例析數形結合思想巧解高考“含參”題

江蘇省揚州大學數學科學學院(225002) 姚喬 濮安山

例析數形結合思想巧解高考“含參”題

江蘇省揚州大學數學科學學院(225002) 姚喬 濮安山

方程、函數、幾何等問題一直是高考中的必考點,而大多數情況下參數的范圍、參數的最值等問題設置在這些背景中,如果單純地用代數方法解題,繁瑣的計算增大了考生的解題難度.如果利用數形結合思想來解題,可以巧妙地避開復雜的代數運算,并且保證正確率.正如華羅庚先生所說,“數缺形時少直觀,形少數時難入微,數形結合百般好,割裂分家萬事休.”這再次道出了數形結合思想的重要性.在解決方程、函數、幾何背景下的“含參”問題時使用數形結合思想,特別是“以形助數”的方法,可以大大簡化解題過程,提高解題速度和正確率.

一、數形結合巧解參數取值范圍問題

例1 (2014江蘇高考第13題)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數,當x∈[0,3)時,若函數y=f(x)-a在區間[-3,4]上有10個零點(互不相同),則實數a的取值范圍是___.

分析此題是江蘇高考填空題的倒數第二題,考查參數取值范圍問題,涉及了絕對值函數、周期函數,題目較難.單純對函數作討論,思路無法打開,不妨以形代數,畫出函數上的圖象,很容易看出函數的單調性、極值等情況,同時由于函數有周期性,只需要在x∈[0,3)上觀察討論,可以得到在x∈[0,3)上,y=a與有4個交點,這是成功解決此題的突破口.

圖1

二、數形結合巧解單參數最值問題

例2 (2015江蘇高考第12題)在平面直角坐標系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點,若P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則c的最大值為____.

分析此題是江蘇高考填空題的倒數第三題,考查雙曲線的相關性質和最值問題,有一些難度.分析此題有兩個角度,一方面題目中出現距離,可以從點到直線的距離公式d入手,進而求最值確定c的值,此時d中有根號還有絕對值,求其最值有些麻煩;另一方面從題面上看是求c的最大值,其實是求點到直線的最小值,考慮雙曲線的性質又涉及到距離問題,此時畫出雙曲線和直線的圖象,易在圖上發現特殊情況,即點P恰好在雙曲線右支的漸近線上,把點到直線的距離問題轉化到直線到直線的距離問題上.

解析如下圖2,作直線x-y+1=0的圖象,并在同一直角坐標系中作出雙曲線x2-y2=1右支及其漸近線y=x的圖象.因為直線y=x+1的斜率與雙曲線的漸近線y=x的斜率相同,所以右支上的點到直線y=x+1的距離恒大于直線y=x+1到漸近線y=x的距離為即

圖2

三、數形結合巧解雙參數的最值問題

例3 (2012全國新課標卷理第21題)已知函數f(x)滿足

(1)求f(x)的解析式及單調區間;

分析此題是新課標全國卷的壓軸題,第二問中的求解最值問題涉及雙參數,而且兩個參數都沒有一些明顯的限制條件,此題為難題.利用條件給出的不等關系,可以整理得到ex≥(a+1)x+b,此時仍然不明晰,不等式兩邊是兩個函數,不妨作y=ex和y=(a+1)x+b的圖象,觀察易得到a+1＞0限制條件,并且會注意到兩個圖象相切的特殊情況,進而把雙參數的最值問題轉化為一元函數的最值問題.

解析(1)略.

(2)因為f(x)≥故由題意可知,h(x)=ex-(a+1)x-b≥0,整理得,

ex≥(a+1)x+b①如圖3,作y=ex和y=(a+1)x+b的圖象.由圖可知,要使①式恒成立,則需a+1＞0,因此要使(a+1)b最大,需要b＞0,而①式恒成立.若y=ex和y=(a+1)x+b相切,(a+1)b取到最大值.

圖3

不防設y=ex和y=(a+1)x+b相切時的切點坐標為(x0,y0),則有且

鞏固練習

2.在極坐標中,圓ρ=8sinθ上的點到直線(ρ∈R)距離的最大值d是___.

3.設m,k為整數,方程mx2-kx+2=0在區間(0,1)內有兩個不同的根,則m+k的最小值為___.

參考答案：1.(-∞,0)∪(1,+∞);2.6;3.13.