圓錐曲線的探索性問題研究

許斌

摘 要：圓錐曲線中的探索性問題具有開放性，對數學思維有較高的要求，此類問題要求考生結合條件進行探究、觀察、分析、比較、概括等，其核心素養(yǎng)是數學運算.

關鍵詞：圓錐曲線;探索性問題；數學運算

與圓錐曲線有關的探索性問題是高考命題的熱點，直線或圓錐曲線運動變化時，點、直線、曲線之間的關聯受到一定條件的制約，便產生了是否存在參數的成立問題，是否存在定點、定值問題，是否存在定軌跡等問題.研究過程注重與平面向量、函數、方程、不等式等知識的融合與滲透.

1 題形一：是否存在參數的成立問題

例1 如圖，橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）經過點P1，3/2，離心率e=1/2，直線l的方程為x=4.

（1） 求橢圓C的方程；

（2） AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.

求定值問題常見的方法有兩種：

（1） 從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.

（2） 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

3 題型三：是否存在定軌跡問題（如定直線、圓等）

如何進一步探索直線與圓錐曲線位置關系的問題，關鍵是將他們的位置關系（形），轉化為數量關系（數）的研究上來.在充分理解圓錐曲線知識的基礎上，借助幾何直觀，以幾何的論證推理為基礎，建立適當的代數運算，形成嚴謹的解題思路，選用合理的運算去突破求解，從而解決定軌跡問題.

例3 已知橢圓E：x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率是3/2，P為橢圓上的動點.當∠F1PF2取最大值時，△PF1F2的面積是3.

（1） 求橢圓E的方程；

（2） 若動直線l與橢圓E交于A，B兩點，且恒有OA·OB=0，是否存在一個以原點O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程；若不存在，請說明理由.

所以n2+4n2=4，即n2=4/5，此時原點到直線l的距離d=25/5；

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，設A（x1，y1），B（x2，y2），

由x2/4+y2=1，

y=kx+m，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，

Δ=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4）=16（4k2-m2+1）＞0，x1+x2=-8km/4k2+1，x1x2=4m2-4/4k2+1，

則y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2·4m2-4/4k2+1+km·-8km/4k2+1+m2=m2-4k2/4k2+1，

由OA·OB=x1x2+y1y2=4m2-4/4k2+1+m2-4k2/4k2+1=5m2-4k2-4/4k2+1=0，可得5m2-4k2-4=0，

由直線l始終與定圓C相切，得原心O到直線l的距離d＝|m|/1+k2，可得k2+1=m2/d2.由5m2=4k2+4，可得r=d=25/5.

綜上可得，定圓C的方程是x2+y2=4/5.

所以當OA·OB=0時，存在定圓C始終與直線l相切，圓C的方程是x2+y2=4/5.

解決圓錐曲線中的位置關系的探索性問題，一定不忘回歸本源，從形到數，抓住位置關系中的結構問題，根據條件確定相應點的坐標、或曲線方程等.研究直線方程時不忘討論斜率是否存在問題，解決探索性問題要注重化歸與轉化的思想.

參考文獻：

［1］ 張敏.剖析圓錐曲線中的探索性問題［J］.中學生數理化（高考數學），2023（4）：26-27.

［2］ 羅超，沈翔.高中數學探索性問題［M］.上海：華東師范大學出版社，2005.