殊途難歸到殊途同歸

江蘇省啟東折桂中學(226200) 陳建超

江蘇省啟東市大江中學(226215) 李衛星

反比例函數的定義中,形如y=(k≠0)的函數則稱y是x的反比例函數.定義中的解析式則顯露出了一切,k是圖像任意一點橫縱坐標的乘積,這是代數意義;而|k|是此點與坐標軸所構成的面積,這是幾何意義.數有數的好處,形有形的妙處,如若能挖掘其中數與形的關系并恰當地利用,則能為后續教育教學提供簡潔有力的技巧和方法.

1 不期而遇

案例1如圖1,?OAC的頂點A在雙曲線y=上,點C在x軸上,直線AC與雙曲線y=只有唯一公共點,且AC與y軸不平行,則S?OAC=____.

圖1

此題是以反比例函數為背景求解面積的問題.求解三角形的面積無非利用底乘高或者進行面積比例的轉化,在直角坐標系的大背景中,自然地想到設點坐標解方程解題,設出A(a,),關注AC與雙曲線y=只有唯一公共點可以利用“?”法或求導法.①設AC:y=kx+?ak與雙曲線y=聯立解公共點得方程kx2+(?ak)x?9=0,只有一個公共點則?=(?ak)2+36k=0?k=?易得出C(2a,0),此時AC兩點的坐標都求出了則S?OAC=②直線AC與雙曲線y=只有唯一公共點即相切,聯想到求雙曲線在A點的導數y′=也就是直線AC的解析式斜率,后面的解法就與上述類同.

從上述解法可以看出,殊途難歸難在參數很多、十分繁瑣,那是否有什么方法能夠將其“秒殺”呢? 回歸反比例函數的本質y=,k的意義是雙曲線上的任意一點與坐標軸圍成的面積為|k|,不難發現結果和這個k一樣,兩者有何聯系嗎?“k”實際就是圖2中OB·AB=9,那么易得出2OB=OC,則看出三線合一,那么?OAC是等腰三角形.這種是y=的特殊情況下,當比例系數為k又如何? 結論是否一致呢? 當雙曲線的解析式為y=時,因為AC與雙曲線相切,通過函數解析法求解得出xA=2xC,可以發現在?OAC中三線合一,?OAC是等腰三角形.

圖2

設計意圖在解決這幅直觀上十分簡單的圖形所生成的題目時,運用解析法是一定能夠解出的,但是可以發現解題過程中參數設得雜而多,十分繁瑣.那么一個如此簡單的基本函數模型就一定要用解析式法解決嗎,還有更加簡便的方法呢?

2 入木三分

上述案例不經意間生成了一個等腰三角形,為什么在雙曲線與直線坐標軸能總是形成等腰三角形? 要想吃透這一數學性質,就要明白題目的生成,且看:

案例2如圖3,直線y=mx交雙曲線y=于A,B兩點,點P為雙曲線上一點,直線PA,PB分別交x軸于M,N兩點,求證:PM=PN.

圖3

抓住題中細節,給出了兩個解析式便引導我們從以解析式的角度解決問題.解析法:A點是一個特殊的交點,設A(a,),由于圖形的對稱性,B(?a,?),P是雙曲線上的任意一點,不妨再設出一個未知數,以不變應萬變,P(b,),已知A點與P點的坐標可得lP A解析式y=同理lP B:y=分別令y=0 得出xM=b+a,xN=b?a,即得出xM+xN=2xP,得證PM=PN.

在不同的題目中發現都有類同情況的等腰三角形,他們之間有何聯系嗎? 看下圖

不難發現在P、A兩點的不斷變換的過程中?PMN永遠是等腰三角形,然而當P點與A點重合的時候也就是部分“殊途同歸”之時,這不就是案例1 中的原題再現嗎? 也就是兩個點在運動到特殊情況下形成了案例1,此時也是達到了部分同歸即案例基礎就是這個特殊情況.從雙曲線的k的幾何意義是一個矩形面積逐步生成等腰三角形,在直線與坐標軸相交的過程中發現隱藏的直角三角形斜邊的中線,從特殊情形到一般情形,層層遞進、雙向可逆.

設計意圖教學過程中需要教會學生能透過現象看清本質,從特殊現象思考到一般現象.不難發現解析式法的參數比上面的案例1 更多了,學生在利用這種解法時往往會因為參數雜多而失去了推演的動力,結果也只會不了了之,解析法只是單純利用坐標的代數關系,并未利用到雙曲線的本質,即萬變不離其宗的“k”的意義.上述過程中都有等腰三角形的生成,幾何方法在這里是否能用呢? 在這里想嘗試運用直觀的幾何解法可計無所出,無法找出連接點,從而導致殊途難歸.

3 苦心追求

在追求以“k”的性質將解題由抽象代數函數簡化成直觀的幾何法時,首先明白雙曲線是一個具有視覺詩意化的圖形,他是具有對稱性的,有一種規則美感.都說大道無形,可有時往往會表現出規則的形狀,雙曲線即是體現了這一點.而圖形是在以x、y軸為漸近線的正中間,可以理解成曲線的“中點”(如下圖4的弧BC中點)與原點是整幅圖形的對稱中心.等腰三角形也是一左右對稱的圖形,由于對稱這一性質,那雙曲線與坐標軸又有何關于對稱而產生的聯系呢?

圖4

案例3在如圖4的雙曲線的的背景下,直線AD交雙曲線y=于B、C兩點,求證AB=CD.在雙曲線上,∵xB·yB=xC·yC=k,∴BE·化簡得出AB=CD.

這種方法也只是利用了一下k的性質,解法也只是代數式,那么究竟如何追求到用純粹的幾何求解呢?

在圖4中是否可以證明EF//AD? 放眼三角形中,S?EBF=S?EBG,S?CF E=S?F CH,可以得出他們的面積均為然而這兩個三角形都有相同的底EF,得出AD//EF,同理如下圖,連接HG、BH、CG,S?BHG=S?HGC=易得出HG//AD,放小了看直接得出四邊形ABGH與四邊形CDGH都是平行四邊形,那么就得到AB=HG=CD.這邊也就是用到了k的性質得出的面積不變.

設計意圖在這里可以看出,解決這個問題的核心是“k”的性質,通過“k”與構造相似三角形以比例方程得出任意一條直線交雙曲線同側的兩點及坐標軸的兩點,就近的兩點的距離是相等的,也就是圖中的AB=CD.可以發現AB與CD就是上述所說以原點與雙曲線“中點”為中心的對稱線段,在以對稱圖形為背景中的線段也是有一定規律可循的.在等腰三角形中是鄰邊相等而在這AB=CD也可以看作鄰邊相等,那么,兩者之間的聯系究竟如何? 能否為幾何法解題提供幫助呢?

4 終成正果

案例2 幾何法

觀察圖5與案例2 可謂是換湯不換藥,題目中求解的PM=PN,實際上就是BF=BD,那么已知上述證得AB=CD,該如何求解呢? 又如何求得BF=BD的關系呢? 顯然要證得?BFD是一個等腰三角形,證明等腰三角形的方法有證明角相等、證明邊相等、證明三線合一,可是放眼望去在這里面不是很好得出.試著用結論的角度反推,若?BFD是等腰三角形,還能發現什么? 在這時我們的視角就不能僅僅局限于?BFD,放眼望去在?CBE中又能推出什么結論呢,做BC的中點連接OH,可以發現OH是?CBE斜邊BE的中位線,即OH//BF.轉向?BFD中又可以發現兩個三角形相似,一個套一個地相似,若結論BF=BD成立,那么OH=DH也一定成立,如何證明,這時候我們的慣性思維就往往定格在了下面的兩個三角形上而無法關注到直角坐標系本身是一個直角三角形,在Rt?AOD中很清楚地看出,OH是斜邊AD上的中線,易得出OH=HD進而推出BF=BD,那么案例2 的結論就得出了.

圖5

情境對比案例1 和2 都是雙曲線上的動點,聯系k的性質進而闡述開的一系列問題.可以說圖1是圖5的特殊情況,因為圖5中的AD直線與雙曲線有兩個交點,當他與雙曲線相切也就是只有唯一一個公共點的時候就是上述的特殊情況了.而不難發現圖1的OA=OC,也就是圖5中BE經過原點O的情況下所產生,所以這是動點的特殊狀態,是兩個關于雙曲線對稱的點“合二為一、殊途同歸”的結果.如圖6到圖8的演變過程.

圖6

圖7

圖8

這就是從圖形一般到特殊再到一般的過程,在變化的過程中不難發現雙曲線上特定的點與x軸所構成的三角形都是等腰三角形,OH是隱藏的中線.但由于雙曲線有著對稱性,在y軸上形成的三角形也有著等腰三角形.從演變的過程體現出特殊與一般的變化美,雙曲線的對稱美,構成定律的法則美.

設計意圖教給學生最基礎的數學本質,每種題目都有起源地,尤其是基本概念與基本性質,但述其根源還是最原始的定義.此題的核心就是反比例函數“k”所具備的性質.讓學生真正領悟數學中蘊含的藝術,在學習數學中開拓自己的思維,從而達到培養學生數學核心素養的目標.

5 教學目的

5.1 教育教學首先是人的教學

加里寧曾說“很多教師常常忘記他們應該是教育家,而教育家也就是人類靈魂工程師.”教師教學是有價值有意義的,不僅僅只是教會學生解幾道題、掌握一定技巧方法,而是從中學會做人的道理,通過克服困難、解決問題,培養學生堅韌不拔的毅力以及頑強拼搏的信心,使其從不會解到突破思維慣性障礙.追求用k的性質解題就是這種咬定青山不放松的努力,教師應幫助學生樹立正確的價值觀作為執教理念,從而真正成為人類靈魂的工程師.在這里從學生的思維出發,對于解析法如何從令學生繁瑣的多參數變成單參數,從由k產生的代數變成純幾何法,都需要教師的精準提煉,不僅教會學生此題如何解,更是教學生如何明白解題的目的.

對于學生個體而言,價值觀的教育是培養其成為一個人,成為一個更好的自己.孔子早就談過人的四種基本素質“興、觀、群、怨”,興,激發人的生命力,在這具體就是指如何發現雙曲線與坐標軸構成等腰三角形,如何發現其中蘊含的數學思維;觀,提高人的觀察力與判斷力,怎樣觀察、抓住題目中的細節,不放過任何一個蛛絲馬跡,判斷哪個條件是對解題有用,哪些是累贅、可有可無的;群,培養人的責任心,具有對題目把控的整體意識,能發現題目是如何生成,例如如何完成上述的從殊途難歸再到殊途同歸,發現兩個動點移動,從一般到特殊、從群體到個體的大局觀;怨,啟發人的獨立思考的能力,拋出問題后讓學生能否獨立思考解決,給學生k的性質,在這題中怎么用、如何用、為什么這么用、得出什么結論.這才是真正意義上的素質教育.

5.2 教學是質疑釋疑的過程

沒有疑問,學習教學就無動力而言.通過設疑創趣,即學生在沒有問題時通過創設情景、激發學生思考的興趣、觸起靈動,產生問題,再試著把問題一層推進一層形成蝴蝶效應,促進研究問題的深入、促使思維深度的發展.可以利用蘇格拉底提問,即產婆術:在教學生的過程中,并不直截了當地把學生所應知道的知識告訴他,而是通過討論問答、變式訓練等方式來使學生產生學習興趣、積極思考,逐步引導學生自己最后得出正確答案的方法.在本題中,提問:直線的解析式的核心是什么?“比例系數k與截距b”,雙曲線的核心是什么?“解析式k的本質”,兩者的聯系是什么,為什么會總是產生等腰三角形? 解析法如此繁瑣,能不能用幾何法、面積法求解呢? 激發學生對這些提問的思考與學習興趣.最后通過變式等方法引導學生一切的一切都是歸源于雙曲線k的性質.通過多感官角度把問題看深入再挖掘問題,如從大局到部分、從一般到特殊、從群體到個體,解決原有問題,繼續研究新產生的問題,這樣層層遞進、一環扣一環,形成一個良好的教育教學系統.

5.3 教學最重視過程與發展

《教父》中一句經典:花一秒鐘能看透事物本質的人和花一生也看不透事物本質的人自然是不一樣的命運.在平常的教學中不光要關注教育結果,更要重視過程,成功不是一蹴而就的,是要通過一定漫長的過程而達成的.在教學過程中,知識概念是輸出,學習的過程中只是單一得輸入而不輸出,學到的東西就很難消化吸收,只有輸出,以輸出倒逼輸入,學習的效果才會好.在本題中只知道雙曲線和直線解析式形式、表象是遠遠不夠的,在教師灌溉了這些知識后,應幫助學生不斷探索、解決問題,將所學的整合成自己所特有的知識概念,消化成輸出量,再在學習過程中注重這一概念的應用.當然學生不僅要知道如何解決問題,更應理解其本質內涵,充分理解知識原理,反反復復推敲、深有體會才會更好地解決問題,才能把問題看深看透.因為有時我們不可能在問題之內找到答案,答案往往在問題之外.當我們的視角站位發生變化或者是把問題上升到一個新的、更高的、不一樣的層面時才有可能得出答案,而這一層面很有可能就是原理.注重k 的本質可以延伸出多種變式,通過對比得出異同點,從厚積薄發到頓悟,將一系列的雙曲線問題看透,真正做到知識活用、一通百通,學生的思維會應思考原理本質而發生變化,大腦結構和功能也會因此改變.