精心選編經典問題，教會學生深度思考

葛媛

摘 要：三角形“四心”（內心、外心、重心、垂心）的幾何專題課如何走向“刷題式”復習，是值得開展教學研究的一個問題.本文從尺規作圖出發，當作出三角形兩條角平分線之后，僅用直尺補出第三條角平分線，并追問作圖依據；接著在三角形兩條邊垂直平分線交于一點，兩條高線交于一點之后，提出同樣的補圖要求，可以讓學生在“學解題”過程中學會“深度思考”.

關鍵詞：三角形的“四心”；專題課；學解題；深度思考

近期筆者參與了兩所學校中考復習教學研討活動，兩次執教了相同課題《三角形的“四心”》，對這類專題復習課有了較為深入的思考.現將該課教學設計整理成文，并跟進教學思考，提供研討.

1 三角形的“四心”專題課教學設計

活動（一） 尺規作圖

問題1：在三角形ABC中，根據要求作圖.

（1） 作△ABC的角平分線BE；

（2） 作△ABC的邊BC的垂直平分線OE，垂足為E（保留作圖痕跡）；

（3） 作△ABC的高AD（保留作圖痕跡）.

教學組織：先讓學生獨立作圖，然后安排學生上臺講解作法及依據，鞏固基本作圖，并進一步指出，重復上述操作，可以繼續作出三角形另外的角平分線、邊的垂直平分線、高線.

活動（二） 直尺作圖

問題2：如圖1，△ABC的角平分線BD，CE相交于點I；△ABC的兩邊垂直平分線OD，OE相交于點O；△ABC的高AD，BE相交于點H.

（1） 不使用圓規，只使用直尺，在圖1中補出△ABC的角平分線AF，并說明理由；

（2） 在圖2中，連接AD，BE交于點G，射線CG交AB于點F，求證：直線FO垂直平分AB；

（3） 在圖3中，直線CH交AB于點F，求∠AFC的大小.

教學組織：第（1）問主要是讓學生根據三角形三條角平分線交于一點，補出第三條角平分線，學生補圖之后，教師要追問學生如何證明.第（2）問證明的關鍵步驟之一是點O到頂點A，B的距離相等；另一個關鍵步驟是F為AB的中點.為了證后一步驟，可先利用三角形三條中線交一點（重心）來證明F是AB的中點.在證明這一小問時，同時出現了三角形ABC的外心和重心.繼續求解第（3）問時，出現三角形的三條高交于一點（垂心），本課研究的“四心”全部出現.需要指出的是，學生如果在八年級學習“平行四邊形”一章時沒有解決過如何證明三角形的三條高交于一點，教師可以提供以下鋪墊式問題啟發思路.如圖4，連接△ABC的三邊中點的三角形DEF，結合三角形中位線性質，△ABC的三邊垂直平分線與△DEF的三邊交于G，H，M三點，可得△DEF的三條高DG，EH，FM交于一點O.受到該圖的啟發，可將圖3中的△ABC看成是圖4中的△DEF，構造輔助線（如圖5）解決問題，分別證出A，B，C是三角形DEF的各邊中點，利用△DEF的三邊垂直平分線交于一點O，說明△ABC的三條高交于一點.至此，三角形“四心”及其性質都通過師生對話進行了復習和證明.如果學生證明三角形三條高交于一點，采取“四點共圓”的思路，也可鼓勵學生上臺講解.

活動（三） 解題運用

問題3：如圖6、圖7，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5.

（1） 如圖6，⊙I內切于三角形ABC中，求⊙I的半徑.

（2） 如圖7，點G，I分別是△ABC的重心、內心，連接GI，求GI的長.

教學組織：第（1）問相對基礎，可以鼓勵學生從不同的角度列方程（組）解決問題；第（2）問具有挑戰性，關鍵步驟之一是內心I到三邊距離為1（對應著上一問的結論），接著求出點G到邊BC的距離為1，從而得出GI∥BC，再求出重心G到邊AC的距離為4/3，于是GI長為4/3-1＝1/3.

2 關于幾何專題復習的教學思考

2.1 幾何專題備課學材選編要注重關聯

幾何專題教學沒有現成的教材可以使用，教師在構思幾何專題教學前要精心選編學材，入選問題要圍繞幾何專題的教學主線，前后教學環節要力求邏輯連貫、過渡自然.比如在上文課例中，我們選定的專題是三角形的“四心”，全課選編的學材都貼近教學主線、漸次變式、相機拓展，前序教學活動又給后續較難問題的思路帶來啟發.教師在引導、追問或點評時，也應盡可能貼近主線展開，使得全課主題聚焦、重點突出.

2.2 幾何專題教學要幫助學生“學解題”

涂榮豹教授指出：“數學解題教學的任務，學生的主要任務并不是解題，而是‘學解題.并且通過學解題‘教學生學會思考”［1］.幾何專題教學并不能滿足幾道同類習題的解決，而要精心選編同類習題，并恰當呈現，讓學生在研究鋪墊問題、同類問題、拓展問題之后自主感悟出本課專題的解題關鍵，從而達到在學習解一道題或同類問題之后，學會解題、學會思考.寧連華教授進一步指出“教學生學會思考”的質量提升策略是“教在起始點”“教在類比處”“教在反思處”［2］.比如，上文幾何專題教學課例中，我們課堂起點設置得很低，人人參與、尺規作圖，讓學生知道三角形“四心”與基本尺規作圖之間的關系，隨后限制作圖工具，增加作圖難度，學生需要想清“僅用直尺補圖”的依據.還有，幾何專題課也要特別注重視課堂小結的設計，要精心預設小結問題，引導學生學會反思回顧，包括本課重點學習內容、解題策略或者具體到某道問題的關鍵步驟與易錯點等等.

2.3 幾何專題教學要教會學生深度思考

寧連華教授就學生在高考數學答題素養上的不足曾指出“想得不深，變得不當，算得不好，寫得不精”，并建議數學教學要重視以下四點：“教深度思考，教合理變換，教運算思維，教精準表達”［3］.以上文關注的幾何專題教學為例，圍繞一類經典幾何問題，通過鋪墊問題、變式問題、拓展問題的漸次呈現，促進學生想得更深.具體來說，當學生能作出三角形一條角平分線之后，不再安排“重復”作第二條、第三條角平分線，而是直接給出兩條角平分線交于一點，然后限制作圖工具，僅使用直尺繼續補出第三條角平分線，這樣的設計促進了學生的深度思考，讓學生在作圖中學會求簡、求優.考慮到已知三角形兩條邊的垂直平分線交于一點，僅使用直尺補出第三邊的垂直平分線有較大的難度，所以我們提供一種補圖方法，讓學生讀句補圖，并思考作法依據，在“深度思考”與“教學用時”之間找到一個平衡.當然，如果學情較好，也可直接安排學生先獨立探究這類較難作圖題.對于三角形的兩條高線交于一點，補出第三條高，僅用直尺作圖不難，難在如何證明“三角形三條高交于一點”，可以先安排學生獨立思考，再分組各自證明進展，教師參與小組交流，率先獲得進展的小組選派代表上臺展示證明方法，教師通過追問促進學生精準表達.

參考文獻：

［1］ 涂榮豹.數學教學設計原理的構建——教學生學會思考［M］.北京：科學出版社，2018.

［2］ 顧鋒，寧連華.于無疑處教有疑［J］.數學通報，2022，61（7）：35-38.

［3］ 寧連華.指向核心素養的數學高考評價及教學轉向審思［J］.中學數學月刊.2022（11）：1-4.