選擇特殊值x=-1代入|3x-1|≤2,不成立;

在區域②處選擇特殊值x=0代入|3x-1|≤2,成立;

在區域③處選擇特殊值x=2代入|3x-1|≤2,不成立.

(3)選取區域：

由此可見,用“零點定界,特殊值定域”解|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的過程雖然有些啰嗦,但并不復雜,而且它還避開了取“中間”還是“兩邊”的困難選擇,讓學生更容易求出不等式的解.

(二)用“零點定界,特殊值定域”解|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式

1.不等號右邊為0型

例2 (2011高考廣東,理9)不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是

解析(1)求零點：分別解方程(x+1)-(x-3)=0=?無解;(x+1)+(x-3)=0=?x=1;-(x+1)-(x-3)= 0=?x=1;-(x+1)+(x-3)=0=?無解

(2)代特殊值：

在區域①處選擇特殊值x=0代入|x+1|-|x-3|≥0,不成立;

在區域②處選擇特殊值x=2代入|x+1|-|x-3|≥0,成立.

圖2

(3)選擇區域：

區域②滿足要求,所以原不等式的解集為[1,+∞).

2.不等號右邊為非零常數型

例3 (2014高考廣東.理9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集為

解析(1)求零點：分別解方程(x-1)+(x+2)=5=?x=2;(x-1)-(x+2)=5=?無解;-(x-1)+(x+2)= 5=?無解;-(x-1)-(x+2)=5=?x=-3.

(2)代特殊值：

圖3

在區域①處選擇特殊值x=-4代入|x-1|+|x+2|≥5,成立;

在區域②處選擇特殊值x=0代入|x-1|+|x+2|≥5,不成立;

在區域③處選擇特殊值x=3代入|x-1|+|x+2|≥5,成立.

(3)選擇區域：

區域① ③ 滿足要求,所以原不等式的解集為(-∞,-3]∪[2,+∞).

3.多重絕對值型

例4 (2016高考全國1,文24)選修4－5：不等式選講

已知函數f(x)=|x+1|-|2x-3|,(I)略;(II)求不等式|f(x)|＞1的解集.

解析(II)用“零點定域,特殊值定域”求不等式||x+1|-|2x-3||＞1的解集.

(1)求零點：分別解方程(x+1)-(2x-3)=1=?x=3; (x+1)+(2x-3)=1=?x=1;-(x+1)-(2x-3)=

(2)代特殊值：

圖4

在區域①處選擇特殊值x=0代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立;

在區域③處選擇特殊值x=2代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立;

在區域④處選擇特殊值x=4代入||x+1|-|2x-3||＞1,不成立;

在區域⑤處選擇特殊值x=6代入||x+1|-|2x-3||＞1,成立.

(3)選擇區域：

4.不等號右邊為函數型

例5 解不等式|x-1|+|2-x|＞x+3.

解析(1)求零點：分別解方程(x-1)+(2-x)=x+3=?x=-2;(x-1)-(2-x)=x+3=?x=6;-(x-1)+(2-x)=x+3=?x=0;-(x-1)-(2-x)=x+3=?x=-4.

經檢驗,x=-2,x=-4并不是方程|x-1|+|2-x|=x+3的解,所以舍去.

(2)代特殊值：

圖5

在區域①處選擇特殊值x=-1代入|x-1|+|2-x|＞x+3,成立;

在區域②處選擇特殊值x=1代入|x-1|+|2-x|＞x+3,不成立;

在區域③處選擇特殊值x=7代入|x-1|+|2-x|＞x+3,成立.

(3)選擇區域：

區域① ③滿足要求,所以原不等式的解集為(-∞,0)∪(6,+∞).

四、結束語

本文探討了如何利用“零點定界,特殊值定域”來求解含絕對值的不等式,旨在幫助數學基礎薄弱的學生求解含絕對值的不等式.“零點定界,特殊值定域”的三個步驟讓學生解題時思路清晰,有(方)法可依,提高了學生分析問題、解決問題的能力,希望更多的學生利用此方法順利解題.

[1]人民教育出版社數學室編著.普通高中課程標準實驗教科書數學必修1[M].北京：人民教育出版社,2007,1

[2]人民教育出版社數學室編著.普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-5[M].北京：人民教育出版社,2007,1