性質(zhì)應(yīng)用，變式拓展

袁銳洪

摘 要：數(shù)學(xué)中一些相關(guān)的“二級結(jié)論”，對于解決數(shù)學(xué)客觀題有奇效，也為問題的變式與拓展提供更多的條件.本文結(jié)合一道高考模擬題中有關(guān)拋物線焦點(diǎn)弦的最值問題，利用“二級結(jié)論”加以巧妙應(yīng)用，合理開拓思維，變式拓展提升，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：性質(zhì)；變式；拋物線；焦點(diǎn)弦；最值

借助數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)思想方法等總結(jié)歸納得到的一些相應(yīng)的“二級結(jié)論”，往往特點(diǎn)明顯，簡單易懂，容易記憶，對于解決數(shù)學(xué)客觀題有很好的幫助，倍受各方關(guān)注.本文結(jié)合一道高考模擬題，就拋物線的焦點(diǎn)弦中的一個“二級結(jié)論”的應(yīng)用加以展示，闡述性質(zhì)應(yīng)用，進(jìn)一步變式拓展.

1 問題呈現(xiàn)

問題 （2023屆安徽省池州市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷）已知拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過定點(diǎn)（2，0）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AF與E的另一個交點(diǎn)為C，BF與E的另一個交點(diǎn)為D，則|AC|+2|BD|的最小值為____.

本題是一道求過拋物線的焦點(diǎn)的直線產(chǎn)生的弦長有關(guān)的最值問題，主要考查學(xué)生對于拋物線的定義及性質(zhì)的掌握情況.針對本題的特點(diǎn)，適合利用坐標(biāo)運(yùn)算來解決，結(jié)合弦長的表達(dá)式的確定，合理消元轉(zhuǎn)化，減少參數(shù)個數(shù)，并結(jié)合表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特征，利用基本不等式來確定最值.

5 教學(xué)啟示

5.1 知識歸納，技巧總評

合理利用圓錐曲線中的一些“二級結(jié)論”，如以上的拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)結(jié)論，對于問題的解決起到非常好的優(yōu)化作用.而這些相關(guān)的“二級結(jié)論”，正是知識歸納與總結(jié)的結(jié)果.

而對于拋物線中過焦點(diǎn)有關(guān)的弦長計(jì)算，主要有兩種方法：（1） 根據(jù)弦長公式，通過坐標(biāo)運(yùn)算，求出弦長表達(dá)式；（2） 借助拋物線的定義，通過幾何運(yùn)算，求出弦長的表達(dá)式；（3） 利用幾何圖形特征，通過數(shù)形結(jié)合來轉(zhuǎn)化并進(jìn)行幾何運(yùn)算與求解等.坐標(biāo)運(yùn)算是解決直線與拋物線有關(guān)的線段問題的最常用的方法，通過坐標(biāo)運(yùn)算可以把線段用坐標(biāo)來表示，對于動點(diǎn)較多的情況，可以考慮結(jié)合題目的條件去尋找點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而減少變量的個數(shù)，并最終轉(zhuǎn)化為只含一個變量的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式求出最小值.

對于平面解析幾何中相關(guān)代數(shù)式的最值問題，根據(jù)所求的表達(dá)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)那蠼庾钪祮栴}的基本方法：函數(shù)的圖象與性質(zhì)、基本不等式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等.

5.2 開拓思維，變式拓展

在實(shí)際解題過程中，要合理開拓解題思維，借助變式與拓展，合理引領(lǐng)學(xué)生對問題進(jìn)行探索與研究，結(jié)合“一題多變”，從更多層次來挖掘問題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，由“一題”到“一類”，真正鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，提升數(shù)學(xué)能力.

合理恰當(dāng)?shù)摹白兪健蹦芏嘟嵌?、全方位、高視角地理解?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識.數(shù)學(xué)的魅力在于不斷地“變化”，從“變”中找規(guī)律，從“變”中提能力.有“變”才能“活”，有“活”才能創(chuàng)新.探究、變式、引申、推廣等更能促進(jìn)數(shù)學(xué)的理解，成為研究數(shù)學(xué)問題的常用手段之一，同時也使得數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力得到更好的拓寬和加強(qiáng)，達(dá)到了舉一反三，觸類旁通的目的.