數學文化視角下序言課的教學設計探討*
——以高中“微積分”為例

湖北省黃岡市黃岡師范學院(438000) 華永蓮 馬晟 張瑩瑩

1 引言

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱課標)中提出:數學文化應融入數學教學活動[1].這無疑確立了中國數學課堂,文化教學的課程形態.教師應有意識地結合相應教學內容,將數學文化滲透在日常教學中,引導學生了解數學的發展歷程,認識數學在科學技術、社會發展中的作用,感悟數學的價值,提升學生的科學精神、應用意識和人文素養[1],這為數學教師文化教學指明了實踐方向.將數學文化融入教學,還有利于激發學生的數學學習興趣,有利于學生進一步理解數學,有利于開拓學生視野、提升數學學科核心素養[1],更向我們闡明了數學文化所具有的深厚的文化育人的功能和價值.為此,數學文化教學課例、策略等的探討研究應時而生.其中,關于微積分的教學設計與教學對策多以新授課內容為例展開研究[2-5].由此可知,知識的學術形態轉化為教育形態重在教學設計,即“備好課”是上好課的關鍵.也有學者以學習理論為導向探討建構主義與學習遷移理論在大學微積分教學中的應用策略[6-7].情境認知學習理論在數學教學中的應用研究相繼出現[8].可見,適當的應用學習理論是提高課堂效率的必要武器.由此提出,以學習理論為指導,融入數學文化進行教學設計是提升數學學科核心素養的重要落腳點.

《課標》建議抓住內容主線,引導學生從整體上把握課程[1].顯然,序言課是很好的突破口,但因課時緊張,大多數教師并不重視序言課教學.查閱發現對序言課的教學研究也是廖若星辰.可見,對序言課的重視度還不夠高.序言課是數學教育領域中較為新穎的一個研究方向,序言課的學習是為了促進新知識的學習,具有先行組織者的作用[9].由此,本文以情境認知學習理論為指導,選擇令學生頭疼的微積分內容,融入數學文化,以史為線展開微積分序言課教學設計,以期在所謂的浪費時間的教學中,抓微積分內容主線落實立德樹人、提升素養的基本育人理念.

2 情境認知學習理論的主要觀點及教學啟示

以下將從理論主要觀點和教學啟示兩方面闡明其對本文的指導.

2.1 主要觀點

情境認知理論的核心觀點是活學活用、知識來自于活動;主張將關注的焦點從學習者本身轉到整個學習所處的情境脈絡以及其中的學習活動.

2.2 教學啟示

首先,數學知識應根植于情景脈絡之中.按照情境認知理論,任何數學理論都有其產生的現實背景.本文引領學生大致經歷微積分的發展歷程,使學生對微積分的認識根植于情境脈絡中,感受其文化價值.其次,通過運用來理解數學.按情境認知理論,數學知識既是境域的,又是通過活動和運用不斷發展的.本文設計行李箱優化問題、物理運動問題等,使學生在生活、自然中把握微積分的本質,領會微積分的思想基石.最后,數學學習是一個文化浸潤的過程.按情境認知理論,教師要關注環境文化對學生的影響.本文借助多媒體創設趣味問題情境、科技情境,啟發學生思考,拓寬其視野,改善數學學習.

3 序言課教學設計

3.1 設計理念

序言課大致分為三類:知識層面、方法層面、文化層面[9].本課設計將在數學文化視野下,選取微積分發展過程中的重大事件與關鍵人物,以史為軸線,并以情境認知理論為指導,在師生雙邊互動的情境脈絡中開啟微積分的歷史畫卷,突出微積分內容主線.使學生體驗微積分學的核心思想,探索微積分的實質,落實立德樹人、提升素養的基本理念.

3.2 基于數學文化的微積分序言課教學設計

整個教學過程通過四步走環節使學生自決鉆研本章序言課三大核心問題:為什么學微積分? 學什么內容? 怎么去學微積分?

3.2.1 問題導入-發人深思-感知極限

問題1惠子(公元前370-前310年)曰:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,你怎樣看?

問題2芝諾悖論(Zeno 約公元前5世紀)——希臘神話中的英雄阿喀琉斯追不上烏龜嗎? (烏龜起點靠前100 米)

設計理由以中西方哲人的名言與悖論作為問題導入,創設趣味性問題情境,使學生以數學的眼光與現實的角度解答以上問題,自然一千個讀者的心中有一千個哈姆雷特,不同的學生會有不同的回答.由此,學生產生思維碰撞,使課堂氣氛達到一種“憤”的狀態,此所謂不憤不啟,教師順利引出微積分的歷史起源.使學生感受無限寓于有限之中,二者既對立又統一,培養學生辯證唯物主義的世界觀與方法論.

3.2.2 歷史探源-理清脈絡-領會實質

問題3回顧小學探究圓面積的過程,總結我們曾收獲的思想方法.

引入史料中國古代劉徽(公元225-295年) 的割圓術——如劉徽所言“割之彌細,所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣”.可見劉徽的極限思想并未受到無限的困擾,并不斷倍增圓內接正多邊形的邊數,逐步逼近圓為求圓周率的方法.以此思路劉徽堅持算到了正3072邊形,由此計算出圓周率在3.1415 和3.1416 之間.兩個世紀后祖沖之將劉徽的方法用于24576 邊形,最終將圓周率的虎鉗收緊至3.1415926 與3.1415927 之間,領先西方一千一百多年.

設計理由問題3 是小學六年級內容,學生在回顧中再次感受無限分割近似求和的思想方法.借此引出知識源流——割圓術,體會其中蘊含的微積分最初的極限思想.再者,祖沖之計算圓周率的刻苦求實、堅忍不拔都是我們孜孜以求的.進而,弘揚中華文化,增強名族自豪感,樹立文化自信,培養學生的愛國主義情操.

問題4類比求圓面積“無限分割”的思想,請嘗試求拋物線弓形面積,如圖1.

圖1

引入史料古希臘數學家阿基米德(公元前287-前212年) 最早使用窮竭法進行了積分運算.首先他為碎片化內接三角形建立了一致模型,如圖1.即每一級內接三角形的頂點是其底邊的平行線與拋物線的交點.隨后阿基米德證明了每個新層級的三角形面積是上一級的1/8.最后給這無窮層級的三角形進行面積求和.假設一級內接三角形面積為單位1.

則:所以:4S=求得:

緊接著,阿基米德通過雙重歸謬法(雙重反證法) 對此前結論進行了嚴格論證,即弓形面積不可能小于4/3 或大于4/3,因此只能等于4/3.此論證過程是建立在有限內接三角形的基礎上展開的,它避免了無窮,故他的證明無懈可擊,也是對窮竭法的進一步完善.阿基米德并將其廣泛應用于求解曲面面積和旋轉體體積,是微積分學的先驅.

設計理由首先,斯賓塞、波利亞以及克萊因等人相信種族的發展積淀為個體的發展,個體知識的發生遵循人類知識的發生過程,即歷史發生原理[10].故遵循歷史先積后微的發展順序設置此問題.其次,根據維果斯基的“最近發展區”理論,適當拔高難度.學生即使不能完全求解問題4,也會有一種無限分割、近似求和的數學思想在腦海中浮現.此時引出阿基米德在《拋物線求積法》中求解拋物線弓型面積的策略.在此使學生進一步領會微分即無限細分弓形面積,積分即求無窮內接三角形面積之和.

問題5請設計一款行李箱,寬和深均為x,且長寬高之和不超過45.猜一猜x為何值時行李箱容積最大呢? 該怎么求解呢? (如圖2,直線向上滑動,最大值處兩點合并為一點)

圖2

因:V=x·x·(45?2x),由:V(a)=V(b),即:45a2?2a3=45b2?2b3,化簡得:45(a+b)(a?b)=2(a2+ab+b2)(a?b),令:a≈ b,90a=6a2,求得:a=0,a=15.

引入史料到17世紀20年代末,費馬借助重交點概念,幾乎找到了所有代數曲線(只能用x和y的整數次冪來表示)的切線.相繼,笛卡爾在1637年出版的《幾何學》中公布了他求切線的方法(用圓去橫穿曲線找到重交點)[11].而后,費馬徒手算出了曲線y=xn(n ∈N+)下方的面積.遺憾的是他們至此都未發現求曲線下方面積和曲線以及曲線的切線之間蘊藏的秘密.笛卡爾也不知道他創造的xy平面這個十字路口,使方程與曲線、代數與幾何、東西方數學都在此相遇意味著什么.直到牛頓和萊布尼茨的登場,他們站在前人的肩膀上將徹底統一微分學與積分學.

設計理由此題改編自費馬設計的優化問題,使學生先猜測后分析.學生可以通過小組合作,嘗試不同設計,猜測出立方體15×15×15 設計似乎使箱子容量最大,這種猜測并不具有一般性,但這種猜測可以激發學生對未知知識的探求興趣.而后學生列出方程,根據提示分析求解.最后向學生說明剛才所用的代數分析法就是費馬曾解決此類優化問題用過的,并引入史料說明解析幾何的誕生和求切線問題為微分學的發展開辟了道路.使學生明白,偉大的微積分的誕生,是古今中外歷代科學家心血和智慧的凝聚,并不是某一個人的成就.

問題6請根據以下圖像探究問題.

(1)圖3、4 中的路程與圖形面積有何關系?

(2)圖3、4 中面積(由(1)可知面積是路程)的變化率與速度有何關系呢?

(3)圖3、4 中速度的變化率(加速度)與直線的斜率有何關系呢?

(4)圖3、4 若是曲線,猜想以上關系還成立嗎?

圖3

圖4

師生探究發現以下關系:

引入史料1艾薩克·牛頓出生于1642年的圣誕節.16歲時,母親讓他離開學校并強迫他經營家庭農場,他討厭農活,最終在家人的勸說下母親同意他回到學校.1664-1665年冬天,牛頓受沃利斯的《無窮級數》一書中求曲線下方面積新方法[11]的影響,即把復雜形狀想象成簡單形狀的無窮級數之和.通過類比,對新方法進行改進升級,用符號代替形狀.就這樣,年僅22 的牛頓能用冪級數表示出任何曲線或函數,找到了求任意曲線下方面積的系統方法.到1671年牛頓已統一了微積分的各個部分,并將其擴充為《流數術與無窮級數》.這本著作在他有生之年并未公開發表,直到1736年才出版[11].

引入史料2萊布尼茨身為外交官、邏輯學家、語言學家和哲學家的他發現微積分的方法與牛頓正好相反.在求無窮級數(如1/(1×2)+1/(2×3)+···+1/n(n+1)+···)的和時,他把特殊結構的和改寫成連續差之和的形式,因此出現大規模抵消,最終問題得到解決.這讓他想到了把曲線下方面積分成很多豎直的矩形[11],就好比很多連續的數,那么求很多豎直矩形面積的和不就類似于求許多連續的數之和,中間也會出現大規模抵消.最終,在1672-1676年他創立了自己的微積分.雖然萊布尼茨發現微積分晚于牛頓,但由于他創造的微積分易于理解,并且他用一套簡潔的符號表示微積分并于1686年率先發表,因此人們都認為他也是微積分的發明者[11].

設計理由問題6 中的運動現象是學生高一年級物理中學過的,對此學生很清楚速度是距離的變化率,加速度是速度的變化率.通過類比使學生把運動關系與幾何關系建立聯系,從而推出面積、直線與直線斜率三者間的關系,并說明以上過程正向推理是微分,反向推理是積分,這便構成微積分的兩大部分,再從推理結果對任意曲線下方面積、曲線與曲線斜率三者關系進行猜想.此環節聯系物理學科,通過類比、猜想使微積分思想方法浮出水面.此種設計是為凸顯數學的學科交融性與科學價值,且在一定程度上留給學生猜想與探索的空間.最后,介紹牛頓和萊布尼茨發現微積分的方法不同,但他們的相同點在于對知識的遷移與類比,牛頓由形到數,萊布尼茨由數到形,他們大膽的類比與遷移的思想方法與深邃的智慧都是我們前進道路上值得珍視的.

3.2.3 科技力量-拓寬視野-著眼未來

課堂接近尾聲,教師借助多媒體與精簡的語言讓學生體驗科技情境.

科技情境計算機動畫之與微積分——動畫師通過反復分割平面,用幾萬個甚至幾十萬個多邊形創造出我們喜歡的動畫卡通人物.細分程度越高,動畫越逼真,所占用內存越少.這無不體現了阿基米德的洞見:任何平滑表面都可以令人信服地用三角形來逼近[11].

設計理由順應《課標》建議:引導學生認識數學在科學技術、社會發展中的作用,感悟數學的價值,提升學生的科學精神、應用意識[1].通過以上情境,使學生感受“在互聯網+”時代,微積分不僅是一種數學符號語言,更是一種強大的科技工具.放眼當下,師者傳道授業解惑也,放眼未來,必為學生之未來負責.因此,在這里展示科技情境不單是為拓寬學生視野,更是讓學生透過科技情境看到微積分的力量,讓學生著眼于未來思考微積分的價值.

3.2.4 核心三問-內化于心-外化于行

課后作業思考我們為什么學微積分? 我們能學到什么? 在此過程中我們該怎么學呢?

設計理由《課標》建議:豐富作業形式,提高作業質量,提升學生完成作業的自主性、有效性[1].以序言課的核心三問為課后作業,不同的學生有不同的出發點、孕育點和落腳點.不是老師告訴學生“我”為什么而學、“我”學到了什么、“我”要怎么學,而是通過以上問題情境、歷史脈絡、科技情境為指引,引導學生獨立思考本節課的核心三問,留給學生獨立探索的空間,從而使學生對微積分的偉大思想有所內化,那么每個學生必定都有自己的一本藍圖,這樣在接下來的學習中才會自決鉆研,即內化于心,外化于行.

4 結論

本文以數學文化為線,以情境認知理論為指導,創設相關情境脈絡.設計重“廓”,即微積分核心思想的凝練與本質的歸納,而不是具體內容的講解.其中,引入中國惠子名言與古希臘芝諾悖論,是引領學生初步感悟極限思想,也讓學生辯證的看待有限與無限,二者即對立又統一.引入知識源流,如劉徽的割圓術、祖沖之與圓周率等,是為引領學生弘揚中華文化,增強民族自豪感,樹立文化自信,在此可以毫不夸張的說祖沖之將圓周率的虎鉗收緊至8 位數,絕對稱得上人類史上的壯舉.設計勻速直線運動與自由落體運動問題,是為學生方便推理面積、直線、直線斜率三者間關系的同時,也為學生展示自然運動擁有數學的內核.介紹計算機動畫之與微積分,意在向學生展示微積分在影視藝術等領域的科技力量,不單為拓寬學生視野,更是讓學生體會到應用這種科技工具于人類而言是多么令人興奮與驚嘆的事,使學生不僅僅局限于現在的學習,更是放眼于未來的發展.

作為一名數學工作者所期望的是,我們該引領我們的學生站在前人的肩膀上,在生活中、在自然中發現純粹數學領域中的微積分,在初步理解微積分的前提下,嘗試著用微積分語言去描述周圍世界,在掌握更多相關知識后,努力用微積分者(理解微積分的人)特有的眼光觀察世界,在完全掌握微積分的思想方法后,用微積分這個強大的科技工具去改造世界.