培養(yǎng)模型觀念的初中函數(shù)教學(xué)實(shí)踐

繆娟

摘 要：初中階段培養(yǎng)模型觀念，需要借助具體的教學(xué)內(nèi)容，如“數(shù)與代數(shù)”中的方程、不等式、函數(shù)，“圖形與幾何”等.針對(duì)“用一次函數(shù)解決實(shí)際問題”一課進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，既關(guān)注數(shù)學(xué)與實(shí)際的結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)一次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，加深對(duì)模型觀念的認(rèn)識(shí)與理解，又讓學(xué)生借助函數(shù)圖象分析問題，形成解決問題的思路，發(fā)展模型觀念，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.

關(guān)鍵詞：模型觀念；一次函數(shù)；函數(shù)圖象

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》）明確指出函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)：能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡(jiǎn)單實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，理解函數(shù)值的意義；能確定簡(jiǎn)單實(shí)際問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會(huì)求函數(shù)值；能結(jié)合函數(shù)圖象對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析.由此可見，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的關(guān)鍵能力是：“關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際的結(jié)合，讓學(xué)生在實(shí)際背景中理解數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，經(jīng)歷從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型、求解模型、驗(yàn)證反思的過程，形成建模觀念.”模型觀念作為初中階段的核心素養(yǎng)之一，應(yīng)在平時(shí)教學(xué)實(shí)踐中積極嘗試，促其落地生根.

1 教學(xué)價(jià)值

“用一次函數(shù)解決實(shí)際問題”是初中數(shù)學(xué)（蘇科版）首次運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的標(biāo)志性內(nèi)容，圍繞學(xué)生進(jìn)入初中后“用圖象解決問題”的難點(diǎn)，筆者針對(duì)這一難點(diǎn)，以行程問題為載體進(jìn)行一次函數(shù)應(yīng)用專題復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)踐，期望幫助學(xué)生打開突破口，培養(yǎng)模型觀念和應(yīng)用意識(shí)，并且一次函數(shù)應(yīng)用題是歷年來南京中考的常考題型，它常把應(yīng)用題與一次函數(shù)融合在一起，又高于應(yīng)用題，它需要學(xué)生具備一定的綜合能力.

2 問題思考

結(jié)合學(xué)生在解決與實(shí)際生活密切聯(lián)系的一次函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，可發(fā)現(xiàn)其主要的困惑有：（1） 不知道先去想象實(shí)際情境，不能還原實(shí)際情景，導(dǎo)致不知道題目說的是什么意思；（2） 不知道從圖象上何處獲取信息，怎樣獲取信息；（3） 習(xí)慣用算術(shù)或方程方法，不知道建立函數(shù)模型解決問題，所以對(duì)于過程比較復(fù)雜，量的變化比較多的題目，無法理順這些量之間的關(guān)系.然而解決這類問題往往需要通過讀圖識(shí)圖、借助數(shù)形結(jié)合來幫助學(xué)生分析、解決問題.鑒于此，教學(xué)實(shí)踐分為從以下三個(gè)活動(dòng)進(jìn)行.

3 教學(xué)實(shí)施

3.1 基于理解，緊扣變量，看圖說話

問題1：請(qǐng)你把這個(gè)故事說完整.

圖中的線段OA和折線OBCD分別表示一列慢車和一列快車沿直線從甲地開往乙地……

學(xué)生1：在一條直線上有甲、乙兩地，一列快車和一列慢車從甲地同時(shí)出發(fā)開往乙地，慢車以50km/h的速度勻速行駛了6小時(shí)到達(dá)，快車以100km/h的速度勻速行駛共3小時(shí)到達(dá)乙地后停留了1小時(shí)，再以150km/h的速度勻速行駛2小時(shí)返回，慢車到達(dá)乙地時(shí)快車正好返回到甲地.

教師追問：要想把這個(gè)故事說完整，你是如何分析函數(shù)圖象，從圖中獲取信息的？

教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖象把故事說完整再進(jìn)行追問，師生交流得到從圖象獲取信息的關(guān)鍵是基于對(duì)函數(shù)圖象的三個(gè)理解：首先要理解變量x、y的實(shí)際意義；再理解特殊點(diǎn)的實(shí)際意義即根據(jù)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)明確每段路徑中的時(shí)間、速度等相關(guān)信息；最后理解點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系即實(shí)際情景每段具體的行駛路徑.“看圖說故事”活動(dòng)的設(shè)置是將實(shí)際生活情境與圖象進(jìn)行對(duì)接，讓學(xué)生學(xué)會(huì)閱讀圖象.

3.2 依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，借助手段，轉(zhuǎn)化信息

問題2：請(qǐng)畫出一些關(guān)鍵時(shí)刻兩車行駛的線段示意圖.

快車、慢車相遇時(shí)線段圖

教師追問：選擇的時(shí)刻和圖象中哪個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)的？為什么？

學(xué)生2：因?yàn)樽兞縴表示兩車距離甲地的距離，所以當(dāng)兩車距離甲地的路程相等時(shí)，即兩車相遇.

教學(xué)說明：根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于行程問題可以借助線段示意圖幫助理解兩車之間的行駛路徑，把函數(shù)圖象上某一特殊時(shí)刻的實(shí)際情景用線段圖來表示，從而把圖象信息向?qū)嶋H情景進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而深刻理解題意，幫助學(xué)生強(qiáng)化綜合與分析的能力.

3.3 聚焦探索，注重提煉，應(yīng)用信息

問題3：請(qǐng)?zhí)岢鲆恍﹩栴}并解決.

學(xué)生3：求出各段的函數(shù)表達(dá)式？

慢車：yOA＝50x（0≤x≤6）.

快車：yOB＝100x（0≤x≤3），

yBC＝300（3＜x≤4），

yCD＝300-150（x-4）（4＜x≤6）.

教學(xué)說明：學(xué)生利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法或數(shù)量關(guān)系法都可以求出每段圖象的函數(shù)表達(dá)式及其它各點(diǎn)坐標(biāo)，求出相關(guān)圖象的函數(shù)關(guān)系式，后面可以利用函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問題.

學(xué)生4：兩車何時(shí)相遇？

當(dāng)yCD＝y(tǒng)OA時(shí)，列得方程50x＝300-150（x-4），解得x＝4.5，即兩車在出發(fā)4.5小時(shí)后相遇；

教學(xué)說明：求兩車相遇的時(shí)間就是求圖象上點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

學(xué)生5：兩車何時(shí)相距50、100、150km等等？

以相距100km為例：

當(dāng)0≤x≤3時(shí)，列得100x-50x＝100，解得x＝2；

當(dāng)3＜x≤4時(shí)，列得300-50x＝100，解得x＝4；

當(dāng)4＜x≤6時(shí)，列得50x-［300-150（x-4）］＝100，解得x＝5.

教師追問1：“兩車之間的距離”能在圖象上表示出來嗎？

教師追問2：這些問題如何變成一個(gè)問題？能不能從函數(shù)的角度研究這個(gè)問題？

教學(xué)說明：“兩車之間的距離”就是在橫坐標(biāo)相同時(shí)，圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差，只要把兩車的函數(shù)關(guān)系式相減，即可表示出兩車之間的距離.利用函數(shù)模型解決問題就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)移到圖象上，把問題中涉及的量轉(zhuǎn)化為圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用函數(shù)關(guān)系式可以快速求得結(jié)果，既直觀又簡(jiǎn)便.

學(xué)生6：兩車之間的距離s（km）隨x的變化而變化，s（km）是x（h）的函數(shù).

教師追問3：如何畫出s（km）與x（h）函數(shù)圖象？

教學(xué)說明：s（km）與x（h）之間的函數(shù)是兩個(gè)一次函數(shù)的差，所以整個(gè)過程s（km）與x（h）之間的函數(shù)仍然是一次函數(shù)通過對(duì)圖1的分析可知圖象分為四段，確定出每一段與每一段之間的拐點(diǎn)的時(shí)間與距離，第一段（OB段）：兩車從甲地同時(shí)出發(fā)，圖象看出兩車之間的距離在不斷增大，直到快車到達(dá)乙地，此時(shí)兩車之間的距離為150km對(duì)應(yīng)的時(shí)間是0≤x≤3；第二段（BC段）：快車到達(dá)乙地后停留了1小時(shí)，兩車之間的距離在慢慢變小，直到快車返回甲地，對(duì)應(yīng)的時(shí)間是3＜x≤4；第三段（CP段）：兩車相向而行，直到相遇，這時(shí)s＝0km，對(duì)應(yīng)的時(shí)間是4＜x≤4.5；第四段（PD段）：兩車相遇后繼續(xù)行駛，快車到達(dá)甲地同一時(shí)刻慢車到達(dá)乙地，這時(shí)兩車相距300km，對(duì)應(yīng)的時(shí)間是4.5＜x≤6根據(jù)以上信息可描出相應(yīng)的點(diǎn)，就可以畫出圖象.

4 對(duì)培養(yǎng)模型觀念的函數(shù)教學(xué)思考

4.1 整體教學(xué)是模型觀念培養(yǎng)的重要教學(xué)方式

《課標(biāo)（2022年版）》要求數(shù)學(xué)教學(xué)要重視圍繞單元進(jìn)行整體教學(xué)設(shè)計(jì)，既要體現(xiàn)各學(xué)科知識(shí)之間內(nèi)在的邏輯關(guān)系，又要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與核心素養(yǎng)之間的外在關(guān)聯(lián).本節(jié)課例是一次函數(shù)的應(yīng)用，教師需要引導(dǎo)學(xué)生站在整個(gè)“一次函數(shù)”單元乃至“函數(shù)”大單元的高度，合理建構(gòu)一次函數(shù)模型，運(yùn)用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問題，加深學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的理解與認(rèn)識(shí).學(xué)生在本章的學(xué)習(xí)和研究中，已經(jīng)掌握了一些應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題和建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的基本路徑，本節(jié)課的教學(xué)重難點(diǎn)是借助函數(shù)圖象解決較為復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題，幫助學(xué)生進(jìn)一步加深和鞏固數(shù)學(xué)模型的意識(shí)和能力.案例中學(xué)生4和學(xué)生5提出的問題都是可以用方程模型來解決的，甚至還有學(xué)生運(yùn)用算術(shù)方法，但在教師的追問下，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和體會(huì)“兩車之間的距離s（km）隨x（h）的變化而變化，s是x的函數(shù).”這樣，教師逐步引導(dǎo)學(xué)生站在模型觀念的高度，結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用不同模型解決問題，最終回歸函數(shù)模型.

4.2 “自”構(gòu)情境，注重?cái)?shù)學(xué)化過程，發(fā)展模型觀念

發(fā)展模型觀念需要選擇好的載體，而好的載體依托好的情景，教師可讓學(xué)生自主搭建情景，使其更貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).問題1要求學(xué)生自主設(shè)計(jì)問題情景，目的是逆向?yàn)閷W(xué)生提供模型建構(gòu)過程.活動(dòng)過程中每一個(gè)同學(xué)都有話可說，讓學(xué)生的思維在與同伴的對(duì)話和老師的交流中涌出來.這一過程是用函數(shù)解決問題的逆向思考，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，積累建模經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)不僅能從條件推演結(jié)果，也可以從結(jié)果想象條件，這是數(shù)學(xué)建模的重要方法.

4.3 自主探究，提升“四能”，發(fā)展模型觀念

模型建構(gòu)的過程離不開學(xué)生的問題意識(shí)，教師設(shè)置自主探索活動(dòng)，由學(xué)生自己提出不同思維層次的問題.比如學(xué)生3的問題突出基礎(chǔ)，利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)和待定系數(shù)法或數(shù)量關(guān)系法，求出每段的函數(shù)表達(dá)式及其他各點(diǎn)坐標(biāo)；學(xué)生4、5和6三位同學(xué)能夠?qū)?shí)際情境與圖象結(jié)合，挖掘圖象信息，提出了行程函數(shù)問題與方程、不等式的密切聯(lián)系的問題；最后教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用函數(shù)的觀念解決問題，利用圖象直觀看出兩人相距問題，其實(shí)就是在橫坐標(biāo)相同時(shí)，圖象上的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差，利用函數(shù)關(guān)系式運(yùn)算即可得到結(jié)果.模型的建構(gòu)需要學(xué)生先發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，還需要教師適當(dāng)引導(dǎo)或讓學(xué)生經(jīng)歷猜想討論等活動(dòng).在進(jìn)一步培養(yǎng)模型觀念的過程中，“四能”所涉及的能力自然得到提升，且提升效率較高.

4.4 滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展模型觀念

近年來，中考對(duì)函數(shù)的考查開始回歸自然、回歸函數(shù)的本質(zhì)，重視對(duì)函數(shù)建模思想和函數(shù)對(duì)稱性、增減性及最值等主要性質(zhì)實(shí)際應(yīng)用的考查，較好地體現(xiàn)了“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”這一知識(shí)形成與應(yīng)用過程，對(duì)一線教師起到了正確的導(dǎo)向作用.在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)模型、準(zhǔn)確理解模型、熟練應(yīng)用模型，既有利于學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)相關(guān)內(nèi)容的核心，還能少走彎路，減少負(fù)擔(dān).函數(shù)模型思想和數(shù)形結(jié)合思想的重要性無須再多贅言，我們要將數(shù)學(xué)思想在此題及拓展變式問題的解決過程中.

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基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度重點(diǎn)課題《基于“四能”的初中數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的案例研究》（批準(zhǔn)號(hào)：B/2021/02/170）.